Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Nguyên hàm

Giải Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Hoạt động khởi động trang 6 Toán 12 Tập 2: Khi được thả từ độ cao 20 m, một vật rơi với gia tốc không đổi a = 10 m/s². Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 10dt=10t+C$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int 10tdt=5t^2+C$.

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t² (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t² mét.

Hoạt động khám phá 1 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2x xác định trên ℝ. Tìm một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).

Lời giải:

Ta có F(x) = x² vì (x²)' = 2x.

Hoạt động khám phá 2 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 3x² xác định trên ℝ.

a) Chứng minh rằng F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?

c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?

Lời giải:

a) Ta có F'(x) = (x³)' = 3x² = f(x).

Do đó F(x) = x³ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Có H(x) = F(x) + C = x³ + C.

Có H'(x) = (x³ + C)' = 3x² = f(x).

Do đó hàm số H(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

c) Có (G(x) – F(x))' = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.

Vì (G(x) – F(x))' = 0 nên G(x) – F(x) là một hằng số.

Hay G(x) = F(x) + C, C là hằng số bất kì.

Thực hành 1 trang 7 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

Lời giải:

Có F'(x) = (e^{2x + 1})' = e^{2x + 1}.(2x + 1)' = 2e^{2x + 1} = f(x).

Vậy F(x) = e^{2x + 1} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e^{2x + 1} trên ℝ.

Hoạt động khám phá 3 trang 8 Toán 12 Tập 2:

a) Giải thích tại sao $\int 0dx=C$ và $\int 1dx=x+C$.

b) Tìm đạo hàm của hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\left(\alpha \ne -1\right)$. Từ đó, tìm $\int x^{\alpha }dx$.

Lời giải:

a) Vì (C)' = 0 nên $\int 0dx=C$.

Vì (x + C)' = 1 nên $\int 1dx=x+C$.

b) Có $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right)}^{\text{'}}=\frac{\left(\alpha +1\right)x^{\alpha }}{\alpha +1}=x^{\alpha }$.

Do đó $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\left(\alpha \ne -1\right)$.

Thực hành 2 trang 8 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x^{4}dx$; b) $\int \frac{1}{x^3}dx$; c) $\int \sqrt{x}dx\left(x>0\right)$.

Lời giải:

a) $\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C$

b) $\int \frac{1}{x^3}dx$$=\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2}{x}^{-2}+C=\frac{-1}{2x^2}+C$

c) $\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx$$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

Hoạt động khám phá 4 trang 8 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số F(x) = ln|x| với x ≠ 0.

a) Tìm đạo hàm của F(x).

b) Từ đó, tìm $\int \frac{1}{x}dx$.

Lời giải:

a) Với x > 0 thì F(x) = lnx Þ F'(x) = $\frac{1}{x}$.

Với x < 0 thì F(x) = ln(−x) $\Rightarrow F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^{\text{'}}}{-x}=\frac{1}{x}$.

Vậy $F^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x},x\ne 0$.

b) Có $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Hoạt động khám phá 5 trang 9 Toán 12 Tập 2:

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.

b) Từ đó, tìm $\int \cos xdx,\int \sin xdx,\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$ và $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

Lời giải:

a) Ta có (sinx)' = cosx, (−cosx)' = sinx, ${\left(\tan x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ , ${\left(-\cot x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

b) $\int \cos xdx=\sin x+C,\int \sin xdx=-\cos x+C,$

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$ , $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Thực hành 3 trang 9 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cosx thỏa mãn $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$.

Lời giải:

Có $F\left(x\right)=\int \cos xdx=\sin x+C$.

Vì $F\left(0\right)+F\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ nên $\sin 0+C+\sin \frac{\pi }{4}+C=0\iff 2C=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff C=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Vậy $F\left(x\right)=\sin x-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Hoạt động khám phá 6 trang 9 Toán 12 Tập 2:

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = e^x, $y=\frac{a^x}{\ln a}$ với a > 0, a ≠ 1.

b) Từ đó, tìm $\int e^{x}dx$ và $\int a^{x}dx$ (a > 0, a ≠ 1).

Lời giải:

a) Có (e^x)' = e^x, ${\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)}^{\text{'}}=\frac{a^x.\ln a}{\ln a}=a^x$, a > 0, a ≠ 1.

b) $\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ , (a > 0, a ≠ 1).

Thực hành 4 trang 9 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int 3^{x}dx$

b) $\int e^{2x}dx$

Lời giải:

a) Ta có $\int 3^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$

b) Ta có $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$

Hoạt động khám phá 7 trang 10 Toán 12 Tập 2: Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\text{'}}=x^2$ và (x³)' = 3x².

a) Tìm $\int x^{2}dx$ và $3\int x^{2}dx$.

b) Tìm $\int 3x^{2}dx$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx$.

Lời giải:

a) $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C^{\text{'}}$; $3\int x^{2}dx=3\left(\frac{x^3}{3}+C^{\text{'}}\right)=x^3+3C^{\text{'}}=x^3+C$.

b) $\int 3x^{2}dx=x^3+C$.

c) $\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx=x^3+C$.

Thực hành 5 trang 10 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx$.

b) $\int 2^{2x+1}dx$

Lời giải:

a) $\int \left(-\frac{\cos x}{4}\right)dx$$=-\frac{1}{4}\int \cos xdx$$=-\frac{1}{4}\sin x+C$

b) $\int 2^{2x+1}dx=\int 4^x.2dx$$=2\int 4^{x}dx=2.\frac{4^x}{\ln 4}+C$

Hoạt động khám phá 8 trang 10 Toán 12 Tập 2: Ta có ${\left(\frac{x^3}{3}\right)}^{\text{'}}=x^2$, (x²)' = 2x và ${\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)}^{\text{'}}=x^2+2x$.

a) Tìm $\int x^{2}dx,\int 2xdx$ và $\int x^{2}dx+\int 2xdx$.

b) Tìm $\int \left(x^2+2x\right)dx$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int \left(x^2+2x\right)dx=\int x^{2}dx+\int 2xdx$.

Lời giải:

a) $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_1,\int 2xdx=x^2+C_2$.

$\int x^{2}dx+\int 2xdx=\frac{x^3}{3}+C_1+x^2+C_2=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

b) $\int \left(x^2+2x\right)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

c) $\int \left(x^2+2x\right)dx=\int x^{2}dx+\int 2xdx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$.

Thực hành 6 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(3x^3+\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)dx\left(x>0\right)$; b) $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

Lời giải:

a) $\int \left(3x^3+\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)dx=\int 3x^{3}dx+\int \frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}dx$ $=3\int x^{3}dx+2\int x^{\frac{-3}{5}}dx$ $=\frac{3x^4}{4}+5x^{\frac{2}{5}}+C$.

b) $\int \left(\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=3\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$$=3\tan x+\cot x+C$

Thực hành 7 trang 11 Toán 12 Tập 2: Một ô tô đang chạy với tốc độ 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ v(t) = 19 – 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Lời giải:

Kí hiệu s(t) là quãng đường ô tô đi được.

Ta có $s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int \left(19-2t\right)dt=19t-t^2+C$.

Vì s(0) = 0 => C = 0.

Do đó s(t) = 19t – t².

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây là: s(1) = 19.1 – 1² = 18 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây là: s(2) = 19.2 – 2² = 34 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây là: s(3) = 19.3 – 3² = 48 m.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số F(x) = xe^x, suy ra nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)e^x

Lời giải:

Có F'(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Do đó $\int f\left(x\right)dx=\int \left(x+1\right)e^{x}dx=x{e}^x+C$.

Bài 2 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x^{5}dx$; b) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx\left(x>0\right)$; c) $\int 7^{x}dx$; d) $\int \frac{3^x}{5^x}dx$

Lời giải:

a) $\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6}+C$.

b) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\int x^{\frac{-2}{3}}dx=3x^{\frac{1}{3}}+C=3\sqrt[3]{x}+C$.

c) $\int 7^{x}dx=\frac{7^x}{\ln 7}+C$.

d) $\int \frac{3^x}{5^x}dx=\int {\left(\frac{3}{5}\right)}^{x}dx=\frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^x}{\ln \frac{3}{5}}$.

Bài 3 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Lời giải:

Có $F\left(x\right)=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Vì $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ nên $-\cot \frac{\pi }{2}+C=1\iff C=1$.

Vậy $F\left(x\right)=-\cot x+1$.

Bài 4 trang 11 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left(2x^5+3\right)dx$; b) $\int \left(5\cos x-3\sin x\right)dx$;

c) $\int \left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{x}\right)dx$; d)$\int \left(e^{x-2}-\frac{2}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

Lời giải:

a) $\int \left(2x^5+3\right)dx$$=2\int x^{5}dx+3\int dx$$=\frac{x^6}{3}+3x+C$.

b) $\int \left(5\cos x-3\sin x\right)dx=5\int \cos xdx-3\int \sin xdx$$=5\sin x+3\cos x+C$.

c) $\int \left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{x}\right)dx$$=\frac{1}{2}\int x^{\frac{1}{2}}dx-2\int \frac{1}{x}dx$$=\frac{1}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-2\ln \left|x\right|+C$$=\frac{1}{3}x\sqrt{x}-2\ln \left|x\right|+C$.

d) $\int \left(e^{x-2}-\frac{2}{{\sin }^{2}x}\right)dx=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle e^2}}\int e^{x}dx-2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$$=\frac{e^x}{e^2}+2\cot x+C=e^{x-2}+2\cot x+C$.

Bài 5 trang 12 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int x{\left(2x-3\right)}^{2}dx$; b) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx$;

c) $\int {\tan }^{2}xdx$; d) $\int 2^{3x}{.3}^{x}dx$

Lời giải:

a) $\int x{\left(2x-3\right)}^{2}dx=\int x\left(4x^2-12x+9\right)dx$$=\int \left(4x^3-12x^2+9x\right)dx$

$=x^4-4x^3+\frac{9}{2}{x}^2+C$.

b) $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1-\cos x}{2}dx$$=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \cos xdx$$=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x+C$.

c) $\int {\tan }^{2}xdx$$=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$$=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int dx$$=\tan x-x+C$

d) $\int 2^{3x}{.3}^{x}dx$$=\int 8^x{.3}^{x}dx=\int {24}^{x}dx$$=\frac{{24}^x}{\ln 24}+C$

Bài 6 trang 12 Toán 12 Tập 2: Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{x}$(m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Lời giải:

a) Chiều cao của cây sau x năm là:

$h\left(x\right)=\int h^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$ (1 ≤ x ≤ 11).

Có h(1) = 2 nên ln1 + C = 2 => C = 2.

Do đó $h\left(x\right)=\ln x+\mathrm{2,}\left(1\le x\le 11\right)$.

b) Cây cao 3 m tức là $\ln x+2=3$$\iff \ln x=1$$\iff x=e\approx \mathrm{2,72}$.

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

Bài 7 trang 12 Toán 12 Tập 2: Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc v₀ = 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 2 m/s². Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Lời giải:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 2dt=2t+C$.

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Có $s\left(t\right)=\int \left(2t+10\right)dt=t^2+10t+C$.

Vì s(0) = 0 => C = 0.

Do đó s(t) = t² + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 3² + 10.3 = 39 (m).