Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Vectơ và các phép toán trong không gian

Giải Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Hoạt động khởi động trang 41 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, làm thế nào để biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ máy bay đến trạm kiểm soát trên mặt đất.

Lời giải:

Dùng đoạn thẳng có hướng chỉ từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.

1. Vectơ trong không gian

Hoạt động khám phá 1 trang 41 Toán 12 Tập 1: Nhắc lại định nghĩa vectơ trong mặt phẳng. Có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng không?

Lời giải:

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

Ta có thể định nghĩa vectơ trong không gian như đã định nghĩa vectơ trong mặt phẳng bằng cách sử dụng đoạn thẳng có hướng trong không gian.

Thực hành 1 trang 42 Toán 12 Tập 1: Trong hoạt động khởi động, tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát.

Lời giải:

Vectơ biểu diễn độ dịch chuyển tín hiệu vô tuyến từ vị trí A của máy bay đến vị trí S của trạm kiểm soát là $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$.

Thực hành 2 trang 42 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy.

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ $\overrightarrow{SA}$ .

c) Tìm các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{CB}$ .

Lời giải:

a) Các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa giác đáy là $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}$ .

b) Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SA = SB = SC = SD.

Vậy các vectơ $\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD},\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BS},\overrightarrow{CS},\overrightarrow{DS}$ có độ dài bằng độ dài của vectơ $\overrightarrow{SA}$ .

c) Vì ABCD là hình vuông nên AD = BC.

Mà $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AD}$ ngược hướng nhau nên $\overrightarrow{AD}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{CB}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{BC}$ có độ dài bằng nhau nhưng ngược hướng nên $\overrightarrow{BC}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{CB}$ .

Vận dụng 1 trang 43 Toán 12 Tập 1: Trong Hình 4, cho biết ba vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp AB, AC, AD tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

Lời giải:

Giá của ba vectơ này lần lượt là ba đường thẳng AB, AC, AD. Chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng vì bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 43 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5).

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ .

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), tìm vectơ tổng $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

b) Vì AA'B'B là hình bình hành, suy ra AB // A'B' và AB = A'B'.

Ta có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$.

Tương tự: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

c) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ mà $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Hoạt động khám phá 3 trang 44 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Tương tự, AA'C'C là hình bình hành nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ .

b) Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$

Thực hành 3 trang 45 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ:

a) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}$ ;

b) $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}$ .

Lời giải:

a) Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DF}$.

b) Vì DCGH là hình bình hành nên $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{HD}$ .

Tương tự ABGH là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{HG}$ .

Do đó $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HG}=\overrightarrow{HB}$ (theo quy tắc hình hộp).

Hoạt động khám phá 4 trang 45 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ hiệu $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ .

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), tìm vectơ hiệu $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

c) Giải thích tại sao $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ ; $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

b) Vì AA'B'B là hình bình hành, suy ra AB // A'B' và AB = A'B'.

Ta có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

Tương tự $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ ; $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

c) Vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ ; $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ mà $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{D^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}-\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}.$

Thực hành 4 trang 46 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}$ ;

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{ND}$ $=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ND}$$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}$$=\overrightarrow{MN}$

(Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$).

b) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}$ $=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{NC}$ $=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{MN}$ (vì $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$).

Thực hành 5 trang 46 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ ;

b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$ .

Lời giải:

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$ .

Mà $\left|\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}\right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$ .

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}$.

b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$ $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$$=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C^{\text{'}}C}$.

Mà $\left|\overrightarrow{C^{\text{'}}C}\right|=1$.

Do đó $\left|\overrightarrow{b}\right|=1$.

Vận dụng 2 trang 46 Toán 12 Tập 1: Ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 2 N; 3N; 4 N.

Vẽ $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{F_3}$ .

Dựng các hình chữ nhật OADB và OCED.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD};\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$ .

Khi đó hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$.

Vì OADB là hình chữ nhật nên $OD=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Vì OCED là hình chữ nhật nên OE = $\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\approx 5,4$ .

Vậy độ lớn của hợp lực F khoảng 5,4 N.

3. Tích của một số với một vectơ

Hoạt động khám phá 5 trang 46 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O (Hình 18).

a) Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a và vectơ $\overrightarrow{AO}$ .

Lời giải:

a) Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ .

b) Vì AA' // CC' và AA' = CC' (vì cùng song song và bằng BB')

Nên AA'C'C là hình bình hành.

Mà AC' và A'C cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AC'.

Suy ra $AO=\frac{1}{2}A{C}^{\text{'}}$ mà $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ hay $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{AO}$ .

Thực hành 6 trang 47 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB' (Hình 20). Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{c}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

Vì M là trung điểm của BB' nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ .

Do ABC.A'B'C' là lăng trụ nên $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ .

Có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .

Vận dụng 3 trang 48 Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60°$ (Hình 22).

a) Sử dụng công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ trong đó $\overrightarrow{g}$ là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 10 m/s², tìm độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm.

b) Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ $\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|$ = 5.10 = 50 N.

Vậy độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N.

b)

Giả sử đèn chùm được minh họa như hình vẽ trên.

Vì đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}+\overrightarrow{T_3}+\overrightarrow{T_4}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{P}+\overrightarrow{P\text{'}}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{P}=-\overrightarrow{P\text{'}}\iff P=P\text{'}$

Có $\left|\overrightarrow{T_1}\right|=\left|\overrightarrow{T_2}\right|=\left|\overrightarrow{T_3}\right|=\left|\overrightarrow{T_4}\right|=\left|\overrightarrow{T}\right|$

Từ hình vẽ ta có:

$P\text{'}=4T\cos 30°\iff T=\frac{P^{\text{'}}}{4\cos 30°}=\frac{50}{2\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\approx 14,4N$

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 6 trang 48 Toán 12 Tập 1: a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian.

Lời giải:

a) Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$ .

Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

b) Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ đều khác $\overrightarrow{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ . Khi đó, ta gọi $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ . Kí hiệu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)$, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)$.

Lời giải:

Vì AA' // CC' và AA' = CC' nên AA'C'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}\right)=90°$ (Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $\perp$ B'D').

Vì AA'B'B là hình vuông nên $\overrightarrow{A^{\text{'}}A}=\overrightarrow{B^{\text{'}}B}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}B},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=180°-\widehat{B{B}^{\text{'}}C}=180°-45°=135°$

(Vì BB'C'C là hình vuông nên B'C là phân giác của $\widehat{BB\text{'}C\text{'}}$ ).

Hoạt động khám phá 7 trang 49 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=2,\left|\overrightarrow{v}\right|=3$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ (Hình 25). Giả sử $\widehat{BAC}=60°$.

a) Tính góc $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ .

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ nên $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=60°$ .

b) Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|=2,\left|\overrightarrow{v}\right|=3$ nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2,\left|\overrightarrow{AC}\right|=3$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$$=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ $=\mathrm{2.3.}\cos 60°$.

Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ .

b) Tính góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)$ (kết quả làm tròn đến phút).

Lời giải:

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ (do A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' là phân giác của góc $\widehat{D^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ ).

Vì A'B'C'D' là hình vuông cạnh bằng 1 nên $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\sqrt{2}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=1.\sqrt{2}.\cos 45°=1.$

Vì ACC'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right)=\widehat{BA{A}^{\text{'}}}=90°$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ . Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=0$ .

b) $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{CA{C}^{\text{'}}}$ .

Ta có AC' là đường chéo của hình lập phương cạnh bằng 1 nên $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{3}$ .

AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 1 nên $AC=\sqrt{2}$ .

Xét DACC' có $\cos \widehat{CA{C}^{\text{'}}}=\frac{A{C}^2+A{C^{\text{'}}}^2-C{C^{\text{'}}}^2}{2.AC.A{C}^{\text{'}}}=\frac{2+3-1}{2.\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\Rightarrow \widehat{CA{C}^{\text{'}}}\approx 35°16\text{'}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)\approx 35°16\text{'}$ .

Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là g = 9,8 m/s².

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ . Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Lời giải:

a) Ta có $\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=25.9,8=245$N.

b)

Theo đề ta có $A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}$ ,$\left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=60°$

$A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}$$=\left|\overrightarrow{P}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=245.3,5.\cos 60°\approx 428,75$ J.

Bài tập

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$;

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$; $\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AD}\left(=\overrightarrow{BC}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$

Có $\overrightarrow{D{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}D}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}$

$=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}+\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}\right)$

$= \overrightarrow{BB\text{'}}$

Vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{D^{\text{'}}B}+\overrightarrow{B{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}=\overrightarrow{0}$.

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ và $\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}\right)+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}$

$=\left(\overrightarrow{A{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}D}\right)+\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C}+\overrightarrow{D{A}^{\text{'}}}\right)=\overrightarrow{0}$

Bài 2 trang 51 Toán 12 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh rằng $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$.

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$\iff \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}$$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Bài 3 trang 51 Toán 12 Tập 1: Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với 3 cạnh và cùng có cường độ là 5 N. Tính cường độ của hợp lực.

Lời giải:

Giả sử 3 lực có điểm đặt là A và các lực là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có hợp lực: $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Theo đề ta có $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|=5$.

Mà AC' là đường chéo của của hình lập phương nên $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A^{\text{'}}}^2}=5\sqrt{3}$

Vậy cường độ của hợp lực là $5\sqrt{3}N$.

Bài 4 trang 51 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.

Lời giải:

Vì I là trọng tâm của DABC nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SI}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SI}$ (1).

Tương tự, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SJ}$ (2).

Cộng từng vế (1) và (2), ta có: $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3\left(SI+\overrightarrow{SJ}\right)$.

Bài 5 trang 51 Toán 12 Tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Lời giải:

Do ABB'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{B^{\text{'}}B}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Có $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\overrightarrow{B^{\text{'}}B}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Do ACC'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

$\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Bài 6 trang 51 Toán 12 Tập 1: Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s². Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình 28).

Lời giải:

Đổi 102 gam = 0,102 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:

$\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=0,102.9,8=0,9996$ N.

Bài 7 trang 51 Toán 12 Tập 1: Trong điện trường đều, lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$(đơn vị: N) tác dụng lên điện tích điểm có điện tích q (đơn vị: C) được tính theo công thức $\overrightarrow{F}=q.\overrightarrow{E}$, trong đó $\overrightarrow{E}$là cường độ điện trường (đơn vị: N/C). Tính độ lớn của lực tĩnh điện tác dụng lên điện tích điểm khi q = 10⁻⁹C và độ lớn điện trường E = 10⁵ N/C (Hình 29).

Lời giải:

Độ lớn của lực tĩnh điện là $\left|\overrightarrow{F}\right|=q.\left|\overrightarrow{E}\right|={10}^{-9}{.10}^5={10}^{-4}$ N.

Bài 8 trang 51 Toán 12 Tập 1: Một lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$ tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MPN (Hình 30). Biết q = 2.10⁻¹² C, vectơ điện trường có độ lớn E = 1,8.10⁵ N/C và d = MH = 5 mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$.

Lời giải:

Đổi 5 mm = 5.10^-3 m

Công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow{F}$ là A = qEd = 2.10⁻¹². 1,8.10⁵. 5.10^-3 = 18.10^-10 (J).