Công thức tính diện tích hình phẳng đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính diện tích hình phẳng đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1. Lý thuyết

Diện tích hình giới hạn bởi hàm số y = f(x) (trong đó y = f(x) liên tục trên [a; b]), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

Diện tích hình giới hạn bởi 2 hàm số y = f(x), y = g(x) (trong đó f(x); g(x) liên tục trên đoạn [a; b]) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

 

Chú ý: Cách phá dấu giá trị tuyệt đối trong tích phân

- Khi tính tích phân chứa trị tuyện đối $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ nếu f(x) = 0 có một nghiệm $c\in \left[a;b\right]$ thì ta có:

$$\begin{gathered} \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx \\ =\left|\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx\right|+\left|\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right| \end{gathered}$$

- Khi tính tích phân chứa trị tuyện đối $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ nếu f(x) = 0 có 2 nghiệm $c,d\in \left[a;b\right]$ và c

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y = x³ - 2x²  và y = x²  - 4.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong y = x³ - 2x²  và y = x²  - 4 là:

$$\begin{gathered} x^3-2x^2=x^2-4 \\ \iff x^3-3x^2+4=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: y = x² + x - 1 và y = x⁴ +  x – 1.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong: