*Lời giải:

Khối lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng có cạnh bên bằng a, đáy là tam giác đều cạnh a.

Gọi V là thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a, khi đó:

$V=a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

*Phương pháp giải:

- dựa theo công thức tính thể tích hình lăng trụ

* Lý thuyết và các dạng bài về tính thể tích khối lăng trụ:

 Các lăng trụ đặc biệt

a) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Các mặt bên là các hình chữ nhật. Cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ.

b) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật và bằng nhau.

c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) 6 mặt của hình hộp là các hình bình hành.

+) Hai mặt đối diện song song và bằng nhau.

+) Bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.

d) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp có 6 mặt đều là các hình chữ nhật.

e) Hình lập phương: Là hình hộp có 6 mặt đều là các hình vuông (bằng nhau).

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$\boxed{V_{LT}=S.h}$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$\boxed{V=a.b.c}$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$\boxed{V=a^3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ôn tập chương 1 – Toán 12

Bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án) – Toán 12 

Chuyên đề Thể tích khối đa diện (2022) - Toán 12

Lời giải:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên IA = IB = $\frac{AB}{2}$.

Do đó AB = 2 . AI  = 2 . 8 = 16 cm.

Vậy AB = 16 cm.

Hình minh họa:

*Phương pháp giải:

- Nếu điểm I nằm giữa hai điểm A và B sao cho IA = IB thì I gọi là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Khi đó:

IA = IB =  .

* Lý thuyết cần nắm:

- Đoạn thẳng AB, hay đoạn thẳng BA, là hình gồm 2 điểm A, B cùng với tất cả các điểm nằm giữa A và B.

- A; B là hai đầu mút (mút) của đoạn thẳng AB.

- Nếu điểm I nằm giữa hai điểm A và B sao cho IA = IB thì I gọi là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Khi đó:

IA = IB =  .

Độ dài đoạn thẳng

- Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Khi chọn một đơn vị độ dài thì độ dài mỗi đoạn thẳng được biểu diễn bởi một số dương (thường viết kèm đơn vị).

- Độ dài đoạn thẳng AB còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B. Ta quy ước khoảng cách giữa hai điểm trùng nhau bằng 0 (đơn vị).

- Đơn vị đo độ dài đoạn thẳng: mm; cm; dm; m; km…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Trung điểm của đoạn thẳng – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Giải Toán 6 Bài 35 (Kết nối tri thức): Trung điểm của đoạn thẳng

Đáp án đúng : D

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Để xét điểm cực trị hàm số, ta sẽ: 

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Các lý thuyết thêm và các dạng bài toán về cực trị hàm số:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

DẠNG 1:Tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

   Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

DẠNG 2:Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm 

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

DẠNG 3:Biện luận theo m số cực trị của hàm số

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac

    Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

    Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0

    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

     Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 - 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔ 

    (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

    (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất 

Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Vận dụng) 

Đáp án đúng: B

*Lời giải

Khối đa diện đều loại {3;4} là khối bát diện đều. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng

$60°.4=240°$.

*Phương pháp giải

Dựa vào lí thuyết hoặc bảng dưới đây

*Lý thuyết nắm thêm về khối đa diện đều:

Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có pĐ = 2C = nM

    - Xét tứ diện đều

    - Xét khối lập phương

    - Xét bát diện đều

    - Xét khối mười hai mặt đều

    - Xét khối hai mươi mặt đều

*) Các dạng bài về khối đa diện: 

a) Nhận diện khối đa diện

b) Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

+ Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

+ Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

c) Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều

+) Khối lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất:

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

    + Chiều cao là cạnh bên

+) Khối lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tính chất:

    + Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

    + Chiều cao là cạnh bên.

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

50 bài toán về nhận biết khối đa diện lồi, đều

Đáp án đúng: A

*Lời giải:

Ta có V=AB. BC. AA'.

*Phương pháp giải:

- Nắm lại kiến thức về hình hộp chữ nhật

*Một số lý thuyết cần nắm về hình hộp chữ nhật:

a) Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật.

+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

+ Hai mặt đối diện nhau được xem là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, các mặt còn lại được gọi là mặt bên

+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

b) Mặt phẳng và đường thẳng

+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

c) Hai đường thẳng song song trong không gian:

+ Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu a // b.

+ Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể:

– Cắt nhau – Song song – Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Trắc nghiệm Hình hộp chữ nhật có đáp án (Nhận biết)

Trắc nghiệm Hình hộp chữ nhật Toán 8(có đáp án)

Bài tập Bài tập Hình hộp chữ nhật Toán 8 mới nhất 

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

- Tính bán kính khối cầu 

- Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu để tính: S=4.pi.R² 

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R).

Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2$

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

* Phương pháp giải:

- Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông.

+) Hình chóp tam giác:

A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm I của SC

Bán kính là: $R=\frac{SC}{2}$

+) Hình chóp tứ giác

A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm J của SC

Bán kính mặt cầu là: $R=\frac{SC}{2}$

Dạng 1.2: Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

* Phương pháp giải: Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_b,R_d$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy và $\partial$ là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu là:

$R=\sqrt{{R_b}^2+{R_d}^2-{\left(\frac{\partial }{2}\right)}^2}$

Dạng 1.3: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

* Phương pháp giải: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và $S_{tp}$ là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp: $r=\frac{3V}{S_{tp}}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Bài tập Mặt cầu Toán 12

Các bài toán thực tế hình không gian (có đáp án)

Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Số cạnh bên của hình chóp bằng số cạnh đáy.

Suy ra số cạnh bên của hình chóp là: $\frac{20}{2}=10$cạnh.

Vậy hình chóp có 10 mặt bên và 1 mặt đáy.

*Phương pháp giải:

- Nắm lại định nghĩa, tính chất của hình chóp 

*Một số lý thuyết liên quan hình chóp tứ giác đều:

Hình chóp tứ giác đều có:

- Đáy là hình vuông.

- 4 cạnh bên bằng nhau.

- 4 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 4 cạnh đáy bằng nhau là bốn cạnh của hình vuông đáy.

- Chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

* Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

$S_{xq}=p.d$

($S_{xq}$ là diện tích xung quanh, p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

* Công thức tính thể tích của hình chóp tứ giác đều

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V=\frac{1}{3}{S}_{đáy}.h$

(V là thể tích, $S_{đáy}$ là diện tích đáy, h là chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Giải SBT Toán 8 CTST Bài 2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

Trắc nghiệm Diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều (CTST) có đáp án - Toán 8 

Trắc nghiệm Diện tích xung quanh hình chóp đều Toán 8(có đáp án)

Đáp án đúng là: D

* Lời giải:

* Lời giải:

Các số thập phân ở giữa 0 và 1 là : 0, 01; 0,02; 0,03 ; 0,04 ; 0,05;……

 ( hoặc có nhiều kết quả khác : 0,001 ; 0,002 ; ……..)

* Phương pháp giải:

Nắm lại kiến thức số thập phân

* Lý thuyết nắm thêm

Cấu tạo số thập phân

- Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân, chúng được phân cách bởi dấu phẩy.

- Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.

Ví dụ:

9,85 đọc là: chín phẩy tám mươi lăm

Dạng 1: Các bài toán đơn về số thập phân

1. Phương pháp giải

- Đối với dạng toán này, chúng ta thực hiện các bước giải giống như thực hiện giải bài toán có lời văn liên quan đến số tự nhiên.

- Chúng ta chỉ cần thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia liên quan đến số thập phân để tính kết quả.

Dạng 2: Bài toán hợp về số thập phân

1. Phương pháp giải

- Đối với dạng toán này chúng ta cũng thực hiện các bước giải như giải các bài toán liên quan đến số tự nhiên.

- Tuy nhiên ta cần thực hiện nhiều bước giải hơn để tìm ra đáp án so với dạng toán đầu tiên.

Dạng 1: Cộng số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

Dạng 2: Trừ số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn trừ một số thập phân cho một số thập ta làm như sau:

+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Trừ như trừ các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Giải bài toán có lời văn về số thập phân lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải 

Đáp án đúng: C

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .

 b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

*Một số lý thuyết liên quan:

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right).$

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right),\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{b}}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right).$

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;

b) Hàm số $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$ liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập về Hàm số liên tục (có đáp án 2024) và cách giải 

Hàm số liên tục | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải

Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số: a) f(x) = x^3 ‒ 3x + 2 tại điểm x = ‒2

Đáp án đúng:  C.

* Lời giải:

Ta có   nên |sin α| = sin α

Tương đương sinα ≥ 0

Điểm cuối của góc lượng giác α nằm trong góc phần tư thứ I hoặc II

*Phương pháp giải:

- Để xác định được xem điểm cuối của góc lượng giác thuộc góc phần tư thứ mấy ta sẽ xét xem dấu của cos anpha đang < 0 hay > 0

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về công thức lượng giác:

1. Công thức cộng lượng giác

2. Công thức nhân, hạ bậc lượng giác

* Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

* Công thức nhân ba:

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

4. Công thức biển đổi tổng thành tích

5. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác

a) Phương trình lượng giác cơ bản

b) Phương trình lượng giác đặc biệt

6. Bảng giá trị lương giác của các góc đặc biệt

Các dạng bài tập lượng giác

Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt

a. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Công thức lượng giác (2024) và cách giải bài tập chi tiết nhất

Toán 10 Bài 3 giải vở bài tập: Công thức lượng giác

* Lời giải.

L = {n| n = 2k + 1 với k ∈ N }.

a) 

+) Với k = 0, ta được: n = 2. 0 + 1 = 1 ∈ L

+) Với k = 1, ta được: n = 2. 1 + 1 = 3 ∈ L

+) Với k = 2, ta được: n = 2. 2 + 1 = 5 ∈ L

+) Với k = 3, ta được: n = 2. 3 + 1 = 7 ∈ L

Do đó bốn số tự nhiên thuộc tập L là: 1; 3; 5; 7

Vậy ta thấy hai số tự nhiên không thuộc tập L là: 0; 2

b)

Nhận thấy các số: 1; 3; 5; 7; ... là các số tự nhiên lẻ.

Tương tự với mọi số tự nhiên k thì ta tìm được các số n thuộc tập hợp L đều là các số tự nhiên lẻ.

Do đó ta viết có thể viết tập hợp L bằng cách nêu dấu hiệu đặc trưng khác như sau:

L = {n ∈ ℕ | n là các số lẻ}.

*Phương pháp giải

Áp dụng kiến thức về phần tập hợp để làm bài

*Một số lý thuyết nắm thêm về tập hợp:

1. Tập hợp và phần tử của tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học (không định nghĩa).

Tập hợp được kí hiệu là các chữ cái in hoa: A, B, C, D, …

2. Mô tả một tập hợp

2.1. Liệt kê các phần tử của tập hợp

Viết tất cả các phần tử của tập hợp trong dấu {} theo thứ tự tùy ý nhưng mỗi phần tử chỉ được viết một lần.

2.2. Nêu dấu hiệu đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

Gọi x là phần tử của tập hợp, chỉ ra tính chất đặc trưng của phần tử và viết tập hợp đã cho.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tập hợp chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Giải Toán lớp 6 Bài 1 (Kết nối tri thức): Tập hợp

Đáp án đúng: A

Áp dụng định lí ciosin trong tam giác ta có:

*Phương pháp giải:

- Nắm vững công thức tính diện tích tam giác bằng lượng giác 

Đáp án đúng: C

*Lời giải: 

Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oy là H(0;3;0)

Khoảng cách từ M đến Oy bằng: 

$d(M,Oy) = MH = \sqrt{{(0-2)}^2 + {(3-3)}^0 +{(0+4)}^2} = 2\sqrt{5}$

*Phương pháp giải:

gọi hình chiếu của M lên oy. tính khoảng cách đoạn MH

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(A{}_1;B_1;C_1);$$\overrightarrow{n_2}(A{}_2;B_2;C_2)\hspace{0.17em}$

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý: Để (α) cắt (β)$\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}$$\iff (A_1;B_1;C_1)$$\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.$\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\\ \iff A_1{A}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{B}_1{B}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_1{C}_2=0\end{array}$

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:$\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

$d(M_0,(\alpha \left)\right)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.$\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

Khi đó mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước.

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

+) Từ đó viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài toán về phương trình mặt phẳng (có đáp án 2024) – Toán 12 

66 câu trắc nghiệm: Phương trình mặt phẳng có đáp án (P1) 

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

Ta có vectơ pháp tuyến của $\left(Oxy\right)$ và $\left(Oyz\right)$ lần lượt là $\overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{i}$.

Vì $\overrightarrow{k}\perp \overrightarrow{i}$ nên $\left(\widehat{\left(Oxy\right);\left(Oyz\right)}\right)=90°$.

Đáp án đúng: A

*Lời giải

Hình chóp ngũ giác có 6 mặt và 10 cạnh.

*Phương pháp giải

Hình chóp ngũ giác có 6 mặt và 10 cạnh.

*Lý thuyến cần nắm về hình chóp đều, hình chóp cụt đều:

Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh (là đỉnh của hình chóp).

+ Chân đường cao của hình chóp đều là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+  Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

Hình chóp cụt đều

- Cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều.

- Nhận xét: Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

Hình trên có hình chóp cụt đều là ABCD.A’B’C’D’.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình chóp đều và hình chóp cụt đều (mới + Bài Tập) – Toán 8

Toán 8 Bài 7 giải vở bài tập: Hình chóp đều và hình chóp cụt đều 

50 Bài tập Hình chóp đều và hình chóp cụt đều Toán 8 mới nhất 

*Lời giải

Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

⇒ HB = HC = HD nên H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (1)

Lại có: AB = AC = AD vì ABCD là tứ diện đều

⇒ HA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

⇒ HA ⊥ (BCD)

Vì tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác BCD ta có:

Áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông AHB ta được:

Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là: 

Do đó, thể tích khối tứ diện đều ABCD là: 

*Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính Thể tích khối chóp là: V = 1/3. S.h

*Lý thuyến cần nắm về khối đa diện và thể tích khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1) + V(H2).

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: 

$V=\frac{1}{3}B.h$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài toán về thể tích khối đa diện (có đáp án 2024) – Toán 12

Đáp án đúng là: A

* Lời giải

*Lời giải:

*Phương pháp giải:

- dùng các công thức lượng giác biến đổi 2 vế của phương trình, giải và tìm ra nghiệm

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình. 

Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

*Lời giải:

Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0

tanx. tan2x = -1

$\iff \frac{\sin x}{\cos x}.\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1$

$\iff$ sinx. sin2x = -cosx. cos2x

$\iff$ cos2x. cosx + sin2x. sinx = 0

$\iff$ cosx = 0

Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm.

*Phương pháp giải:

- dùng các công thức lượng giác biến đổi 2 vế của phương trình, giải và tìm ra nghiệm

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình cosx=a

- Trường hợp |a| > 1

Phương trình cosx = a vô nghiệm vì $\left|\text{cosx }\right|\le 1$ với mọi x.

- Trường hợp $\left|\text{\hspace{0.17em}a }\right|\le 1$.

Gọi α là số đo radian của một cung lượng giác. Khi đó, phương trình cosx = a có các nghiệm là: $x=\pm \alpha +k2\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Phương trình tanx=a

- Điều kiện xác định của phương trình là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Kí hiệu x = arctana (đọc là ac– tang– a; nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình tanx = a là: $x=\arctan a+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

+) Phương trình tanx = tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: $x=\alpha +\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$

Tổng quát; tan f(x) = tan g(x) $\Rightarrow f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=g\left(x\right)+\text{\hspace{0.17em}}k\pi ;k\in \mathbb{Z}$.

+) Phương trình tanx = tanβ⁰ có các nghiệm là: $x={\beta }^0+k{.180}^0;k\in \mathbb{Z}$.

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f(x)=0\iff g(x)=0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình. 

Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án)– Toán 11

Đáp án đúng: C

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\left({180}^0-\alpha \right)\\ ={\sin }^2\alpha +{\left(-\cos \alpha \right)}^2\\ ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\end{array}$

Đáp án đúng: C.

*Lời giải:

Khối đa diện đều loại {4; 3} là khối lập phương, gồm 6 mặt, mỗi mặt đều là hình vuông.

Tổng các góc của hình vuông là 360^o hay 2π.

Vậy tổng tất cả các góc của khối đa diện đều loại {4; 3} là 6 . 2π = 12π.

*Phương pháp giải

Dựa vào lí thuyết hoặc bảng dưới đây

*Lý thuyết nắm thêm về khối đa diện đều:

Chú ý. Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có pĐ = 2C = nM

    - Xét tứ diện đều

    - Xét khối lập phương

    - Xét bát diện đều

    - Xét khối mười hai mặt đều

    - Xét khối hai mươi mặt đều

*) Các dạng bài về khối đa diện: 

a) Nhận diện khối đa diện

b) Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

+ Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

+ Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

c) Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều

+) Khối lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất:

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

    + Chiều cao là cạnh bên

+) Khối lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tính chất:

    + Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

    + Chiều cao là cạnh bên.

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

50 bài toán về nhận biết khối đa diện lồi, đều

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

* Phương pháp giải: 

Tính đường kính mặt cầu chính là đường chéo hình lập phương

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về mặt cầu, mặt nón, mặt trụ:

1_MẶT NÓN:

Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.

a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.

a_Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

$S_{xq}=\pi rl$ (r là bán kính đường tròn đáy, l là độ dài đường sinh).

- Người ta gọi tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.

Thể tích khối nón tròn xoay.

a) Định nghĩa.

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: $\text{}V=\frac{1}{3}B.h$

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B=\pi r^2$, khi đó: $\text{}V=\frac{1}{3}\pi r^2.h$.

2_MẶT TRỤ

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.

Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay này là mặt trụ. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.

a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:

$S_{xq}=2\pi rl$ (r là bán kính của hình trụ, l là độ dài đường sinh của hình trụ).

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.

Thể tích khối trụ tròn xoay.

a) Định nghĩa: Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: V = B.h.

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B=\pi r^2$, khi đó: $V=\pi r^{2}h$

 3_MẶT CẦU

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: $S=4\pi r^2$.

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Ôn tập chương 2: Mặt trụ, mặt nón, mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

Các dạng bài tập Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu 

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Có biễu diễn “0000 0000 0010 0101” (dùng mã bù 2, có dấu), giá trị của chúng là 37

*Phương pháp giải

Có biễu diễn “0000 0000 0010 0101” (dùng mã bù 2, có dấu), giá trị của chúng là 37

*Lý thuyết nắm thêm

a) Cơ sở dữ liệu tập trung

- Một CSDL tập trung được lưu trữ trên một máy tính (Hình 1).

- Việc quản lí, cập nhật được thực hiện tại chính vị trí này.

- Người dùng có thể truy cập và khai thác thông tin bằng chính máy tính chứa CSDL hay thông qua kết nối mạng.

- Ưu điểm của hệ CSDL tập trung: truy cập và điều phối dữ liệu dễ dàng hơn, phù hợp cho các cơ quan, doanh nghiệp, tổ chức.

- Ví dụ: Hệ thống quản lí học sinh của trường và hệ thống bán vé tàu hoả của Tổng công ty Đường sắt Việt Nam.

- Hạn chế của hệ CSDL tập trung: khi gặp sự cố, các chương trình ứng dụng không thể chạy được.

b) Cơ sở dữ liệu phân tán

- CSDL phân tán là tập hợp dữ liệu được lưu trữ trên nhiều máy tính khác nhau trong một mạng máy tính.

- Mỗi máy tính có CSDL cục bộ và thực hiện ít nhất một ứng dụng cục bộ.

- Mỗi máy tính phải tham gia ít nhất một ứng dụng toàn cục sử dụng CSDL của ít nhất hai trạm khác.

- Mỗi hệ CSDL gồm 3 lớp: CSDL, hệ quản trị CSDL và ứng dụng CSDL.

- Kiến trúc hệ CSDL có thể phân chia thành các thành phần chức năng để hiểu và chỉnh sửa một cách độc lập.

a) Kiến trúc phổ biến của hệ CSDL tập trung

- Hệ CSDL tập trung theo kiến trúc khách-chủ (Client-Server).

- Hệ quản trị CSDL bao gồm thành phần yêu cầu tài nguyên và cung cấp tài nguyên.

- Thành phần cung cấp tài nguyên được đặt trên máy chủ.

- Thành phần yêu cầu tài nguyên có thể được cài đặt trên nhiều máy khác trên mạng, được gọi là máy khách.

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tin học 11 (Cánh diều) Bài 7: Các loại kiến trúc của hệ cơ sở dữ liệu 

Đáp án đúng: B

Đáp án đúng: C

*Lời giải:

Mệnh đề này đúng là bởi vì 12 là bội chung của cả 2 và 3

cho nên khi n chia hết cho 12 thì chắc chắn n sẽ chia hết cho 2 và 3

*Phương pháp giải:

- Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 3, 2

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về dấu hiệu chia hết cho 3:

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3.

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Kiểm tra một số đã cho có chia hết cho 3 hay không

Phương pháp:

Bước 1: Tính tổng các chữ số của số đã cho.

Bước 2: Kết luận:

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3.

Dạng 2: Tìm các số chia hết cho 3 và 9

Phương pháp:

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Những số nào chia hết cho 9 thì chia hết cho 3.

Dạng 3: Tìm các số thỏa mãn yêu cầu cho trước

Phương pháp:

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết cho 3.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết cho 3 (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 4

Trắc nghiệm: Dấu hiệu chia hết cho 3

Đáp án đúng: B

*Lời giải

[Phương pháp tự luận]

$y^{\text{'}}=4(m-1)x^3-6mx=0$ (*)

TH1 : Nếu m = 1 , (*) trở thành : $y^{\text{'}}=-6x=0$ hay x= 0 ,$y^{\text{'}\text{'}}=-6<0$ 

Vậy m = 1 hàm số đạt cực đại tại x = 0 

TH2 : Nếu m ≠ 1

Hàm số có cực đại mà ko có cực tiểu

Kết hợp 2 trường hợp : $m\in [0;1]$

*Phương pháp giải:

Tính y'

Tìm nghiệm y' thay nghiệm vào y tìm CĐ CT

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài tập về cực trị hàm số: 

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $-\infty$; b là $+\infty$) và điểm x0$\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x$\in$(x0 – h; x0 + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Quy tắc tìm cực trị.

- Quy tắc 1.

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

- Định lí 2.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu;

b) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

- Quy tắc II.

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x_i ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(x_i).

4. Dựa vào dấu của f”(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$).

- Ta có $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .

$\iff b^2-3ac>0$

Và không có cực trị ⇔Δ’ = b² − 3ac ≤ 0

- Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Khi đó:

Phương trình đường thẳng AB : y = $\frac{2}{3}$(c -$\frac{2b}{3a}$ )x + (d -$\frac{bc}{9a}$)

Độ dài đoạn thẳng AB = $\sqrt{\frac{4e+ 16e^3}{a}}$ với e = $\frac{b^2-3ac}{9a}$

Hoặc khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: $y-\frac{y^{\text{'}}.y^{\text{'}\text{'}}}{18a}$ (CASIO hỗ trợ).

Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ ($a\ne 0$) có đồ thị là (C) .

Ta có $y^{\text{'}}=4a{x}^3+2bx;$

$\hspace{0.17em}{y}^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}\right.$

(C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\iff -\frac{b}{2a}>0$ hay ab < 0

Hàm số có 3 cực trị là:

$$\begin{gathered} A(0;c), \\ B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a}\right), \\ C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a}\right) \end{gathered}$$.

Độ dài các đoạn thẳng:

$$\begin{gathered} AB=AC=\sqrt{\frac{b^4}{16a^2}-\frac{b}{2a}}, \\ BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}} \end{gathered}$$

CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm x_o thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi x_i tính f ”(x_i)

- Nếu f ”(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i

- Nếu f ”(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

Sử dụng định lí 2 và định lí 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’_y’ = b² – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² – 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax³ + 2bx; y' = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}\right.$

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ x_o ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại x_o phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x_o

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm x_o hoặc f ”(x_o) ≠ 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất 

Đáp án đúng: D

* Lời giải

* Phương pháp giải 

Do hàm a^x > 0  nên để phương trình có nghiệm thực ta chỉ cần m>0 

* Lý thuyết nắm thêm

Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$\hspace{0.17em}=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$\hspace{0.17em}=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$\hspace{0.17em}=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Nguyên hàm – Toán 12

Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án) - Toán 12 

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Một tập hợp các ký hiệu và những quy tắc dùng để biểu diễn và tính toán giá trị các số được gọi là hệ đếm

*Phương pháp giải

Một tập hợp các ký hiệu và những quy tắc dùng để biểu diễn và tính toán giá trị các số được gọi là hệ đếm

*Lý thuyết nắm thêm