Công thức tính lãi suất ngân hàng – Toán 12

Công thức tính lãi suất ngân hàng Toán 12 chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Định nghĩa

a. Lãi đơn: Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp.

b. Lãi kép: Nếu đến kì hạn mà người gửi không rút tiền lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì hạn kế tiếp.

2. Các dạng toán

a. Lãi đơn

- Bài toán: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% / kì hạn. Số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ kì hạn là?

Lời giải:

Theo định nghĩa của lãi đơn, số tiền lãi là A.r

Suy ra số tiền lãi sau n kì hạn là A.r.n

Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn là $S_n=A+A.r.n=A\left(1+nr\right)$

VD1. Bác An gửi vào ngân hàng 20 triệu với lãi đơn là 5% / năm. Hỏi sau 7 năm, bác An nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức với A= 20 triệu; $r=5\%$ và n=7  ta được

Số tiền bác An nhận được sau 7 năm là: $S_7=20.\left(1+7.5\%\right)=27$ triệu.

VD2. Anh Bình gửi tiết kiệm 10 triệu đồng với lãi đơn là 1,5%/ quý. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì anh Bình rút được cả gốc lẫn lãi là 12 triệu đồng. Biết ngân hàng chỉ chả tiền khi hết kì hạn.

Lời giải:

Gọi n là số kì hạn

Theo bài ta có :

 $S_n\ge 12$

$$\begin{gathered} \iff 10\left(1+n.1,5\%\right)\ge 12 \\ \iff n\ge 13,3 \end{gathered}$$

Vậy sau ít nhất 14 quý (48 tháng) thì anh Bình rút được 12 triệu.

b. Lãi kép

- Bài toán: Khách hàng gửi A đồng với lãi kép r% / kì hạn thì số tiền khách nhận được cả vốn lẫn lãi sau n, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ kì hạn là bao nhiêu?

Lời giải:

- Sau kì hạn đầu tiên có cả vốn lẫn lãi là:

$S_1=A+A.r=A\left(1+r\right)$

- Sau kì hạn thứ hai có cả vốn lẫn lãi là:

$$\begin{gathered} S_2=S_1+S_1.r \\ =A\left(1+r\right)+A\left(1+r\right).r=A{\left(1+r\right)}^2 \end{gathered}$$

....

- Sau kì hạn thứ n có cả vốn lẫn lãi là:

$S_n=A{\left(1+r\right)}^n$

VD1. Anh Tâm gửi tiết kiệm 50 triệu với lãi kép 5%/năm. Sau 10 năm anh ra ngân hàng rút cả gốc lẫn lãi về để đầu tư làm ăn. Hỏi số tiền anh rút về là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức tính lãi kép với $A=50$; $r=5\%$; $n=10$ ta được:

Số tiền anh Tâm rút về là: $S_{10}=50{\left(1+5\%\right)}^{10}\approx 81,44$ triệu đồng.

VD2. Con trai ông Phú đang học lớp 6. Ông Phú quyết định gửi một số tiền tiết kiệm để mua chiếc xe máy tặng con làm quà khi đỗ lớp 10. Biết rằng chiếc xe máy trị giá 17 triệu và lãi suất năm là 6,05%. Hỏi ông Phú cần gửi bao nhiêu tiền để sau 4 năm có đủ tiền mua xe tặng con?

Lời giải:

Gọi số tiền ông Phú cần gửi là A

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 4 năm ông có là:

$S_4=A{\left(1+6,05\%\right)}^4$

Theo bài ta có:

$A{\left(1+6,05\%\right)}^4=17$

$\iff A=\frac{17}{{\left(1+6,05\%\right)}^4}\approx 13,44$ triệu.

c. Tiền gửi hàng tháng

- Bài toán: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng, lãi kép r%/tháng. Số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là bao nhiêu?

Lời giải:

- Cuối tháng 1 có số tiền là $T_1=A\left(1+r\right)$

- Đầu tháng 2 có số tiền là $A\left(1+r\right)+A$

$\Rightarrow$ Cuối tháng 2 có số tiền là:

$$\begin{gathered} T_3=A\left(1+r\right)+A+\left[A\left(1+r\right)+A\right].r \\ =A{\left(1+r\right)}^2+A\left(1+r\right) \end{gathered}$$

- Tương tự cuối tháng n có số tiền là:

$$\begin{gathered} T_n=A{\left(1+r\right)}^n+A{\left(1+r\right)}^{n-1}+\mathrm{...}+A\left(1+r\right) \\ =A\left(1+r\right)\left[{\left(1+r\right)}^{n-1}+{\left(1+r\right)}^{n-2}+\mathrm{...}+1\right] \end{gathered}$$

Tổng $S={\left(1+r\right)}^{n-1}+{\left(1+r\right)}^{n-2}+\mathrm{...}+1$ là tổng cấp số nhân có n số hạng với $u_1=1$ và  $\Rightarrow S=\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$

Vậy $T_n=\frac{A}{r}\left[{\left(1+r\right)}^{n+1}-\left(1+r\right)\right]$

VD1. Đều mỗi tháng chú Ba đều gửi vào ngân hàng 500 nghìn đồng với lãi suất 0,6%/ tháng. Sau 1 năm thì số tiền chú Ba nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng?

Lời giải:

Áp dụng công thức trên với: $A=0,5$ triệu; $r=0,6\%$ và $n=12$ tháng ta được:

Số tiền chú Ba nhận được là:

$T_{12}=\frac{0,5}{0,6\%}.\left[{\left(1+0,6\%\right)}^{13}-\left(1+0,6\%\right)\right]$

$\approx 6,24$  triệu.

VD2. Đầu mỗi tháng, anh Tư gửi vào ngân hàng số tiền là 4 triệu với lãi suất

0,5%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Tư có số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?

Lời giải:

Áp dụng công thức lãi suất với A= 4 triệu; $r=0,5\%$

Số tiền cả gốc lẫn lãi anh Tư nhận được sau n tháng, $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ là:

$T_n=\frac{4}{0,5\%}.\left[{\left(1+0,5\%\right)}^{n+1}-\left(1+0,5\%\right)\right]$

$=800.1,{005}^{n+1}-1,005$ triệu

Theo bài ta có:  

$$\begin{gathered} 800.1,{005}^{n+1}-804\ge 100 \\ \iff 1,{005}^{n+1}\ge 1,13\iff n\ge 23,5 \end{gathered}$$

Vậy sau ít nhất 24 tháng, anh Tư sẽ có số tiền mình muốn.

d. Gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng

- Bài toán: Khách gửi vào A đồng với lãi r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi thì khách rút ra a đồng. Số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

Lời giải:

- Cuối tháng 1 còn lại số tiền là: $T_1=A\left(1+r\right)-a$

- Cuối tháng 2 còn lại số tiền là:

$$\begin{gathered} T_2=A\left(1+r\right)-a+\left[A\left(1+r\right)-a\right].r-a \\ \iff T_2=A{\left(1+r\right)}^2-a\left(1+r\right)-a \end{gathered}$$

- Tương tự cuối tháng n còn lại số tiền là:

VD. Hết vụ vải, tổng kết anh P được 200 triệu đồng. Anh dự định gửi ngân hàng với lãi suất 0,7%/tháng. Cuối mỗi tháng anh rút ra 6 triệu để tiêu. Hỏi:

a. Sau 2 năm thì anh P còn lại bao nhiêu tiền

b. Tính xem bao giờ thì anh P rút được nhiều nhất bao nhiêu tháng.

Lời giải:

a. Áp dụng công thức tính lãi suất với A=200 triệu; a=6 triệu và $r=0,7\%$.

Số tiền anh P còn lại sau 24 tháng là:

3. Luyện tập

Bài 1. Một người gửi tiết kiệm 20 triệu theo hình thức lãi đơn 2,5%/4 tháng. Hỏi sau 5 năm, tính cả vốn lẫn lãi người ấy có đủ mua Iphone 12 promax 30 triệu không?

Bài 2. Một người gửi 15 triệu vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý với lãi suất 1,65%/quý. Hỏi sau bao lâu người đó có ít nhất 20 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi.

Bài 3. Một bác nông dân có 20 triệu. Bác dùng số tiền đó gửi ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất 8,5% / năm. Sau 5 năm 8 tháng bác nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết nếu rút trước kì hạn thì ngân hàng trả theo lãi đơn 0,3%/tháng.

Bài 4. Một người gửi 100 triệu với lãi suất ban đầu 3,5%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cứ sau 3 năm lãi suất tăng 1%. Hỏi sau 10 năm người đó được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Bài 5. Mỗi tháng anh Tâm gửi 2 triệu vào ngân hàng với lãi suất 0,7%/tháng. Hỏi sau 2 năm anh Tâm nhận được tất cả bao nhiêu tiền? Số tiền lãi sau 2 năm là bao nhiêu?

Bài 6. Bác Nam gửi ngân hàng 20 triệu với lãi suất 6%/năm. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, bác rút một số tiền như nhau để tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng bác rút là bao nhiêu để sau 4 năm thì số tiền vừa hết.

Bài 7. Một cậu sinh viên nghèo muốn mua điện thoại Vivo 4 triệu. Do chưa có tiền nên phải trả góp theo tháng. Chủ cửa hàng đống ý cho cậu sử dụng trước điện thoại và trả góp mỗi tháng là 300 nghìn với lãi suất 0,3%/tháng. Hỏi sau bao lâu thì cậu sinh viên trả hết nợ.