Toán 12 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Tính đơn diệu và cực trị của hàm số

Hoạt động khám phá 2 trang 10 Toán 12 Tập 1: Quan sát đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=x^3--3x^2+1$ trong Hình 5.

a) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 0 mà trên đó f(x) < f(0) với mọi $x\ne 0$.

b) Tìm khoảng (a; b) chứa điểm x = 2 mà trên đó f(x) > f(2) với mọi $x\ne 2$.

c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi $x\ne 1$ hoặc f(x) < f(1) với mọi $x\ne 1$?

Lời giải:

a) Trên khoảng (-1; 2), f(x) < f(0) với mọi $x\ne 0$

b) Trên khoảng (0; 3), f(x) > f(2) với mọi $x\ne 2$

c) Không tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm x = 1 mà trên đó f(x) > f(1) với mọi $x\ne 1$ hoặc f(x) < f(1) với mọi $x\ne 1$

Thực hành 4 trang 11 Toán 12 Tập 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 8

Lời giải:

Hàm số y = f (x) có:

x = 5 là điểm cực đại vì f (x) < f(5) với mọi $x\in \left(3;7\right)\mathrm{\setminus }\left\{5\right\}$, $y_{cd}=f(5)=5$

x = 3 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(3) với mọi $x\in \left(1;5\right)\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$, $y_{ct}=f(3)=2$

x=7 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(7) với mọi $x\in \left(5;9\right)\mathrm{\setminus }\left\{7\right\}$, $y_{ct}=f(7)=1$

Hoạt động khám phá 3 trang 11 Toán 12 Tập 1: Đồ thị của hàm số $y=\{\begin{array}{l}{x}^{2}khix\le 1\\ 2-xkhix>1\end{array}$ được cho ở Hình 9.

a) Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số.

b) Tại x = 1, hàm số có đạo hàm không?

c) Thay mỗi dấu ? bằng kí hiệu (+, –) thích hợp để hoàn thành bảng biến thiên dưới đây. Nhận xét về dấu của y' khi x đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu.

Lời giải:

a) Hàm số y = f (x) có:

x = 1 là điểm cực đại vì f (x) < f(1) với mọi $x\in \left(0;+\mathrm{\infty }\right)\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$

x = 0 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(0) với mọi $x\in \left(+\mathrm{\infty };1\right)\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$

b) Tại x = 1, hàm số không có đạo hàm vì đồ thị bị gấp khúc

c)

Nhận xét: Khi đi qua các điểm cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu

Thực hành 5 trang 12 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2+x+4}{x+1}$

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1\}$

$g^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x+1}=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = -3, $y_{ct}=f(-3)=-5$, đạt cực đại tại x = 1, $y_{cd}=f(1)=3$

Vận dụng 2 trang 12 Toán 12 Tập 1: Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số $y=h\left(x\right)=-\frac{1}{1320000}{x}^3+\frac{9}{3520}{x}^2-\frac{81}{44}x+840$ với $0\le x\le 2000$

Tìm toạ độ các đỉnh của lát cắt dãy núi trên đoạn [0; 2000]

Lời giải:

Tập xác định: $D=[0;2000]$

$h^{\prime }(x)=-\frac{1}{440000}{x}^2+\frac{9}{1760}x-\frac{81}{44}=0\iff [\begin{array}{l}x=1800\\ x=450\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy trên đoạn [0; 2000]:

Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là (450; 460,3125)

Tọa độ đỉnh cực đại của dãy núi là (1800; 1392,27)

Bài tập

Bài 1 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;2) và (4;5), nghịch biến trên khoảng (-1;0) và (2;4)

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, $y_{cd}=f(2)=2$, đạt cực tiểu tại x = 0, $y_{ct}=f(0)=-1$ và x = 4, $y_{ct}=f(4)=-1$

b) Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-1) và (1;3), nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, $y_{cd}=f(-1)=3$, đạt cực tiểu tại x = 1, $y_{ct}=f(1)=-1$

Bài 2 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) $y=4x^3+3x^2--36x+6$
b) $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$

Lời giải:

a) $y=4x^3+3x^2--36x+6$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=12x^2+6x-36$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=-2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng ($-\mathrm{\infty }$;-2) và ($\frac{3}{2}$;$+\mathrm{\infty }$), nghịch biến trên khoảng (-2; $\frac{3}{2}$)

Hàm số đạt cực đại tại x = -2, $y_{cd}=f(-2)=58$, đạt cực tiểu tại x = $\frac{3}{2}$, $y_{ct}=f(\frac{3}{2})=-\frac{111}{4}$

b) $y=\frac{x^2-2x-7}{x-4}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{4\}$

$y^{\prime }=\frac{x^2-8x+15}{x^2-8x+16}$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=5\\ x=3\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng ($-\mathrm{\infty }$;3) và (8;$+\mathrm{\infty }$), nghịch biến trên khoảng (3;4) và (4;5)

Hàm số đạt cực đại tại x = 3, $y_{cd}=f(3)=4$, đạt cực tiểu tại x = $5$, $y_{ct}=f(5)=8$

Bài 3 trang 13 Toán 12 Tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y=2x^3+3x^2--36x+1$
b) $y=\frac{x^2-8x+10}{x-2}$
c) $y=\sqrt{-x^2+4}$

a) $y=2x^3+3x^2--36x+1$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=6x^2+6x-36$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3, $y_{cd}=f(-3)=82$, đạt cực tiểu tại x = 2, $y_{ct}=f(2)=-43$

b) $y=\frac{x^2-8x+10}{x-2}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{2\}$

$y^{\prime }=\frac{x^2-4x+6}{{(x-2)}^2}$

Ta có: $\{\begin{array}{l}(x^2-4x+6)>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{2\}\\ (x-2{)}^2>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{2\}\end{array}$ nên $y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{2\}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số không có điểm cực trị

c) $y=\sqrt{-x^2+4}$

Tập xác định: $D=\left(-2;2\right)$

$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{-x^2+4}}$

$y^{\prime }=0\iff x=0$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, $y_{cd}=f(0)=2$

Bài 4 trang 13 Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{3\}$

$y^{\prime }=\frac{-7}{{(x-3)}^2}$

Ta có: $(x-3{)}^2>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{3\}$ nên $y^{\prime }<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{3\}$

Vậy hàm số $y=\frac{2x+1}{x-3}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{3\}$

Bài 5 trang 13 Toán 12 Tập 1: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức $f\left(x\right)=0,01x^3--0,04x^2+0,25x+0,44$ (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 ($0\le x\le 7$).
a) Tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

a) $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=0,03x^2-0,08x+0,25$

b) Tập xác định: $D=[0;7]$

Ta có: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên $y=f(x)$ luôn đồng biến $\mathrm{\forall }x\in [0;7]$

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Bài 6 trang 13 Toán 12 Tập 1: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t)=t^3-6t^2+9t$ với $t\ge 0$. Khi đó $x^{\prime }(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t)$; $v^{\prime }(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $a(t)$.
a) Tìm các hàm $v(t)$và $a(t)$
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

a) $v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2-12t+9$

$a(t)=v^{\prime }(t)=6t-12$

b) Tập xác định: $D=[0;+\mathrm{\infty }]$

$a(t)=0\iff t=2$

Bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm, từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng

Bài 7 trang 13 Toán 12 Tập 1: Đạo hàm f '(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).

f’(x) > 0 trên các khoảng (-1;2) và (4;5) nên f’(x) đồng biến trên các khoảng (-1;2) và (4;5)

f’(x) < 0 trên các khoảng (-2;-1) và (2;4) nên f’(x) nghịch biến trên các khoảng (-2;-1) và (2;4)

Ta có:

$f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\\ x=4\end{array}$

Vậy f(x) đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 4 do f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = -1 và x = 4, đạt cực đại tại x = 2 do f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 2