Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hoạt động khởi động trang 75 Toán 12 Tập 2: Một loại xét nghiệm nhanh SARS–CoV–2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tích với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus (nguồn: https://tapchiyhocvietnam.vn/index.php/vmj/article/view/2124/1921). Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS–CoV–2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi A là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và B là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm vi rút”.

Ta có P(A|B) = 0,762; $P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=\mathrm{0,991}$; P(B) = 0,01.

Suy ra $P\left(A|\overline{B}\right)=1-P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=\mathrm{0,009}$, $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=\mathrm{0,99}$

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$ = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.

Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là P(B|A).

Ta có $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,01.0,762}}{\mathrm{0,01653}}\approx \mathrm{0,461}$

Vậy khả năng thực sự người đó nhiễn virus là 46,1%.

Hoạt động khám phá 1 trang 76 Toán 12 Tập 2: Chị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.

Gọi A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô ? ở sơ đồ hình cây sau:

Lời giải:

A là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và B là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,9; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,5}$.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\mathrm{0,3};P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=\mathrm{0,1}$;

$P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,5}$

Ta có sơ đồ hình cây

Thực hành 1 trang 77 Toán 12 Tập 2: Vào mỗi buổi sáng ở tuyến phố H, xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2. Xác suất có mưa vào một buổi sáng là 0,1. Tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Tuyến phố H bị tắc đường” và B là biến cố “Buổi sáng đó có mưa”

Theo đề ta có: P(B) = 0,1; P(A|B) = 0,7; $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,2}$

Suy ra $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=\mathrm{0,9}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$ = 0,1.0,7 + 0,9.0,2 = 0,25

Hoạt động khám phá 2 trang 77 Toán 12 Tập 2: Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:

Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam.

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Học sinh đó có tật khúc xạ” và B là biến cố “Học sinh đó là học sinh nam”.

a) Ta có $P\left(B|A\right)=\frac{18}{12+18}=\frac{3}{5}$.

b) Ta có $P\left(A|B\right)=\frac{18}{18+32}=\frac{9}{25}$.

Thực hành 2 trang 79 Toán 12 Tập 2: Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Hệ thống radar phát cảnh báo” và B là biến cố “Vật thể bay đó là mục tiêu thật”.

Theo đề ta có P(A|B) = 0,9; $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,05}$; $P\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,99}$.

Suy ra $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,01}$.

Ta có $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$ = 0,01.0,9 + 0,99.0,05 = 0,0585.

Ta cần tính $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,01.0,9}}{\mathrm{0,0585}}=\frac{2}{13}$.

Vận dụng trang 79 Toán 12 Tập 2: Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy rằng có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Tài xế gây tai nạn” và B là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”.

Theo đề ta có P(B) = 0,02; P(B|A) = 0,1.

Suy ra $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=\mathrm{0,98}$; $P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=\mathrm{0,9}$.

Cần tính $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$.

Có $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$$=\mathrm{0,02.}x+\mathrm{0,98.}y$

(đặt $P\left(A|B\right)=x;P\left(A|\overline{B}\right)=y$).

Có $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$ $\iff \mathrm{0,1}=\frac{\mathrm{0,02.}x}{\mathrm{0,02}x+\mathrm{0,98}y}$$\iff \mathrm{0,02}x+\mathrm{0,98}y=\mathrm{0,2.}x$

=>$y=\frac{9}{49}x$.

Ta có $\frac{P\left(A|B\right)}{P\left(A|\overline{B}\right)}=\frac{x}{y}=\frac{x}{\frac{9}{49}x}=\frac{49}{9}\approx \mathrm{5,44}$.

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5,44 lần.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 79 Toán 12 Tập 2: Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.

a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.

b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “Lấy được 1 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất” và B là biến cố “Lấy được 2 viên bi màu đỏ ở hộp thứ hai”.

Khi đó ta có $P\left(A\right)=\frac{3}{9}$; $P\left(B|A\right)=\frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{21}{55}$.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\frac{2}{3}$; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{C_8^2}{C_{11}^2}=\frac{28}{55}$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=\frac{3}{9}.\frac{21}{55}+\frac{2}{3}.\frac{28}{55}=\frac{7}{15}$.

b) Ta cần tính $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{\frac{2}{3}.\frac{28}{55}}{\frac{7}{15}}=\frac{8}{11}$.

Bài 2 trang 79 Toán 12 Tập 2: Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường.

a) Tính xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật.

b) Biết rằng học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn là học sinh nữ” và B là biến cố “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.

Ta có P(A) = 0,52; P(B|A) = 0,18; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,15}$

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\mathrm{0,48}$.

a) $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,52.0,18 + 0,48.0,15 = 0,1656.

b) Cần tính $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{\mathrm{0,48.0,15}}{\mathrm{0,1656}}=\frac{10}{23}$

Bài 3 trang 79 Toán 12 Tập 2: Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh A ở một địa phương là 65%. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh A là 5% ; trong số những người chưa tiêm phòng tỉ lệ mắc bệnh A là 17%. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó.

a) Tính xác suất người được chọn mắc bệnh A.

b) Biết rằng người được chọn mắc bệnh A. Tính xác suất người đó chưa tiêm vắc xin phòng bệnh A.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Người được chọn đã tiêm vắc xin phòng bệnh A” và B là biến cố “Người được chọn mắc bệnh A”.

Ta có P(A) = 0,65; P(B|A) = 0,05; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,17}$

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\mathrm{0,35}$

a) $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,65.0,05 + 0,35.0,17 = 0,092.

b) Cần tính $P\left(\overline{A}|B\right)$

Ta có $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{\mathrm{0,35.0,17}}{\mathrm{0,092}}\approx \mathrm{0,6467}$

Bài 4 trang 79 Toán 12 Tập 2: Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại nói thật với xác suất 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn và hỏi xem chú ý ấy có phải là người nói thật không. Gọi A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật”.

a) Tính xác suất của các biến cố A và B.

b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.

Lời giải:

A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật”.

a) Trong 7 chú lún có 4 chú lùn luôn nói thật nên $P\left(A\right)=\frac{4}{7}$. Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\frac{3}{7}$.

Theo đề ta có P(B|A) = 1; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,5}$.

Ta cần tính P(B).

Ta có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=\frac{4}{7}.1+\frac{3}{7}\mathrm{.0,5}=\frac{11}{14}$.

b) Cần tính P(A|B).

Ta có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{\frac{4}{7}.1}{\frac{11}{14}}=\frac{8}{11}$.