Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (2024) chi tiết nhất

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu chi tiết nhất

I. Lý thuyết mặt cầu

1. Mặt cầu là gì?

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r > 0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

Kí hiệu: S(O;R) = {M|OM = R}

* Cho mặt cầu S (O; r) và điểm A trong không gian.

- Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu

- Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất của mặt cầu

Nếu điểm $A$ ngoài mặt cầu $S(O;r)$ thì:

- Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $O$, bán kính $R$ và đường thẳng $d$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $d$.

+ Nếu $OH<R$ thì $\left(S\right)$ cắt $d$ tại $2$ điểm phân biệt.

+ Nếu $OH=R$ thì $\left(S\right)$ cắt $d$ tại một điểm duy nhất $H$. ($d$ là tiếp tuyến với mặt cầu, $H$ là tiếp điểm)

+ Nếu $OH>R$ thì $\left(S\right)$ và $d$ không có điểm chung.

4. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $O$, bán kính $R$ và mặt phẳng $\left(P\right)$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left(P\right)$.

+ Nếu $OH<R$ thì $\left(S\right)$ cắt $\left(P\right)$ theo đường tròn tâm $H$ và bán kình $r=\sqrt{R^2-O{H}^2}$.

+ Nếu $OH=R$ thì $\left(S\right)$ tiếp xúc $\left(P\right)$ tại tiếp điểm $H$.

+ Nếu $OH>R$ thì $\left(S\right)$ và $\left(P\right)$ không có điểm chung.

Đặc biệt: Nếu $OH=0\left(O\equiv H\right)$ thì đường tròn giao tuyến của $\left(P\right)$ và $\left(S\right)$ được gọi là đường tròn lớn, $\left(P\right)$ được gọi là mặt phẳng kính.

5. Tiếp tuyến với mặt cầu

- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.

- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.

II. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

1. Công thức tính diện tích mặt cầu

- Cho mặt cầu (S) có bán kính r.

Khi đó diện tích mặt cầu $S=4\pi r^2$

- Chú ý: Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

2. Công thức tính thể tích khối cầu

Khối cầu bán kính r có thể tích là V = $\frac{4}{3}.\pi .R^3$

3. Một số ví dụ

VD. Tính diện tích mặt cầu (S) và thể tính khối cầu (V) có bán kính là 3.

Lời giải:

Diện tích mặt cầu là $S=4.\pi {.3}^2=36\pi$

Thể tích khối cầu là V = $\frac{4}{3}.\pi .3^3$=36$\pi$

III. Các dạng bài về mặt cầu và cách giải

Dạng 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

Ta xác định tâm O và O' của hai đáy

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ lúc này chính là trung điểm của OO'

R = IA = $\sqrt{O{A}^2+ O{I}^2}$

Chú ý: Hình lăng trụ nội tiếp trong một mặt cầu khi nó là hình lăng trụ đứng và có đáy đa giác nội tiếp.

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có:

- Tâm là trung điểm AC'

- Bán kính R = $\frac{AC\text{'}}{2}$ = $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

Khi ABCD.A'B'C'D là hình lập phương: R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Dạng 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm tâm O của mặt đáy

+ Trong tam giác đều: Giao điểm của 3 đường trung tuyến

+ Hình vuông và hình chữ nhật: Giao điểm 2 đường chéo

+ Tam giác vuông: Trung điểm của cạnh huyền

- Dựng một trục d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đáy (d song song với chiều cao hình chóp)

- Ta sẽ xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên

- Giao điểm của mặt phẳng (P) và d là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho mặt cầu (S) tâm O có diện tích là $S=100\pi$. Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là $8\pi$. Tính khoảng cách từ O tới (P).

Lời giải:

Diện tích mặt cầu (S) là: $S=4\pi r^2=100\pi \Rightarrow r=5$

Bán kính của đường tròn thiết diện là $r\text{'}=\frac{8\pi }{2\pi }=4$

Suy ra :

$$\begin{gathered} d\left(O;\left(P\right)\right)=\sqrt{r^2-r{\text{'}}^2} \\ =\sqrt{5^2-4^2}=3 \end{gathered}$$

Bài 2. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

Lời giải:

Gọi I và I’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy lăng trụ. Suy ra I và I’ đồng thời cũng là tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp các tam giác đáy.

Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên II’ chính là trục của lăng trụ

Do đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên II’.

Kẻ đường trung trực d của AA’. Dễ thấy d cắt II’ tại trung điểm của II’

Vậy O là trung điểm của II’ $\Rightarrow OI=\frac{a}{2}$

Ta có :

$$\begin{gathered} AI=\frac{a\sqrt{3}}{3} \\ \Rightarrow OA=\sqrt{O{I}^2+A{I}^2} \\ =\sqrt{\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \end{gathered}$$

Do đó diện tích mặt cầu :

$S=4\pi .{\left(\frac{a\sqrt{21}}{6}\right)}^2=\frac{7a^2\pi }{3}$

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Đường cao $SO=a\sqrt{2}$

Xác định tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD $\Rightarrow I\in SO$

Do I là tâm mặt cầu nội tiếp nên $d\left(I,\left(ABCD\right)\right)=d\left(I,\left(SCD\right)\right)=r$ tức là MI là phân giác của $\widehat{SMO}$

Theo tính chất đường phân giác ta có tỉ số:

$$\begin{gathered} \frac{IS}{IO}=\frac{SM}{OM} \\ \iff \frac{I\text{}S+IO}{IO}=\frac{SM+OM\text{}}{OM} \\ \iff \frac{SO}{IO}=\frac{SM+OM}{OM} \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} OM=\frac{a}{2} \\ \Rightarrow SM=\sqrt{S{O}^2+O{M}^2} \\ =\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{3a}{2} \end{gathered}$$

Suy ra:

$$\begin{gathered} \frac{SO}{IO}=\frac{\frac{3a}{2}+\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}}=4 \\ \iff IO=\frac{a\sqrt{2}}{4} \end{gathered}$$

Vậy mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu $\left(I;\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)$

Diện tích mặt cầu là:

$S=4\pi .{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2=\frac{\pi a^2}{2}$