Công thức tích phân đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tích phân đổi biến đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và $\alpha \le u\left(x\right)\le \beta .$ Giả sử có thể viết $f\left(x\right)=g\left(u\right(x\left)\right)u\text{'}\left(x\right),x\in \text{[}a\text{;}b\text{],}$ với g liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$. Khi đó, ta có:

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{u\left(a\right)}{\overset{u\left(b\right)}{\int }}g\left(u\right)du.$

Phương pháp giải:

Một số dạng đổi biến thường gặp:

2. Ví dụ minh họa

a) $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{\left(1-x\right)}^{19}dx$

b) $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2}x\cos xdx$

c) $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{1}{x}{\left(\ln x\right)}^{2}dx$

Lời giải

Ví dụ 2: Tính tích phân

a) $I=\underset{0}{\overset{\sqrt{5}}{\int }}{x}^3\sqrt{\left(x^2+4\right)}dx$

b) $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}dx$

Lời giải