Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Xác suất có điều kiện

Giải Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

Hoạt động khởi động trang 69 Toán 12 Tập 2: Bạn Thủy gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Nếu biết rằng xuất hiện mặt chẵn chấm thì xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt 6 chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {2; 4; 6}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {6}.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{1}{3}$.

Hoạt động khám phá 1 trang 69 Toán 12 Tập 2: Hộp thứ nhất chứa 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Thanh lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh”; B là biến cố “Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi đỏ”.

a) Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B.

b) Biết rằng biến cố A không xảy ra, tính xác suất của biến cố B.

Lời giải:

a) Nếu lần thứ nhất lấy được bi xanh thì xác suất xảy ra biến cố B là:

$P\left(B|A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

b) Nếu lần thứ nhất không lấy được bi xanh thì xác suất xảy ra biến cố B là:

$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Thực hành 1 trang 70 Toán 12 Tập 2: Xét phép thử lấy thẻ ở Ví dụ 1. Gọi D là biến cố “Thẻ lấy ra lần thứ hai ghi số lớn hơn 1”. Tính P(D|A) và P(D|B).

Lời giải:

Không gian mẫu của phép thử:

W = {(1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 3), (3; 1), (3; 2)}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {(1; 2), (1; 3)}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {(2; 1), (2; 3)}.

Tính P(D|A).

Ta thấy khi biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là (1; 2) hoặc (1; 3). Đây đều là các kết quả thuận lợi cho biến cố D. Do đó P(D|A) = 1.

Tính P(D|B)

Ta thấy khi biến cố B xảy ra thì kết quả của phép thử là (2; 1) hoặc (2; 3). Trong hai kết quả này thì có một kết quả thuận lợi cho biến cố D. Do đó $P\left(D|B\right)=\frac{1}{2}$.

Thực hành 2 trang 70 Toán 12 Tập 2: Xét phép thử ở Ví dụ 2. Tính xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Thành viên được chọn biết chơi cờ vua” và B là biến cố “Thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng”.

Số thành viên của câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cơ là 20 + 25 – 35 = 10.

Do đó, trong số 25 thành viên biết chơi cờ vua có 10 thành viên biết chơi cờ tướng. Suy ra có 15 thành viên không biết chơi cờ tướng.

Vậy xác suất thành viên được chọn không biết chơi cờ tướng, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ vua là $P\left(B|A\right)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$

Vận dụng 1 trang 70 Toán 12 Tập 2: Tính xác suất có điều kiện ở hoạt động khởi động (trang 69).

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt chẵn chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt 6 chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {2; 4; 6}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {6}.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{1}{3}$.

Hoạt động khám phá 2 trang 70 Toán 12 Tập 2: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm”, B là biến cố “Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8” và C là biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt có 6 chấm”.

a) Tính $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$ và P(A|B).

b) Tính $\frac{P\left(C\cap A\right)}{P\left(A\right)}$ và P(C|A).

Lời giải:

Ta có không gian mẫu của phép thử là

Ω = {(i; j): 1 ≤ i ≤ 6, 1 ≤ j ≤ 6} trong đó (i; j) là số chấm xuất hiện lần lượt ở hai con xúc xắc. Suy ra n(Ω) = 36.

a) A ∩ B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm và tổng bằng 8”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A ∩ B là {(4; 4)}. Suy ra n(A ∩ B) = 1.

Do đó $P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{36}$.

B là biến cố “Tổng số chấm của hai mặt xuất hiện bằng 8”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)}.

Suy ra n(B) = 5.

Do đó $P\left(B\right)=\frac{5}{36}$.

Vậy $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{1}{5}$.

Trong số 5 kết quả thuận lợi cho biến cố B thì có 1 kết quả thuận lợi cho biến A.

Do đó P(A|B) = $\frac{1}{5}$.

b) C ∩ A là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm trong đó có ít nhất một mặt 6 chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố C ∩ A là {(6; 6)}. Suy ra n(C ∩ A) = 1.

Do đó $P\left(C\cap A\right)=\frac{1}{36}$.

A là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm”.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}.

Suy ra n(A) = 6. Do đó $P\left(A\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Vậy $\frac{P\left(C\cap A\right)}{P\left(A\right)}=\frac{1}{6}$.

Trong số 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A thì có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố C.

Do đó $P\left(C|A\right)=\frac{1}{6}$.

Thực hành 3 trang 72 Toán 12 Tập 2: Một nhóm 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ tham gia lao động trên sân trường. Cô giáo chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 bạn trong nhóm đi tưới cây. Tính xác suất để hai bạn được chọn có cùng giới tính, biết rằng có ít nhất 1 bạn nam được chọn.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Chọn hai bạn có cùng giới tính”.

B là biến cố “Chọn được ít nhất 1 bạn nam”.

AB là biến cố “Chọn được hai bạn có cùng giới tính trong đó có ít nhất 1 bạn nam” hay AB “Chọn được 2 bạn nam”.

Ta có $P\left(AB\right)=\frac{C_5^2}{C_9^2}=\frac{5}{18}$.

$P\left(B\right)=\frac{C_5^1.C_4^1}{C_9^2}+\frac{C_5^2}{C_9^2}=\frac{5}{9}+\frac{5}{18}=\frac{5}{6}$.

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{5}{18}:\frac{5}{6}=\frac{1}{3}$.

Vận dụng 2 trang 72 Toán 12 Tập 2: Kết quả khảo sát những bệnh nhân bị tai nạn xe máy về mối liên hệ giữa việc đội mũ bảo hiểm và khả năng bị chấn thương vùng đầu cho thấy:

- Tỉ lệ bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu khi gặp tai nạn là 80%;

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách khi gặp tai nạn là 90%;

- Tỉ lệ bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách và bị chấn thương vùng đầu là 18%.

Hỏi theo kết quả điều tra trên, việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu bao nhiêu lần?

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu”.

B là biến cố “Bệnh nhân đội mũ bảo hiểm đúng cách”.

AB là biến cố “Bệnh nhân bị chấn thương vùng đầu và đội mũ bảo hiểm đúng cách”.

Theo đề ta có: P(AB) = 0,18; P(B) = 0,9; P(A) = 0,8.

Khi đó P(A|B) = 0,18 : 0,9 = 0,2.

Việc đội mũ bảo hiểm đúng cách sẽ làm giảm khả năng bị chấn thương vùng đầu số lần là: 0,8 : 0,2 = 4 lần.

Hoạt động khám phá 3 trang 72 Toán 12 Tập 2: Bạn Việt chuẩn bị đi tham quan một hòn đảo trong hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật. Ở hòn đảo đó, mỗi ngày chỉ có nắng hoặc mưa, nếu một ngày là nắng thì khả năng xảy ra mưa ở ngày tiếp theo là 20%, còn nếu một ngày là mưa thì khả năng ngày hôm sau vẫn mưa là 30%. Theo dự báo thời tiết, xác suất trời sẽ nắng vào thứ Bảy là 0,7. Hãy tìm các giá trị thích hợp thay vào ? ở sở đồ hình cây sau:

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Ngày thứ Bảy trời nắng” và B là biến cố “Ngày Chủ nhật trời mưa”.

Khi đó P(A) = 0,7, P(B|A) = 0,2, $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,3}$.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\mathrm{0,3};P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=\mathrm{0,8};$

$P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,7}$.

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có xác suất trời nắng vào thứ Bảy và trời mưa vào Chủ Nhật là P(AB) = P(A).P(B|A) = 0,7.0,2 = 0,14.

Tương tự ta có:

$P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right)P\left(\overline{B}|A\right)=\mathrm{0,7.0,8}=\mathrm{0,56}$;

$P\left(\overline{A}B\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,3.0,3}=\mathrm{0,09}$;

$P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=\mathrm{0,3.0,7}=\mathrm{0,21}$

Ta có thể biểu diễn các kết quả trên theo sơ đồ hình cây như sau:

Thực hành 4 trang 74 Toán 12 Tập 2: Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

A: “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”;

B: “Hai viên bi lấy ra có cùng màu”.

Lời giải:

Gọi M là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”,

N là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.

Ta có $P\left(M\right)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}$; $P\left(N\right|M)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}$

Suy ra $P\left(\overline{M}\right)=1-P\left(M\right)=\mathrm{0,6}$; $P\left(N|\overline{M}\right)=\frac{5}{10}=\mathrm{0,5}$; $P\left(\overline{N}|M\right)=\frac{6}{10}=\mathrm{0,6}$;

$P\left(\overline{N}|\overline{M}\right)=\frac{5}{10}=\mathrm{0,5}$

Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây ta có P(A) = 0,16; P(B) = 0,24 + 0,3 = 0,54.

Vận dụng 3 trang 74 Toán 12 Tập 2: Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là 85% đối với sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và 70% đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là 30%. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

C: “Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”;

D: “Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Sinh viên đó tốt nghiệp loại giỏi”,

B là biến cố “Sinh viên đó tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.

Ta có P(A) = 0,3; $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\mathrm{0,7}$; P(B|A) = 0,85; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,7}$.

Suy ra $P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=\mathrm{0,15}$; $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,3}$.

Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây, ta có: P(C) = 0,255; P(D) = 0,49.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 75 Toán 12 Tập 2: Một thư viện có 35% tổng số sách là sách khoa học, 14% tổng số sách là sách khoa học tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên một quyển sách của thư viên. Tính xác suất để quyển sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết rằng đó là quyển sách về khoa học.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Sách được chọn là sách khoa học tự nhiên”,

B là biến cố “Sách được chọn là quyển sách về khoa học”.

AB là biến cố “Sách được chọn là sách khoa học và là sách khoa học tự nhiên”

Theo đề ta có P(A) = 0,14; P(B) = 0,35; P(AB) = P(A) = 0,14.

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,14}}{\mathrm{0,35}}=\mathrm{0,4}$.

Bài 2 trang 75 Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,4; P(B) = 0,8 và $P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,5}$. Tính $P\left(A\overline{B}\right)$ và P(A|B).

Lời giải:

Có $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=\mathrm{0,2}$.

Theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left(A\overline{B}\right)=P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)=\mathrm{0,2.0,5}=\mathrm{0,1}$.

Vì $A\overline{B}$ và AB là hai biến cố xung khắc và $A\overline{B}\cup AB=A$.

Suy ra $P\left(AB\right)=P\left(A\right)-P\left(A\overline{B}\right)=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,3}$

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,8}}=\frac{3}{8}$

Bài 3 trang 75 Toán 12 Tập 2: Mỗi bạn học sinh trong lớp của Minh lựa chọn học một trong hai ngoại ngữ là tiếng Anh hoặc tiếng Nhật. Xác suất chọn tiếng Anh của mỗi bạn học sinh nữ là 0,6 và của mỗi bạn học sinh nam là 0,7. Lớp Minh có 25 bạn nữ và 20 bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên một bạn trong lớp.

Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

A: “Bạn được chọn là nam và học tiếng Nhật”;

B: “Bạn được chọn là nữ và học tiếng Anh”.

Lời giải:

Gọi M là biến cố “Bạn được chọn là nữ”;

N là biến cố “Bạn được chọn học tiếng Anh”.

Ta có $P\left(M\right)=\frac{C_{25}^1}{C_{45}^1}=\frac{5}{9}$; $P\left(N|M\right)=\mathrm{0,6};P\left(N\right|\overline{M})=\mathrm{0,7}$.

Suy ra $P\left(\overline{M}\right)=1-P\left(M\right)=\frac{4}{9};$$P\left(\overline{N}|M\right)=1-P\left(N|M\right)=\mathrm{0,4}$;

$P\left(\overline{N}|\overline{M}\right)=1-P\left(N|\overline{M}\right)=\mathrm{0,3}$.

Ta có sơ đồ hình cây

Dựa vào sơ đồ hình cây, ta có: $P\left(A\right)=\frac{2}{15}$; $P\left(B\right)=\frac{1}{3}$.

Bài 4 trang 75 Toán 12 Tập 2: Máy tính và thiết bị lưu điện (UPS) được kết nối như Hình 5. Khi xảy ra sự cố điện, UPS bị hỏng với xác suất 0,02. Nếu UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện máy tính sẽ bị hỏng với xác suất 0,1; ngược lại, nếu UPS không bị hỏng, máy tính sẽ không bị hỏng.

a) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều không bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.

b) Tính xác suất để cả UPS và máy tính đều bị hỏng khi xảy ra sự cố điện.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “UPS bị hỏng khi xảy ra sự cố điện”.

B là biến cố “Máy tính bị hỏng”.

Ta có P(A) = 0,02; P(B|A) = 0,1; $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1$.

Suy ra $P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=\mathrm{0,9}$.

Ta có sơ đồ cây như sau:

Dựa vào sơ đồ cây ta có:

a) $P\left(\overline{AB}\right)=\mathrm{0,98}$.

b) P(AB) = 0,002.