Toán 12 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hoạt động khởi động trang 19 Toán 12 Tập 1: Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển v (km/s) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức $m=m\left(v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, trong đó m0 là khối lượng nghỉ của hạt c = 300 000 km/s là tốc độ ánh sáng. Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đổi như thế nào? Điều này thể hiện trên đồ thị hàm số m = m(v) ở hình bên như thế nào?

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta có:

Khi hạt di chuyển với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt tiến gần tới vô cùng.

Trên hình điều này được thể hiện đường cong biểu diễn m(v) sẽ tiến dần đến vô cùng khi v → c. Điều này cho thấy rằng khối lượng của hạt sẽ tăng tới vô cùng khi tốc độ di chuyển của nó tiến gần tốc độ ánh sáng.

1. Đường tiệm cận đứng

Hoạt động khám phá 1 trang 19 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{1}{x-1}$ có đồ thị như Hình 1.

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1};\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-1}.$

b) Gọi M là điểm trên đồ thị có hoành độ x. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với trục Oy cắt đường thẳng x = 1 tại điểm N. Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → 1⁺; x → 1⁻.

Lời giải:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{x-1}=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-1}=-\infty$.

b) Có MN = |x – 1|.

Có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }=\lim \left|x-1\right|=\lim \left(x-1\right)=0.$

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi x → 1⁺; x → 1⁻.

Thực hành 1 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=\frac{2x+3}{-x+5}$; b) $y=g\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x-1}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = ℝ\{5}.

Có $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{2x+3}{-x+5}=-\infty ;$ $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{2x+3}{-x+5}=+\infty .$

Vậy x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty ;$ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty .$

Vậy x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Đường tiệm cận ngang

Hoạt động khám phá 2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x};\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x}$

b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{1}=1;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}}{1}=1.$

b) Ta có MN = |f(x) – 1| = $\left|\frac{x+1}{x}-1\right|=\left|\frac{1}{x}\right|$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|\frac{1}{x}\right|=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|\frac{1}{x}\right|=0.$

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Thực hành 2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=\frac{x-1}{4x+1}$; b) $y=g\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{4x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x}}{4+\frac{1}{x}}=\frac{1}{4};$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{4x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x}}{4+\frac{1}{x}}=\frac{1}{4}.$

Vậy $y=\frac{1}{4}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{x}}}=1;$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{2}{\sqrt{x}}}=1.$

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

3. Đường tiệm cận xiên

Hoạt động khám phá 3 trang 22 Toán 12 Tập 1: Cho đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}$ và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).

a) Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

b) Ta có MN = |f(x) – x| $=\left|\frac{1}{x}\right|$

Có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|\frac{1}{x}\right|=0; \underset{x\to +\infty }{\lim }\left|\frac{1}{x}\right|=0.$

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Thực hành 3 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x}{x+5}$.

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ\{−5}.

Có $y=\frac{2x^2-3x}{x+5}=2x-13+\frac{65}{x+5}$

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-13\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-13+\frac{65}{x+5}-\left(2x-13\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{65}{x+5}=0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-13\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-13+\frac{65}{x+5}-\left(2x-13\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{65}{x+5}=0$

Do đó y = 2x – 13 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Thực hành 4 trang 24 Toán 12 Tập 1: Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C\left(x\right)=\frac{50x+2000}{x}$. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = C(x).

Lời giải:

Có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{50x+2000}{x}=+\infty ;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{50x+2000}{x}=-\infty$

Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{50+\frac{2000}{x}}{1}=50;\underset{x\to -\infty }{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{50+\frac{2000}{x}}{1}=50.$

Vậy y = 50 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài tập

Bài 1 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{4x-5}{2x-3};$ b) $y=\frac{-2x+7}{4x-3}$; c) $y=\frac{5x}{3x-7}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{3}{2}\right\}$

Có $\underset{x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{4x-5}{2x-3}=+\infty ;\underset{x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{4x-5}{2x-3}=-\infty .$

Vậy $x=\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x-5}{2x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4-\frac{5}{x}}{2-\frac{3}{x}}=2;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x-5}{2x-3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4-\frac{5}{x}}{2-\frac{3}{x}}=2$

Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{3}{4}\right\}$.

Có $\underset{x\to {\left(\frac{3}{4}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{3}{4}\right)}^{+}}{\lim }\frac{-2x+7}{4x-3}=+\infty ;\underset{x\to {\left(\frac{3}{4}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{3}{4}\right)}^{-}}{\lim }\frac{-2x+7}{4x-3}=-\infty .$

Vậy $x=\frac{3}{4}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x+7}{4x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2+\frac{7}{x}}{4-\frac{3}{x}}=-\frac{1}{2};$ $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+7}{4x-3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2+\frac{7}{x}}{4-\frac{3}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Vậy $y=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{7}{3}\right\}$.

Có $\underset{x\to {\left(\frac{7}{3}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{7}{3}\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x}{3x-7}=+\infty ;\underset{x\to {\left(\frac{7}{3}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{7}{3}\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x}{3x-7}=-\infty .$

Vậy $x=\frac{7}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x}{3x-7}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{3-\frac{7}{x}}=\frac{5}{3}; \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5x}{3x-7}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{3-\frac{7}{x}}=\frac{5}{3}. \end{gathered}$$

Vậy $y=\frac{5}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+2}{2x-4}$; b) $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}$; c) $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$.

Có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2+2}{2x-4}=+\infty ;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2+2}{2x-4}=-\infty .$

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{x^2+2}{2x-4}=\frac{1}{2}x+1+\frac{6}{2x-4}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{1}{2}x+1+\frac{6}{2x-4}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6}{2x-4}=0.$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{1}{2}x+1+\frac{6}{2x-4}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6}{2x-4}=0.$

Vậy $y=\frac{1}{2}x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}$.

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=+\infty ;$ $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=-\infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=2x-7+\frac{8}{x+2}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-7+\frac{8}{x+2}-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8}{x+2}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-7+\frac{8}{x+2}-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{8}{x+2}=0$

Vậy y = 2x – 7 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{5}{2}\right\}$.

$\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=+\infty ;$ $\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=-\infty$

Vậy $x=-\frac{5}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=x+2+\frac{1}{2x+5}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x+2+\frac{1}{2x+5}-\left(x+2\right)\right]$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2x+5}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x+2+\frac{1}{2x+5}-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{2x+5}=0$

Vậy y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 3 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta có:

x = 1; x = 2 là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Dựa vào đồ thị ta có:

x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Dựa vào đồ thị ta có:

y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4 trang 25 Toán 12 Tập 1: Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức $y\left(t\right)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$, với y được tính theo mg/l và t được tính theo giờ, t ≥ 0. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = y(t). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn.

Lời giải:

Có $\underset{t\to +\infty }{\lim }y\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(5-\frac{15t}{9t^2+1}\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(5-\frac{\frac{15}{t}}{9+\frac{1}{t^2}}\right)=5$;

$\underset{t\to -\infty }{\lim }y\left(t\right)=\underset{t\to -\infty }{\lim }\left(5-\frac{15t}{9t^2+1}\right)=\underset{t\to -\infty }{\lim }\left(5-\frac{\frac{15}{t}}{9+\frac{1}{t^2}}\right)=5$

Do đó y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên.

Nhận xét:

Khi thời t trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về giá trị cố định là 5 mg/l. Điều này có thể được hiểu sau một thời gian dài, môi trường trong hồ sẽ đạt đến một trạng thái ổn định nồng độ oxygen không thay đổi nhiều.

Bài 5 trang 25 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt $m=m\left(v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ trong hoạt động khởi động (trang 19).

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; c].

Có $\underset{v\to c^{+}}{\lim }m\left(v\right)=\underset{v\to c^{+}}{\lim }\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=+\infty ;$ $\underset{v\to c^{-}}{\lim }m\left(v\right)=\underset{v\to c^{-}}{\lim }\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=+\infty$

Do đó v = c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận ngang.