Đáp án đúng là: C

Các số nguyên dương thỏa mãn bài toán lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=3$  và công sai d = 3

Do đó $S_{50}=n.\frac{2u_1+(n-1)d}{2}=50.\frac{2.3+ (50-1).3}{2}$= 3825

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu u₁, công sai d là: S_n = $n.\frac{2u_1+(n-1)d}{2}$

Lý thuyết về cấp số cộng

I. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

    u_n+1 = u_n + d với n ∈ N^*

Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

    u_n = u₁ + (n – 1 )d với n ≥ 2

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3

Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n. Khi đó

Chú ý: Vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là 

Lời giải:

y : 3,1 = 1,47 (dư 0,013)

y = 1,47 x 3,1 + 0,013

y = 4,57

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc của phép nhân và phép chia

*Dạng toán tìm x

Phương pháp chung:

Áp dụng các quy tắc

Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

Đối với phép trừ:

+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu

Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Đối với phép chia:

+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia

+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia chia cho thương

+ Với phép chia có dư: muốn tìm số bị chia ta lấy thương x số chia + số dư

Lời giải:

a) x x 0,8 = 1,2 x 4,5

x x 0,8 = 5,4

x = 5,4 : 0,8

x = 6,75

Vậy x = 6,75.

b) 45,54 : x = 18 : 5

45,54 : x = 3,6

x = 45,54 : 3,6

x = 12,65

Vậy x = 12,65.

Phương pháp giải: Tìm x

* Lý thuyết mở rộng

Dạng toán tìm x:

Phương pháp chung:

Áp dụng các quy tắc

Đối với phép cộng: Muốn tìm số hạng chưa biết ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

Đối với phép trừ:

+ Muốn tìm số bị trừ ta lấy hiệu cộng với số trừ

+ Muốn tìm số trừ ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu

Đối với phép nhân: Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Đối với phép chia:

+ Muốn tìm số bị chia ta thấy thương nhân với số chia

+ Muốn tìm số chia ta thấy số bị chia chia cho thương

+ Với phép chia có dư: muốn tìm số bị chia ta lấy thương x số chia + số dư

Lời giải:

Số tự nhiên có số chục là 135, chữ số hàng đơn vị là 7 là 1357.

Phương pháp giải:

Xác định đúng vị chữ các chữ số

* Mở rộng kiến thức

Lý thuyết hàng và lớp

1. Hàng và lớp

Hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm hợp thành lớp đơn vị.

Hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn hợp thành lớp nghìn.

2. So sánh các số có nhiều chữ số

Ví dụ 1: So sánh 99578 và 100000.

Số 99578 có ít chữ số hơn số 100000 nên 99578 < 100000 hay 100000 > 99578.

Ví dụ 2: So sánh 693251 và 693500.

Hai số này có số chữ số bằng nhau.

Các chữ số hàng trăm nghìn đều bằng 6, hàng chục nghìn đều bằng 9, hàng nghìn đều bằng 3.

Đến hàng trăm có 2 < 5.

Vậy: 693251 < 693500 hay 693500 > 693251.

Đáp án đúng là: C

Hình bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều:

Diện tích 1 mặt cũng chính là diện tích của 1 tam giác đều cạnh a: S₁ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện: S = 8.S₁ = $8.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}{a}^2$

Phương pháp giải:

Tính diện tích 1 mặt là diện tích 1 tam giác đều

Tổng diện tích bằng 1 mặt x 8

* Mở rộng kiến thức

I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI

    Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi.

    Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

II . KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

    Định nghĩa

    Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

    - Các mặt là những đa giác đều n cạnh.

    - Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.

    Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}.

    Định lí

    Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:

    - Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.

    - Loại {4; 3}: khối lập phương.

    - Loại {3; 4}: khối bát diện đều.

    - Loại {5; 3}: khối 12 mặt đều.

    - Loại {3; 5}: khối 20 mặt đều.

Khối đa diện đều		Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	Loại
Tứ diện đều		4	6	4	{3;3}
Khối lập phương		8	12	6	{4;3}
Bát diện đều		6	12	8	{3;4}
Mười hai mặt đều		20	30	12	{5;3}
Hai mươi mặt đều		12	30	20	{3;5

Đáp án đúng là: D

Lời giải:

$$\begin{gathered} S_{tp}= S_{xq}+ 2S_{đáy}=2\pi Rh+2\pi R^2 \\ =2\pi .a.a\sqrt{3}+2\pi a^2=2\sqrt{3}\pi a^2+2\pi a^2 \\ =2\pi a^2(\sqrt{3}+1) \end{gathered}$$

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xunh quanh hình trụ: Sxq = 2$\pi$Rh

Công thức tính diện tích hình tròn: S = $\pi R^2$

* Mở rộng kiến thức

1. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

- Công thức tính:  S_xq = 2πrh =2πrl

Trong đó: r là bán kính của đường tròn đáy

h là chiều cao của khối trụ.

l là độ dài đường sinh.

2. Công thức tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích 2 đáy.

Stp= S_xq  + 2S_d  = 2πrh  + 2πr² = 2πr(r+h)

Lời giải:

$\frac{4}{5}+\frac{1}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}+\frac{2}{20}=\frac{4}{5}+\frac{1}{10}=\frac{8}{10}+\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

Phương pháp giải:

- Phép cộng phân số

- Phép nhân phân số

- Rút gọn phân số

* Kiến thức mở rộng

I. Cộng trừ phân số

1. Cộng, trừ các phân số cùng mẫu số

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số cùng mẫu số ta cộng (hoặc trừ) hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ 1:

$\frac{2}{9}+\frac{5}{9}=\frac{2+5}{9}=\frac{7}{9}$

$\frac{13}{15}-\frac{7}{15}=\frac{13-7}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

Lưu ý: Sau khi làm phép tính cộng (hoặc trừ) hai phân số, nếu thu được phân số chưa tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.

2. Cộng, trừ các phân số khác mẫu số

Quy tắc: Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân số khác mẫu số ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số đã quy đồng.

Ví dụ 1:

$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{8+9}{12}=\frac{17}{12}$

$\frac{5}{6}-\frac{3}{5}=\frac{25}{30}-\frac{18}{30}=\frac{25-18}{30}=\frac{7}{30}$

3. Tính chất của phép cộng phân số

+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tổng thì tổng của chúng không thay đổi.

+ Tính chất kết hợp: Khi cộng một tổng hai phân số với phân số thứ ba thì ta có thể cộng phân số thứ nhất với tổng của hai phân số còn lại.

+ Cộng với số 0: Phân số nào cộng với 0 cũng bằng chính phân số đó.

Lưu ý: ta thường áp dụng các tính chất của phép cộng phân số trong các bài tính nhanh.

II. Nhân, chia phân số

1. Phép nhân hai phân số và các tính chất của phép nhân hai phân số

a) Phép nhân hai phân số

Quy tắc: Muốn nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Ví dụ 1: $\frac{2}{3}\times \frac{5}{9}=\frac{2\times 5}{3\times 9}=\frac{10}{27}$

Ví dụ 2: $\frac{3}{4}\times \frac{5}{9}=\frac{3\times 5}{4\times 9}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

Lưu ý:

+) Sau khi làm phép nhân hai phân số, nếu thu được phân số chưa tối giản thì ta phải rút gọn thành phân số tối giản.

+) Khi nhân hai phân số, sau bước lấy tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số, nếu tử số và mẫu số cùng chia hết cho một số nào đó thì ta rút gọn luôn, không nên nhân lên sau đó lại rút gọn.

Ví dụ quay lại với ví dụ 2 ở bên trên, ta có thể làm như sau:

$\frac{3}{4}\times \frac{5}{9}=\frac{{\cancel{3}}_1\times 5}{4\times {\cancel{9}}_3}=\frac{1\times 5}{4\times 3}=\frac{5}{12}$

b) Các tính chất của phép nhân phân số

+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các phân số trong một tích thì tích của chúng không thay đổi.

+) Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của hai phân số còn lại.

+) Tính chất phân phối: Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân lần lượt từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng các kết quả đó lại với nhau.

+) Nhân với số 1: Phân số nào nhân với 1 cũng bằng chính phân số đó.

Lưu ý: ta thường áp dụng các tính chất của phép nhân phân số trong các bài tính nhanh.

2. Phép chia hai phân số

a) Phân số đảo ngược

Phân số đảo ngược của một phân số là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Ví dụ: Phân số đảo ngược của phân số $\frac{2}{3}$ là phân số $\frac{3}{2}$.

b) Phép chia hai phân số

Quy tắc: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Ví dụ: $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}$

Lời giải:

Nếu x = 2 ta được: 2,6 × 2 = 5,2 < 7 (loại)

Nếu x = 3 ta được: 2,6 × 3 = 7,8 > 7

Nếu x = 4 ta được: 2,6 × 4 = 10,4 > 7

Nếu x = 5 ta được: 2,6 × 5 = 13 > 7

Vậy số tự nhiên bé nhất chọn là x = 3

Phương pháp giải:

Thay các trường hợp x

* Kiến thức mở rộng

1. Cách nhân một số thập phân với một số thập phân

Quy tắc: Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Ví dụ 1: Đặt tính rồi tính:

a) 13,5 × 2,4

 b) 2,56 × 4,8

Bài giải

a) Ta đặt tính rồi làm như sau:

$\begin{array}{l}\times \underset{¯}{\begin{array}{l}\mathrm{13,5}\\ \mathrm{2,4}\end{array}}\\ 540\\ \underset{¯}{270}\\ \mathrm{32,4}0\end{array}$

- Thực hiện phép nhân như nhân các số tự nhiên 

- Hai thừa số có tất cả hai chữ số ở phần thập phân, ta dùng dấu phẩy tách ở tích ra hai chữ số kể từ phải sang trái

Vậy: 13,5 × 2,4 = 32,4

b) Ta đặt tính rồi làm như sau:

$\begin{array}{l}\times \underset{¯}{\begin{array}{l}\mathrm{2,5}6\\ \mathrm{4,8}\end{array}}\\ 2048\\ \underset{¯}{1024}\\ \mathrm{12,288}\end{array}$

- Thực hiện phép nhân như nhân các số tự nhiên.

- Hai thừa số có tất cả ba chữ số ở phần thập phân, ta dùng dấu phẩy tách ở tích ra ba chữ số kể từ phải sang trái .

Vậy:  2,56 × 4,8 = 12, 288

2. Các tính chất của phép nhân số thập phân

+) Tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ hai thừa số của một tích thì tích không thay đổi.

                                                a × b = b × a

+) Tính chất kết hợp: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba ta có thể nhân số thứ nhất với tích của hai số còn lại.

                                                 (a × b) × c = a × (b × c)

3. Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001; …

Quy tắc: Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, … chữ số.

Ví dụ 1: Nhân nhẩm:

a) 12,8 × 0,1

b) 724,6 × 0,01

c) 4774 × 0,001

d) 59632,7 × 0,0001

Cách giải:

a) 12,8 × 0,1 = 1,28

b) 724,6 × 0,01 = 7,246

c) 4774 × 0,001 = 4,774

d) 59632,7 × 0,0001 = 5,96327

Chú ý: Nếu số chữ số ở phần nguyên của một số ít hơn số chữ số 0 của các số 0,1; 0,01; 0,001 thì khi nhân hai số ta có thể viết thêm một số thích hợp chữ số 0 vào bên trái phần nguyên của số đó rồi nhân như bình thường.

Thực hiện phép nhân như nhân các số tự nhiên.

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

Tỉ số phần trăm của hai số 135 và 400 là:

$135:400 x 100=\frac{135}{400}x100=33,75\%$.

Phương pháp giải:

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

*Kiến thức mở rộng

1. Tỉ số phần trăm là gì?

Tỷ số của hai số là thương của phép chia số a cho số b với b khác 0, được viết dưới dạng a / b hoặc a : b.

Tỷ số phần trăm chính là tỉ số của hai số mà ở đó ta sẽ quy mẫu số của tỉ số về số 100. Tỷ số phần trăm thường được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng này so với lượng khác. Ví dụ: 2/100 = 2%, 35/100 = 35%

Ký hiệu thường dùng là “%” – ký hiệu phần trăm. Ví dụ: 50% (đọc là “năm mươi phần trăm”) tương đương với 50/100, nói cách khác là 0,5.

2. Tỉ số phần trăm có ý nghĩa gì?

Trong toán học, phần trăm là tỉ số thể hiện dưới dạng phân số có mẫu số là 100. Tương tự, một số hệ thống diễn đạt phân số có mẫu số là 1000 được gọi là hệ thống phần nghìn. Phần trăm được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng so với một lượng khác. Cụ thể đại lượng thứ nhất thường thể hiện phần tương ứng hoặc phần thay đổi so với đại lượng thứ hai.

Lời giải:

Nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1.

Nếu tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.

Nếu tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1.

* Kiến thức mở rộng

1. Khái niệm phân số

- Phân số bao gồm tử số và mẫu số, trong đó tử số là một số tự nhiên viết trên dấu gạch ngang, mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới dấu gạch ngang.

- Cách đọc phân số: Khi đọc phân số ta đọc tử số trước rồi đọc “phần” sau đó đọc đến mẫu số.

Ví dụ: Phân số $\frac{1}{8}$ được đọc là một phần tám.

- Có thể dùng phân số để ghi kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. Phân số đó cũng được gọi là thương của phép chia đã cho.

Ví dụ: 3 : 5 = $\frac{3}{5}$

- Mọi số tự nhiên đều có thể viết thành phân số có mẫu số là 1.

Ví dụ: 6 = $\frac{6}{1}$; 18 = $\frac{18}{1}$; ....

- Số 1 có thể viết thành phân số có tử số và mẫu số bằng nhau và khác 0.

Ví dụ: 1= $\frac{6}{6}$; 1 = $\frac{18}{1}$;...

- Số 0 có thể viết thành phân số có tử số là 0 và mẫu số khác 0.

Ví dụ: 0 = $\frac{0}{8}$; 0 = $\frac{0}{445}$;...

2. Tính chất cơ bản của phân số

- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. 

Ví dụ: $\frac{3}{4}=\frac{3\times 2}{4\times 2}=\frac{6}{8}$; $\frac{12}{20}=\frac{12:4}{20:4}=\frac{3}{5}$

3. Ứng dụng tính chất cơ bản của phân số

Dạng 1: Rút gọn phân số

Bước 1: Xét xem cả tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1

Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho số vừa tìm được

Bước 3: Cứ làm thế cho đến khi tìm được phân số tối giản

Chú ý: Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1

Ví dụ: $\frac{9}{15}=\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}$

Dạng 2: Quy đồng mẫu số các phân số

a) Trường hợp mẫu số chung bằng tích của hai mẫu số của hai phân số đã cho

Bước 1: Lấy cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai

Bước 2: Lấy cả tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất

Ví dụ: Quy đồng hai phân số $\frac{3}{4}$ và $\frac{7}{3}$

MSC: 12

$\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{9}{12}$

$\frac{7}{3}=\frac{7\times 4}{3\times 4}=\frac{28}{12}$

b) Mẫu số của một trong các phân số chia hết cho mẫu số của các phân số còn lại

Bước 1: Lấy mẫu số chung là mẫu số mà chia hết cho mẫu số của các phân số còn lại

Bước 2: Tìm thừa số phụ

Bước 3: Nhân cả tử số và mẫu số của các phân số còn lại với thừa số phụ tương ứng

Bước 4: Giữ nguyên phân số có mẫu số chia hết cho mẫu số của các phân số còn lại

Ví dụ: Quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{15}{16}$ và $\frac{3}{8}$.

MSC = 16

$\frac{15}{16}$

$\frac{3}{8}=\frac{3\times 2}{8\times 2}=\frac{6}{16}$

Lời giải:

Một phép chia có số chia là 5, số dư là 1, để phép tính chia là phép tính chia hết thì số bị chia cần tăng thêm 4 đơn vị

Giải thích:

Khi thêm 4 đơn vị vào số bị chia, phép chia khi đó sẽ "dư" 4 + 1 = 5 hay là phép chia hết

* Kiến thức mở rộng

I. Phép chia có dư

II. Phép chia hết

- Phép chia hết là phép chia có dư bằng 0.

III. Dấu hiệu chia hết

1. Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 sẽ chia hết cho 2.

    Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 sẽ chia hết cho 5.

    Các số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì sẽ chia hết cho 4.

    Các số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì sẽ chia hết cho 8.

    Các số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì sẽ chia hết cho 25.

2. Các số tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

    Các số tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

3. Các số chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6 (Các số chẵn chia hết cho 3).

    Các số có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ hoặc ngược lại chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.

4. Nắm được một số tính chất của phép chia hết và phép chia có dư:

   + Nếu tất cả các số hạng trong một tổng đều chia hết cho một số thì tổng đó chia hết cho số đó. Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho một số thì hiệu chia hết cho số đó.

   + Nếu tổng (hiệu) của tất cả các số dư của mỗi số hạng (số bị chia và số chia) trong một tổng (hiệu) mà chia hết cho n thì tổng (hiệu) đó chia hết cho n.

   + A và B có cùng số dư khi chia cho m thì A - B chia hết cho n.

   + Nếu A chia hết cho n, B chia hết cho m thì tích A $\times$× B chia hết cho n $\times$× m.

Lời giải:

Gọi số nhóm chia được là x (x ∈ ℕ*, 1 < x ≤ 5).

Vì số nam và số nữ ở mỗi nhóm đều như nhau nên 220 ⋮ x và 280 ⋮ x. Do đó, x là ước chung của 220 và 280

Ta có: 220 = 2².5.11

280 = 2³.5.7

ƯCLN (220; 280) = 2².5 = 4.5 = 20

ƯC (220; 280) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

Vì số nhóm lớn hơn 1 và quá 5 nên số nhóm có thể là 2; 4 hoặc 5.

+) Với số nhóm là 2

Số nam mỗi nhóm là: 280 : 2 = 140 (nam)

Số nữ mỗi nhóm là: 220 : 2 = 110 (nữ)

+) Với số nhóm là 4

Số nam mỗi nhóm là: 280 : 4 = 70 (nam)

Số nữ mỗi nhóm là: 220 : 4 = 55 (nữ)

+) Với số nhóm là 5

Số nam mỗi nhóm là: 280 : 5 = 56 (nam)

Số nữ mỗi nhóm là: 220 : 5 = 44 (nữ).

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ước chung của 220 và 280

Bước 2: Xác định số nhóm dựa trên điều kiện đề bài đưa ra

Bước 3: Kiểm tra từng trường hợp

* Kiến thức mở rộng

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

1. Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

2. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

   Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

   Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

   Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm

Ví dụ: Tìm ƯCLN (54;90)

   + Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

54 = 2.3³

90 = 2.3².5

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2

Vậy ƯCLN (54;90) = 2.3² = 18

Chú ý:

   + Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

   + Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

   + Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

3. Cách tìm ước chung thông qua tìm ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ: Tìm các ước chung của 54 và 90

Ta đã chỉ ra ở ví dụ trên ƯCLN (54; 90) = 18

Các ước của 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Vậy ƯC (54; 90) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Lời giải:

Các đơn thức B và D là đơn thức đã thu gọn.

Ta thu gọn đơn thức A và C như sau:

A = 4x(−2)x²y = [4 . (−2)] (x . x²)y = −8x³y;

$C=(1+2.4,5)x^{2}y\frac{1}{5}{y}^3=\left(10.\frac{1}{5}\right)x^2\left(y^3.y\right)=2x^2{y}^4$.

Phương pháp giải:

- Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số, hoặc có dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

- áp dụng các tính chất của phép nhân và phép nâng lên lũy thừa.

* Kiến thức mở rộng

1. Thu gọn đơn thức

⦁ Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số, hoặc có dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

⦁ Để thu gọn đơn thức, ta thực hiện:

Bước 1. Đổi chỗ và nhóm các hệ số thành một nhóm, các biến thành một nhóm.

Bước 2. Thực hiện phép nhân, phép nâng lên lũy thừa trong từng nhóm.

Chú ý:

+ Một số cũng được coi là một đơn thức thu gọn chỉ có phần hệ số.

+ Trong các đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần.

+ Khi viết một đơn thức thu gọn, ta thường viết hệ số trước, phần biến sau; các biến được viết theo thứ tự trong bảng chữ cái.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ. Thu gọn các đơn thức sau: $3x\cdot x^2;\frac{1}{2}x{y}^2{z}^{3}3y^2.$

Hướng dẫn giải:

Thu gọn đơn thức:

3x.x² = 3.x¹⁺² = 3x³.

$\frac{1}{2}x{y}^2{z}^{3}3y^2=\left(\frac{1}{2}.3\right)x(y^2.y^2)z^3=\frac{3}{2}x{y}^4{z}^3$.

2. Bậc của đơn thức

Tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0 gọi là bậc của đơn thức đó.

Chú ý: + Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.

+ Số 0 được gọi là đơn thức không có bậc.

Với những đơn thức chưa thu gọn, ta nên thu gọn đơn thức trước, khi đó, bậc của đơn thức thu gọn chính là bậc của đơn thức ban đầu.

*Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Đáp án đúng là: B

Lời giải: 

Khối lăng trụ tam giác có 6 đỉnh

* Kiến thức mở rộng

Hình lăng trụ đứng tam giác có:

- Có 6 đỉnh

- Có 2 mặt đáy cùng là tam giác và song song với nhau, 3 mặt bên là các hình chữ nhật.

- Các cạnh bên bằng nhau

- Chiều cao là độ dài một cạnh bên.

Hình lăng trụ đứng tứ giác có:

- Có 8 đỉnh

- 2 mặt đáy cùng là tứ giác và song song với nhau, 4 mặt bên là các hình chữ nhật.

- Các cạnh bên bằng nhau.

- Chiều cao là độ dài một cạnh bên.

Chú ý: Hình hộp chữ nhật cũng là một hình lăng trụ đứng tứ giác

Đáp án đúng là: D

Lời giải:

Lục giác đều có 6 trục đối xứng là 3 đường chéo và 3 đường thẳng đi qua trung điểm cặp cạnh đối.

Ứng với mỗi trục đối xứng của lục giác đều ta có một mặt phẳng đối xứng của lăng trụ lục giác đều.

Ngoài ra, lăng trụ lục giác đều còn có một mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các cạnh bên.

Vậy lăng trụ lục giác đều có tất cả 7 mặt phẳng đối xứng.

* Kiến thức mở rộng

Hình lăng trụ lục giác đều là một thể ba chiều, với hai mặt đáy là hình lục giác đều và các mặt bên là hình chữ nhật. Cấu trúc này tạo nên tính đối xứng và đẹp mắt, được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực từ kiến trúc đến khoa học tự nhiên.

Đặc Điểm Hình Lăng Trụ Lục Giác

• Hai mặt đáy là hình lục giác đều.

• Các mặt bên là hình chữ nhật, vuông góc với mặt đáy.

• Cạnh bên và đáy tạo nên hình lăng trụ đứng.

Công Thức Tính Diện Tích và Thể Tích

Ứng Dụng Thực Tế

• Kiến trúc: Sử dụng trong thiết kế các cấu trúc của tòa nhà, vì hình dáng độc đáo và vững chắc.

• Kỹ thuật: Áp dụng trong thiết kế các bộ phận máy móc, đặc biệt là trong các cấu trúc khung gầm.

• Khoa học môi trường: Cấu trúc tổ ong trong tự nhiên là ví dụ điển hình, tối đa hóa không gian mà không làm tăng trọng lượng.

• Công nghệ nano: Ứng dụng trong nghiên cứu vật liệu mới với tính chất vật lý, hóa học đặc biệt.

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên +1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.

=> Hình chóp ngũ giác có 6 mặt và 10 cạnh. Tổng số mặt và cạnh là 16

* Kiến thức mở rộng

Hình chóp ngũ giác là một khối đa diện đặc biệt với đáy là hình ngũ giác và các mặt bên là tam giác. Khái niệm này có nhiều ứng dụng không chỉ trong hình học mà còn trong thiết kế và kiến trúc.

Định Nghĩa và Các Đặc Điểm Cơ Bản

• Đỉnh của hình chóp ngũ giác có thể được định nghĩa là điểm nối từ đáy đến đỉnh không nằm trên mặt phẳng đáy.

• Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy.

• Diện tích xung quanh của hình chóp ngũ giác có thể tính bằng tổng diện tích các mặt bên. Công thức tính là $S_{xq}=5\times \frac{a\times l}{2}$, trong đó a là cạnh đáy và l là chiều dài đường cao của một mặt bên.

• Diện tích mặt đáy có thể tính bằng S_đáy = $\frac{5a^2\tan (54°)}{4}$

• Thể tích của hình chóp ngũ giác tính theo công thức V = $\frac{1}{3}.S_{đáy}.h$

Diện Tích và Thể Tích

Để tính diện tích toàn phần của hình chóp ngũ giác, ta cần cộng diện tích xung quanh với diện tích mặt đáy. Công thức tính diện tích toàn phần là:

S_tp = $\frac{5}{2}a(h +l)$

Trong đó: a là cạnh đáy

h: là chiều dài đường cao của mặt đáy

l: chiều dài đường cao một mặt bên

Công thức tính thể tích hình chóp ngũ giác khi biết chiều cao và cạnh đáy là: V = $\frac{5}{6}{a}^{2}h$

Ứng Dụng

Hình chóp ngũ giác không chỉ hữu ích trong học thuật mà còn trong nghệ thuật và thiết kế. Nó được sử dụng để tạo ra các cấu trúc có tính thẩm mỹ cao, cũng như trong các mô hình toán học và vật lý phức tạp.

Các kiến trúc sư và nhà thiết kế thường xuyên sử dụng hình chóp ngũ giác để tạo ra các kiến trúc độc đáo và bắt mắt.

Vẽ Hình Chóp Ngũ Giác

1. Bắt đầu với việc vẽ một đường tròn và chọn một điểm trên đường tròn làm điểm khởi đầu.

2. Sử dụng compa để đánh dấu các điểm còn lại, tạo thành một ngũ giác đều.

3. Nối các điểm này với nhau để hình thành ngũ giác đáy.

4. Vẽ đường thẳng từ điểm trên cao (đỉnh của chóp) xuống các đỉnh của ngũ giác.

5. Hoàn thiện hình chóp bằng cách vẽ các cạnh nối từ đỉnh chóp đến các đỉnh của ngũ giác.

Đáp án đúng là: D

Lời giải: 

- Hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ, hình chóp đều: hình chiếu có dạng là hình dạng các mặt bao của nó.

* Kiến thức mở rộng

• Đặc điểm hình chiếu vuông góc của hình chóp tứ giác đều

Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh là tam giác cân cạnh a chiều cao hát

Hình chiếu bằng là hình vuông cạnh a

• Đặc điểm hình chiếu vuông góc của hình hộp chữ nhật

chiếu đứng có hình dạng hình chữ nhật có chiều dài a chiều rộng b

hình chiếu bằng có hình dạng hình chữ nhật với chiều dài a chiều rộng b

Hình chiếu cạnh có chiều dài h chiều rộng b

• Đặc điểm hình chiếu vuông góc của hình lăng trụ tam giác đều

Hình chiếu đứng có dạng hình chữ nhật khối chiều dài là h chiều rộng là a

Hình chiếu bằng có dạng tam giác đều với các cạnh bằng nhau và bằng a chiều cao là h

Hình chiếu cạnh có dạng hình chữ nhật với chiều dài h chiều rộng b

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax² + bx + x với a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.

Vậy trong các hàm số đã cho thì hàm số y = – 3x² + 1 là hàm số bậc hai với các hệ số a = – 3, b = 0 và c = 1.

Chú ý: Hàm số $y=3{\left(\frac{1}{x}\right)}^2+3\frac{1}{x}-1$ không phải là hàm số bậc hai, mà đây là hàm số có thể đưa về dạng bậc hai nếu ta đặt $t=\frac{1}{x}$.

* Kiến thức mở rộng

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Tập xác định của hàm số này là D = R

Hàm số y = ax² (a ≠ 0) đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.

I. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm I, có trục đối xứng là đường thẳng x = -. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

Cách vẽ

Để vẽ parabol y = ax² + bx + c (a≠0) ta thực hiện các bước

1) Xác định tọa độ của đỉnh I

2) Vẽ trục đối xứng x = - .

3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0; c)) và trục hoành (nếu có).

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

4) Vẽ parabol.

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

II. CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Dựa vào đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (a≠0) ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau

Từ đó, ta có định lí dưới đây

Định lí

Nếu a < 0 thì hàm số y = ax² + bx + c nghịch biến trên khoảng (–∞; -); đồng biến trên khoảng (-; +∞).

Nếu a > 0 thì hàm số y = ax² + bx + c đồng biến trên khoảng (–∞; -) nghịch biến trên khoảng (-; +∞).

Đáp án đúng là: A

Lời giải:

Ta xét các đáp án:

Đáp án A: Hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc bằng nhau nên A sai.

Đáp án B: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nên B đúng.

Đáp án C: Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều nên có ba góc bằng nhau nên C đúng.

Tương tự đáp án D cũng là tam giác đều nên D đúng.

* Kiến thức mở rộng

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết : 

a. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Xét  có:

AB = A’B’

AC = A’C’

BC = B’C’

thì 

b. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

c. Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác: góc – cạnh – góc

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

• Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh )

• Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc )

• Cạnh huyền – góc nhọn

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( góc – cạnh – góc)

• Cạnh huyền – cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Đáp án đúng là: D

Lời giải: 

Ta có M; N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN chính là đường trung bình của $∆$ABC

=> MN = $\frac{1}{2}BC$ hay BC = 2 MN

=> $\overrightarrow{|BC}|=2|\overrightarrow{MN}|$

* Kiến thức mở rộng

1. Định nghĩa vectơ: 

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu :   $\overrightarrow{AB}$

Vectơ còn được kí hiệu là:   $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\mathrm{...}$

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là $\overrightarrow{0}$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương  

- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng  hoặc ngược hướng.

Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng còn $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{HG}$ ngược hướng.

Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng  với mọi véc tơ.

3. Hai vectơ bằng nhau

- Độ dài đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài véc tơ $\overrightarrow{AB}$, kí hiệu $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$.

- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành $ABCD$ khi đó   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

Đán án đúng là: C

Lời giải:

- TXĐ: D = $\mathrm{ℝ}$

y = x³ + 3x² + 2 

=> y' = 3x² + 6x

y '= 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Bảng biến thị của đồ thị hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại của hàm số là (-2; 6) 

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ

- Tính y', cho y' = 0 tìm được x

- Vẽ bảng biến thiên

* Kiến thức mở rộng

Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, 3, ...) là các nghiệm của nó.

3. Tính f"(x) và f"(xi)

4. Nếu f"(xi) > 0 thì xi là điểm cực tiểu.

Nếu f"(xi) < 0 thì xi là điểm cực đại.

Đáp án đúng là: D

Lời giải:

y ' = (3^x)' = 3^x ln3

Phương pháp giải:

Nắm vững bảng quy tắc đạo hàm

* Kiến thức mở rộng

1. Định nghĩa đạo hàm

Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại , khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số  tại điểm .

Cho hàm số  xác định trên  và :

== 

Nếu hàm số  có đạo hàm tại  thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên, Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0)

trong đó y0= f( x0)

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a. Vận tốc tức thời.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0:

v(t0) = s’(t0)

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0:

I(t0)= Q’(t0) .

* Lời giải:

Nếu theo dự định thì mỗi tổ có số công nhân là:

180 : 5 = 36 (công nhân)

Lúc sau người ta lại chia mỗi tổ có số công nhân là:

180 : 6 = 30 (công nhân)

Mỗi tổ ít hơn dự định số công nhân là

36 – 30 = 6 (công nhân)

* Phương pháp giải:

Cách giải và trình bày bài toán rút về đơn vị.

Bước 1: Tìm giá trị của một đơn vị.

Bước 2: Tìm giá trị của các nhóm theo yêu cầu.

* Lý thuyết nắm thêm về rút về đơn vị:

Các bước giải bài toán liên quan đến rút về đơn vị (dạng 1):

Bước 1: Tìm giá trị một phần (thực hiện phép chia)

Bước 2: Tìm giá trị nhiều phần như thế (thực hiện phép nhân)

Các bước giải bài toán liên quan đến rút về đơn vị (dạng 2)

Bước 1: Tìm giá trị một phần – rút về đơn vị (thực hiện phép chia)

Bước 2: Tìm số phần – số đơn vị (thực hiện phép chia)

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1: Giải bài toán rút về đơn vị

Dạng 2: Giải bài toán rút về đơn vị đi một đại lượng)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bài toán rút về đơn vị lớp 3 

* Lời giải:

Vì số gà mái không đổi nên 60 con gà trống ứng với số phần trăm là

40% - 30% = 10% ( số gà mái)

Số gà mái ban đầu là :

60 : 10 x 100 = 600( con)

Số gà trống ban đầu là

600 x 30 : 100 = 180 ( con)

 Lúc đầu có tất cả số con gà là :

600 + 180 = 780 ( con)

                      Đáp số : 780 con

* Phương pháp giải:

áp dụng công thức tính tỉ số phần trăm khi biết tổng:

• Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).

* Lý thuyết nắm thêm về tỉ số phần trăm:

1. Tỉ số phần trăm là gì?

Tỷ số của hai số là thương của phép chia số a cho số b với b khác 0, được viết dưới dạng a / b hoặc a : b.

Tỷ số phần trăm chính là tỉ số của hai số mà ở đó ta sẽ quy mẫu số của tỉ số về số 100. Tỷ số phần trăm thường được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng này so với lượng khác. Ví dụ: 2/100 = 2%, 35/100 = 35%

Ký hiệu thường dùng là “%” – ký hiệu phần trăm. Ví dụ: 50% (đọc là “năm mươi phần trăm”) tương đương với 50/100, nói cách khác là 0,5.

2. Tỉ số phần trăm có ý nghĩa gì?

Trong toán học, phần trăm là tỉ số thể hiện dưới dạng phân số có mẫu số là 100. Tương tự, một số hệ thống diễn đạt phân số có mẫu số là 1000 được gọi là hệ thống phần nghìn. Phần trăm được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng so với một lượng khác. Cụ thể đại lượng thứ nhất thường thể hiện phần tương ứng hoặc phần thay đổi so với đại lượng thứ hai.

3. Công thức tính tỉ số phần trăm

- Cách tính tỉ số phần trăm của 1 số

Trong toán học, phần trăm là tỷ lệ được hiển thị dưới dạng phân số với mẫu số luôn luôn bằng 100. Ngoài ra, phần trăm còn được biểu diễn ở dạng khác bằng cách dùng ký hiệu % mà bạn thường gặp như 1%, 5%, 10%,… Điều đặc biệt là phần trăm không có đơn vị đo lường.

Bạn sẽ thường thấy rằng phần trăm được dùng để chỉ ra mức độ (hay độ lớn) của một lượng này so với một lượng kia. Ví dụ, một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh là nữ thì ta có thể nói rằng số học sinh nữ chiếm tỉ lệ 50% trong tổng số học sinh của lớp học đó.

Để hiểu rõ hơn về tỷ lệ phần trăm, dưới đây là cách tính phần trăm của 1 số:

• Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).

Ví dụ, một một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 5 học sinh là nữ. Thì ta có, 20 học sinh là tổng thể, 5 học sinh nữ là số bạn cần so sánh. Ta có phép tính như sau: (5/20)*100(%).

• Tính phần trăm khi chưa biết tổng thể với a là một số, b là một số, ta tính như sau: a/(a+b))*100 hay b/(a+b))*100 (%).

- Cách tính phần trăm của 2 số

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

- Cách tính phần trăm của một tổng

Đây là cách tính phần trăm được dùng nhiều nhất trong tất cả. Khi tính phần trăm 1 tổng, bạn sẽ biết đại lượng này chiếm bao nhiêu phần trong tổng chung.

Cách tính phần trăm A so với tổng (A+B): A/(A+B)*100

- Cách tính phần trăm tăng trưởng so sánh

Một khái niệm vô cùng quen thuộc trong lĩnh vực kinh tế mà bạn đã nghe qua đó là phần trăm tăng trưởng. Vậy phần trăm tăng trưởng là gì? Là mức độ tăng trưởng hay phát triển mà một doanh nghiệp, công ty hay thậm chí là nền kinh tế đó tăng/giảm nhanh/chậm so với những quý/kỳ/năm trước đó.

Công thức để tính phần trăm tăng trưởng: % tăng trưởng=(năm cần tính – năm trước)/năm trước*100

- Cách tính phần trăm hoàn thành công việc

Sẽ có đôi khi ta cũng cần đến cách tính phần trăm để đánh giá mức độ hoàn thành công việc. Giờ đây, công thức này còn được nâng cấp lên để tính tỷ lệ hoàn thành công việc theo dự kiến giúp cho việc hoạch định kế hoạch được tốt hơn,…

Công thức tính phần trăm hoàn thành công việc: (số công việc đã hoàn thành x/ số công việc phải hoàn thành y)*100

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tỉ số phần trăm (mới 2022 + Bài Tập) - Toán lớp 5 

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

* Lời giải:

Gọi x, y (xe) lần lượt là số xe loại lớn, số xe loại nhỏ cần thuê (x, y ≥ 0, x, y ∈ ℤ).

Suy ra T = 4x + 2y (triệu đồng) là số tiền thuê xe.

Do đó yêu cầu bài toán ⇔ T nhỏ nhất.

Theo đề, ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 12\\ 0\le y\le 10\\ 50x+30y\ge 450\\ 5x+y\ge 35\end{array}\right.$ (*)

Vẽ các đường thẳng d₁: 50x + 30y = 450 và d₂: 5x + y = 35 trên cùng một hệ trục tọa độ.

Tiếp theo, ta lấy điểm M(7; 5). Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}0\le 7\le 12\\ 0\le 5\le 10\\ 50.7+30.5\ge 450\\ 5.7+5\ge 35\end{array}\right.$  (đúng).

Suy ra miền nghiệm của hệ (*) là phần ngũ giác ABCDE, kể cả các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, với A(5; 10), B(6; 5), C(9; 0), D(12; 0), E(12; 10).

Ta có T_A = 40, T_B = 34, T_C = 36, T_D = 48, T_E = 68.

Do đó T nhỏ nhất ⇔ x = 6, y = 5.

Vậy trang trại phải thuê 6 xe lớn, 5 xe nhỏ để chi phí thuê xe là thấp nhất.

* Phương pháp giải:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

• Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau:

+ Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

* Lý thuyết nắm thêm về hệ bất phương trình

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là một hệ gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

• Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau:

+ Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Cánh diều

Giải Toán 10 Bài 4 (Kết nối tri thức): Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

* Lời giải:

Số tiền mua 1 mét vải là:

455000 : 7 = 65000 (đồng)

Số tiền mua 4,2 mét vải là;

65000 × 4,2 = 273000 (đồng)

Số tiền phải trả ít hơn là:

455000 – 273000 = 182000 (đồng)

Đáp số: 182 000 đồng.

* Phương pháp giải:

Tính số tiền mua 1 mét vải

Tính số tiền để mua 4,2m vải

Từ đó tính ra số tiền phải trả ít hơn

* Lý thuyết nắm thêm về số thập phân:

Các phân số có mẫu số là 10; 100; 1000;... được gọi là các phân số thập phân.

Ví dụ:  là các phân số thập phân.

Cấu tạo số thập phân

Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân, chúng được phân cách bởi dấu phẩy.

Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.

Ví dụ:

Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

Dạng 2: Trừ số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn trừ một số thập phân cho một số thập ta làm như sau:

+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Trừ như trừ các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Dạng 4: Phép chia số thập phân

1. Phương pháp giải

- Chia một số thập phân cho một số tự nhiên:

+ Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.

+ Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

+ Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia

- Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,... chữ số.

- Chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001, ... thực chất là nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,...

- Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân:

+ Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

+ Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp

+ Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và có thể cứ làm như thế mãi.

- Chia một số tự nhiên cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên.

- Chia một số thập phân cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phép toán với số thập phân lớp 5 và cách giải

35 Bài tập Phép chia số thập phân lớp 5 (có đáp án) 

* Lời giải:

D = 1960,8 kg/m3; d= 19608 N/m3

Thể tích thực của hòn gạch là:

Vt = 1200 – (192 x 2) = 816 cm3 = 0,000816 m3

Khối lượng riêng của gạch:

Trọng lượng riêng của gạch: d = 10 x D = 19607,8 N/m3

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính khối lượng riêng:

Từ đó áp dụng mối liên hệ D và d ta có: d= 10xD

* Lý thuyết nắm thêm về trọng lượng riêng, khối lượng riêng

1. Khối lượng riêng

- Khối lượng riêng của một chất được xác định bằng khối lượng của một đơn vị thể tích (1m³) chất đó.

- Hay nói cách khác: Khối lượng của 1m³ của một chất được gọi là khối lượng riêng của chất đó.

2. Công thức tính khối lượng riêng

Công thức:

Trong đó:

m là khối lượng của vật (kg)

V là thể tích của vật (m³)

D là khối lượng riêng của chất làm nên vật (kg/m³)

Đơn vị khối lượng riêng thường dùng đơn vị là kilôgam trên mét khối (kg/m³). Ngoài ra còn có thể dùng đơn vị gam trên mét khối (g/m³).

1 g/cm³ = 1000 kg/m³

3. Trọng lượng riêng

- Trọng lượng riêng của một chất được xác định bằng trọng lượng của một đơn vị thể tích (1m³) chất đó.

- Hay nói cách khác là: Trọng lượng của 1m³ của một chất được gọi là trọng lượng riêng của chất đó.

4. Công thức tính trọng lượng riêng

Công thức:

Trong đó:

      P là trọng lượng của vật (N)

      V là thể tích của vật (m³)

      d là trọng lượng riêng của chất làm nên vật (N/m³)

5. Mối quan hệ giữa khối lượng riêng và trọng lượng riêng

Dựa vào công thức P = 10.m ta có thể tính trọng lượng riêng d theo khối lượng riêng D:

Ta có:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính khối lượng riêng và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

* Lời giải:

M là điểm nằm trên đoạn AB và $AM=\frac{1}{5}AB$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{5}\overrightarrow{MB}$

$\iff \frac{4}{5}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{MA}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$.

* Phương pháp giải:

vận dụng các phép tính toán trong vecto về tổng, hiệu và tích để biến đổi 

* Lý thuyết nắm thêm về vecto

• Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý:

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta có một vectơ, kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ , đọc là “vectơ AB”.

Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}, \overrightarrow{u }, \overrightarrow{v},$...

• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, … được phát biểu tương tự như trong mặt phẳng.

- Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{\mathbf{b}}$. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$.

Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Chú ý:

• Phép lấy tổng hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

• Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không. Do đó, ta cũng định nghĩa được tổng của ba vectơ trong không gian.

• Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

• Với ba điểm A, B, C trong không gian, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm);

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành).

• Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$ (quy tắc hình hộp).

- Hiệu của hai vectơ

• Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$. Hiệu của vectơ $\overrightarrow{a}$ và vectơ $\overrightarrow{b}$ là tổng của vectơ $\overrightarrow{a}$với vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Phép lấy hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Đối với vectơ trong không gian, ta có quy tắc sau:

• Với ba điểm O, A, B trong không gian, ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ (quy tắc hiệu).

Tương tự như trong mặt phẳng, trong không gian ta cũng có định nghĩa sau:

Cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}$. Tích của số k với vectơ $\overrightarrow{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, được xác định như sau:

• Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0;

• Có độ dài bằng |k| . | $\overrightarrow{a}$|.

Quy ước: 0.$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$, k. $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$ . Do đó, k.$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{a}$= $\overrightarrow{0}$ .

Chú ý:

• Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

• Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}$ ,$\overrightarrow{b}$ và hai số thực h, k ta có:

+ k($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = k $\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$ ; k($\overrightarrow{a}$- $\overrightarrow{b}$ ) = k$\overrightarrow{a}$ − k$\overrightarrow{b}$ ;

+ (h + k)$\overrightarrow{a}$ = h $\overrightarrow{a}$ + k $\overrightarrow{a}$;

+ h(k $\overrightarrow{a}$) = (hk) $\overrightarrow{a}$;

+ 1$\overrightarrow{a}$ =$\overrightarrow{a}$ ; (−1) $\overrightarrow{a}$ = − $\overrightarrow{a}$.

• Hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k ≠ 0 sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian – Toán lớp 12 Cánh diều

Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Vectơ và các phép toán trong không gian 

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

Ta có $V_{S.ABM}=\frac{1}{3}SA.S_{\mathrm{\Delta }MAB}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}AB.d\left(M,AB\right)=\frac{1}{3}2a.\frac{1}{2}a.a=\frac{a^3}{3}$.

* Phương pháp giải:

áp dụng công thức tính thể tích hình chóp để tính: V = $\frac{1}{3}.h.S_{đáy}$

* Lý thuyết nắm thêm về hình chóp

Hình chóp tứ giác đều có:

- Đáy là hình vuông.

- 4 cạnh bên bằng nhau.

- 4 mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung một đỉnh.

- 4 cạnh đáy bằng nhau là bốn cạnh của hình vuông đáy.

- Chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

$S_{xq}=p.d$

($S_{xq}$ là diện tích xung quanh, p là nửa chu vi đáy, d là trung đoạn)

Thể tích của hình chóp tam giác đều (hình chóp tứ giác đều) bằng $\frac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao.

$V=\frac{1}{3}{S}_{đáy}.h$

(V là thể tích, $S_{đáy}$ là diện tích đáy, h là chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình chóp tam giác đều – Toán lớp 8 Cánh diều 

50 Bài tập Hình chóp đều Toán 8 mới nhất 

* Lời giải:

Số ki – lô – gam chè trong mỗi hộp bằng nhau khi đã sang:

13,6 : 2 = 6,8 (kg)

Số - ki –lô gam chè có trong hộp thứ nhất lúc đầu là:

6, 8 + 1,2 = 8(kg)

Số ki – lô –gam chè có trong hộp thứ hai lúc đầu là:

6, 8 – 1,2 = 5,6 (kg)

Đáp số: 8,0kg; 5,6kg

* Phương pháp giải:

Tính số kg chè mua mỗi hợp khi bằng nhau: chia đôi ra

Tính sô kg chè ở hộp thứ nhất ( nhiều hơn - phép cộng )

Tính số kg chè ở hộp thứ hai

* Lý thuyết nắm thêm về phép toán số thập phân

Cấu tạo số thập phân

Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân, chúng được phân cách bởi dấu phẩy.

Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu phẩy thuộc về phần thập phân.

Ví dụ:

Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

+ Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Cộng như cộng các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở cột thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

- Để tính tổng của nhiều số thập phân, ta làm tương tự như tính tổng của hai số thập phân.

Dạng 2: Trừ số thập phân

1. Phương pháp giải

- Muốn trừ một số thập phân cho một số thập ta làm như sau:

+ Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

+ Trừ như trừ các số tự nhiên.

+ Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

- Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên

+ Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số, rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

- Nhân một số thập với 10, 100, 1000, ... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,.. chữ số.

- Nhân một số thập phân với một số thập ta làm như sau:

+ Nhân như nhân các số tự nhiên.

+ Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Dạng 4: Phép chia số thập phân

1. Phương pháp giải

- Chia một số thập phân cho một số tự nhiên:

+ Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.

+ Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

+ Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia

- Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000,... ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba,... chữ số.

- Chia một số thập phân cho 0,1; 0,01; 0,001, ... thực chất là nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,...

- Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân:

+ Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

+ Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp

+ Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và có thể cứ làm như thế mãi.

- Chia một số tự nhiên cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì viết thêm vào bên phải số bị chia bấy nhiêu chữ số 0

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia các số tự nhiên.

- Chia một số thập phân cho một số thập phân:

+ Đếm xem có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của số chia thì chuyển dấu phẩy ở số bị chia sang bên phải bấy nhiêu chữ số.

+ Bỏ dấu phẩy ở số chia rồi thực hiện phép chia như chia cho số tự nhiên.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các phép toán với số thập phân lớp 5 và cách giải

35 Bài tập Phép chia số thập phân lớp 5 (có đáp án) 

* Lời giải:

Gọi số đèn mà lớp 9A, lớp 9B làm được trong 1 ngày lần lượt là $x,y(x,y\in \mathbb{N})$.

Theo bài ra ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=23\\ x+2y=22\end{array}\right..$

Giải hệ phương trình trên ta thu được $\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=7\end{array}\right.$.

Suy ra trong một ngày cả 2 lớp làm được 8 + 7 = 15 chiếc đèn.

Vậy nếu cả 2 lớp cùng làm thì hết $\frac{90}{15}=6$ ngày sẽ xong công việc đã dự định.

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình.  Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{xuoi}=v_{thuc}+v_{nuoc}$

$v_{nguoc}=v_{thuc}-v_{nuoc}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$(công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$(công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\overline{ab}=10a+b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0<a\le 9$;$0\le b\le 9$$\left(a,b\in \mathbb{N}\right)$.

- Biểu diễn số có ba chữ số $\overline{abc}=100a+10b+c$, trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0<a\le 9$;$0\le b\le 9$;$0\le c\le 9$$\left(a,b,c\in \mathbb{N}\right)$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra 

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

* Lời giải:

- Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x và y (x > 15, y > 15), đơn vị (ngày).

Một ngày đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

- Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{15}$ (công việc). Suy ra, ta có phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$  (1).

- Ba ngày đội đội thứ nhất làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

- Năm ngày đội thứ hai làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

- Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành xong $25\%=\frac{1}{4}$ (công việc). Suy ra, ta có phương trình : $\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$   (2).

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{40}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=24\\ y=40\end{array}\right..$ (TMĐK).

- Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 24 (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 40 (ngày).

* Phương pháp giải:

Gọi ẩn và điều kiện xác định cho ẩn

Từ đề bài lập các phương trình.  Từ đó ta được 1 hệ phương trình 2 ẩn

Giaỉ hệ phương trình vừa lập

* Lý thuyết nắm thêm về hệ phương trình

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện qua ba bước sau:

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết;

- Lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan của các đại lượng.

Bước 2: Giải các hệ phương trình vừa tìm được.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện ban đầu và kết luận bài toán.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{xuoi}=v_{thuc}+v_{nuoc}$

$v_{nguoc}=v_{thuc}-v_{nuoc}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$(công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$(công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\overline{ab}=10a+b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0<a\le 9$;$0\le b\le 9$$\left(a,b\in \mathbb{N}\right)$.

- Biểu diễn số có ba chữ số $\overline{abc}=100a+10b+c$, trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0<a\le 9$;$0\le b\le 9$;$0\le c\le 9$$\left(a,b,c\in \mathbb{N}\right)$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 (Kết nối tri thức): Giải phương trình hệ phương trình và vẽ đồ thị hàm số với phần mềm GeoGebra 

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

Đáp án đúng là: D

* Lời giải:

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

* Lý thuyết nắm thêm về phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: $\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+5\right); {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left(2{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+18\right)$ …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: $\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+5}+\frac{1}{\mathrm{x}-5}=0$; $\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}-\frac{2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}=6$… là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9 

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

* Lời giải:

Gọi số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng là x (ngày) (Điều kiện $x \in N*$)

Theo kế hoạch mỗi ngày đội xe chở là: 140 : x = $\frac{140}{x}$ (tấn hàng).

Số ngày thực tế đội xe chở hàng là: x - 1 (ngày)

Thực tế đội xe chở được là: 140 + 10 = 150 (tấn hàng).

Theo thực tế mỗi ngày đội xe chở là:

$150 : (x - 1) = \frac{150}{x - 1}$ (tấn hàng).

Theo giả thiết, ta có phương trình:

 $\frac{150}{x - 1} - \frac{140}{x} = 5 \iff \frac{30}{x - 1} - \frac{28}{x} = 1$

$\iff 30x - 28x + 28 = x^2 - x \iff x^2 - 3x - 28 = 0$ 

$△ = 9 + 112 = 121, \sqrt{△} = 11$.

Suy ra $x_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7$ (nhận);  $x_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4$ (loại).

Vậy theo kế hoạch đội xe chở hết hàng trong 7 ngày

* Phương pháp giải:

áp dụng phương trình bậc hai một ẩn để lập phương trình và giải tìm nghiệm

* Lý thuyết nắm thêm

Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

ax² + bx + c = 0,

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và a ≠ 0.

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết

– Giải một phương trình bậc hai là tìm tất cả các nghiệm của nó.

– Ta giải một số phương trình bậc hai dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), mà khuyết số hạng bậc nhất (tức là b = 0) hoặc khuyết số hạng tự do (tức là c = 0) bằng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.

Chú ý:

⦁ Nếu A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0;

⦁ Nếu A² = B (B ≥ 0) thì $A=\sqrt{B}$ hoặc $A=-\sqrt{B}.$

Chú ý: Để giải phương trình bậc hai dạng x² + bx = c, ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

3.1. Cách giải phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong trường hợp tổng quát, ta làm như sau:

– Chuyển hạng tử tự do c sang vế phải: ax² + bx = –c.

– Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số a của x²: $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

– Cộng vào hai vế của phương trình nhận được với $\frac{b^2}{4a^2}$ để vế trái có thể biến đổi thành bình phương của một biểu thức: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$ hay ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Kí hiệu ∆ = b² – 4ac và gọi là biệt thức của phương trình (∆ đọc là “đenta”). Khi đó, ta có thể viết lại phương trình cuối dưới dạng ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}.$

3.2. Công thức nghiệm của của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Tính biệt thức ∆ = b² – 4ac.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn - Toán 9 Kết nối tri thức

Giải Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Phương trình bậc hai một ẩn 

* Lời giải:

Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm theo kế hoạch là x(sp).ĐK $x>0;x\in Z$

Khi đó, số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm trong thực tế là x + 5 (sp)

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là $\frac{250}{x}$ (ngày)

Số sản phẩm làm được trong 4 ngày đầu là: 4x (sp)

Số sản phẩm còn lại phải làm là 250 - 4x (sp)

Thời gian làm 250 - 4x (sp) còn lại là $\frac{250-4x}{x+5}$ (ngày).

Theo bài toán ta có PT: $\frac{250}{x}=4+\frac{250-4x}{x+5}+1$

Giải PT này ta được: $x_1=25$ (nhận)

$x_2=-50$ (loại)

Vậy số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm theo kế hoạch là 25 sản phẩm.

* Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

* Lý thuyết nắm thêm về phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: $\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+5\right); {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left(2{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+18\right)$ …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: $\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+5}+\frac{1}{\mathrm{x}-5}=0$; $\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}-\frac{2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}=6$… là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9 

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

* Lời giải:

Gọi x (người) là số công nhân lúc đầu của đội $\left(x>4,x\in \mathbb{N}\right).$

Số công nhân làm việc thực tế là x - 4 (người).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là $\frac{96}{x}$ (cây).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo thực tế là $\frac{96}{x-4}$ (cây).

Do mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{96}{x-4}-\frac{96}{x}=4 \\ \iff \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\iff \frac{x-\left(x-4\right)}{x\left(x-4\right)}=\frac{1}{24} \\ \iff \frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x^2-4x}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 24}}\Rightarrow x^2-4x-96=0 \\ \iff \left(x+8\right)\left(x-12\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-8\\ x=12\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Đối chiều điều kiện và thử lại ta thấy x = 12 thỏa mãn.

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là 12 người.

* Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

* Lý thuyết nắm thêm về phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Phương trình tích

Định nghĩa: Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x)….M(x) = 0, ở đó A(x); B(x); … M(x) là những biểu thức.

Ví dụ 3: $\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+5\right); {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\left(2{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+18\right)$ …

b) Các bước giải phương trình tích

Bước 1: Giải từng nhân tử A(x) = 0; B(x) = 0; …của phương trình

Bước 2: So sánh điều kiện kết luận tập nghiệm.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Định nghĩa: Phương trình chứ ẩn ở mẫu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số.

Ví dụ 2: $\frac{2\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+5}+\frac{1}{\mathrm{x}-5}=0$; $\frac{4\mathrm{x}}{\mathrm{x}+3}-\frac{2\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}+1}=6$… là những phương trình chứa ẩn ở mẫu.

b) Các bước giải phương trình chứa ân ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được, loại các giá trị không thỏa mãn và kết luận nghiệm của phương trình.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9 

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

* Lời giải: