Hình thang ABCD (AB//CD) có $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$. Chứng minh ABCD là hình thang cân

* Lời giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆ECD, ta có ${\hat{C}}_1=\widehat{D_1}$ nên ∆ECD cân tại E, suy ra EC = ED. (1)

Ta có: AB // CD nên

⦁ $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{D_1}$ (hai góc so le trong);

⦁ $\widehat{\text{EAB}}=\widehat{C_1}$ (hai góc so le trong);

⦁ ${\hat{C}}_1=\widehat{D_1}$ (giả thiết).

Suy ra $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{\text{EAB}}$, do đó ∆BEA cân tại E.

Nên AE = BE. (2)

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

* Phương pháp giải:

Năm vững dấu hiệu nhận biết các hình để chứng minh

Nắm lại lý thuyết và cách chứng minh các đường trung trực, trung tuyến,...

* Lý thuyết nắm thêm

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành$\iff \left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}\right.$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 74 

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8