Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 4 trang 28

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 4 trang 28

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 28 Toán 12 Tập 2: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = x⁴?

A. $-\frac{x^5}{5}$.

B. 4x³.

C. $\frac{x^5}{5}+1$.

D. −4x³ – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ${\left(\frac{x^5}{5}+1\right)}^{\text{'}}=x^4$ nên hàm số $y=\frac{x^5}{5}+1$ là một nguyên hàm của hàm số y = x⁴.

Bài 2 trang 28 Toán 12 Tập 2: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^2}$?

A. $\frac{1}{x^3}$

B. $-\frac{1}{x}$

C. $\frac{1}{x}$

D. $-\frac{1}{x^3}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x^2}$ nên hàm số $y=-\frac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x^2}$.

Bài 3 trang 28 Toán 12 Tập 2: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int \left(\cos x-2\sin x\right)dx=\sin x+2\cos x+C$

B. $\int \left(\cos x-2\sin x\right)dx=-\sin x+2\cos x+C$

C. $\int \left(\cos x-2\sin x\right)dx=\sin x-2\cos x+C$

D. $\int \left(\cos x-2\sin x\right)dx=-\sin x-2\cos x+C$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có $\int \left(\cos x-2\sin x\right)dx=\sin x+2\cos x+C$

Bài 4 trang 28 Toán 12 Tập 2: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\frac{x^3}{3}-2x-\frac{1}{x}+C$

B. $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\frac{x^3}{3}-2x+\frac{1}{x}+C$

C. $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\frac{1}{3}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}^3+C$

D. $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\frac{1}{3}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}^3\left(1+\frac{1}{x^2}\right)+C$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có $\int {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\int \left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)dx=\frac{x^3}{3}-2x-\frac{1}{x}+C$

Bài 5 trang 28 Toán 12 Tập 2: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int 3^{2x}dx=\frac{9^x}{\ln 9}+C$

B. $\int 3^{2x}dx=9^x.\ln 9+C$

C. $\int 3^{2x}dx={\left(\frac{3^x}{\ln 3}\right)}^2+C$

D. $\int 3^{2x}dx=3^x.\ln 3+C$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có $\int 3^{2x}dx=\int 9^{x}dx==\frac{9^x}{\ln 9}+C$

Bài 6 trang 28 Toán 12 Tập 2: Giá trị của $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3+3x^2+8x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(4x^3+3x^2+8x\right)dx$ bằng

A. 16.

B. −16.

C. 52.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3+3x^2+8x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(4x^3+3x^2+8x\right)dx$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4x^3+3x^2+8x\right)dx$

$={\left.\left(x^4+x^3+4x^2\right)\right|}_{-2}^2$

= 40 – 24 = 16.

Bài 7 trang 28 Toán 12 Tập 2: Biết rằng $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-4$. Giá trị của $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[3x-2f\left(x\right)\right]dx$ bằng

A. −2.

B. 12.

C. 14.

D. 22.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[3x-2f\left(x\right)\right]dx=3\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx-2\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$$={\left.\frac{3x^2}{2}\right|}_0^2-2\left(-4\right)=14$

Bài 8 trang 28 Toán 12 Tập 2: Giá trị của $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. 1.

C. $\frac{1}{3}$.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x-x^2\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^2$$=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=1$

Bài 9 trang 28 Toán 12 Tập 2: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x³, y = x và hai đường thẳng x = 0, x = 2 bằng

A. 2.

B. $\frac{5}{2}$.

C. $\frac{9}{4}$.

D. $\frac{1}{4}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Diện tích cần tính là: $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-x\right|dx$

Có x³ – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x =1 hoặc x = −1.

Với x ∈ [0; 1] thì x³ – x ≤ 0, x ∈ [1; 2] thì x³ – x ≥ 0.

Do đó $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^3-x\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x-x^3\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-x\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^2$$=\frac{1}{4}+2+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$

Bài 10 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tốc độ chuyển động v (m/s) của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như Hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là

A. 400 m.

B. 350 m.

C. 310 m.

D. 200 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị Hình 1, ta có:

$v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{10}{8}t,0\le t<\mathrm{8,}\\ \mathrm{10,}8\le t<\mathrm{30,}\\ -t+\mathrm{40,}30\le t\le 40.\end{array}\right.$

Quãng đường ca nô đi được là:

$s=\underset{0}{\overset{40}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{8}{\int }}\frac{10}{8}tdt+\underset{8}{\overset{30}{\int }}10dt+\underset{30}{\overset{40}{\int }}\left(-t+40\right)dt$$={\left.\frac{10t^2}{16}\right|}_0^8+{\left.10t\right|}_8^{30}+{\left.\left(-\frac{t^2}{2}+40t\right)\right|}_{30}^{40}$

= 40 + 300 – 80 + 800 – 750 = 310 m.

Bài 11 trang 29 Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x+1}$, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

A. 6π.

B. 2π.

C. 3π.

D. 4π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x+1\right)dx$$={\left.\pi \left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|}_0^2 = 4\pi$

Bài 12 trang 29 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của đạo hàm y = f'(x) là đường cong trong Hình 2. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là S_A = 2 và S_B = 3. Nếu f(0) = 4 thì f(5) bằng

A. 3.

B. 5.

C. 9.

D. −1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Có $S_A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.f\left(x\right)\right|}_0^2=f\left(2\right)-f\left(0\right)=2\Rightarrow f\left(2\right)=2+f\left(0\right)=6$

Mà $S_B=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left|f^{\text{'}}\left(x\right)\right|dx=-\underset{2}{\overset{5}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=-\left[f\left(5\right)-f\left(2\right)\right]=3$ => f(5) = f(2) – 3 = 6 – 3 = 3.

Bài tập tự luận

Bài 13 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) $\int \left[4{\left(2-3x\right)}^2-3\cos x\right]dx$; b) $\int \left(3x^3-\frac{1}{2x^3}\right)dx$;

c) $\int \left(\frac{2}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{3{\cos }^{2}x}\right)dx$; d) $\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)dx$;

e) $\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x^3}}\right)dx$; g) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$.

Lời giải:

a) $\int \left[4{\left(2-3x\right)}^2-3\cos x\right]dx$$=4\int {\left(2-3x\right)}^{2}dx-3\int \cos xdx$

$=4\int \left(4-12x+9x^2\right)dx-3\int \cos xdx$$=4\left(4x-6x^2+3x^3\right)-3\sin x+C$

= 16x – 24x² + 12x³ – 3sinx + C.

b) $\int \left(3x^3-\frac{1}{2x^3}\right)dx$$=3\int x^{3}dx-\frac{1}{2}\int x^{-3}dx$$=\frac{3x^4}{4}+\frac{1}{4x^2}+C$

c) $\int \left(\frac{2}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{3{\cos }^{2}x}\right)dx$$=2\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx-\frac{1}{3}\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$$=-2\cot x-\frac{1}{3}\tan x+C$

d) $\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)dx$$=\frac{1}{9}\int 9^{x}dx+4\int \cos xdx$$=\frac{1}{9}.\frac{9^x}{\ln 9}+4\sin x+C$

e) $\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x^3}}\right)dx$$=4\int x^{\frac{4}{5}}dx+3\int x^{\frac{-3}{2}}dx$$=\frac{20}{9}{x}^{\frac{9}{5}}-6x^{\frac{-1}{2}}+C$

g) $\int {\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^{2}dx$$=\int \left(1-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)dx$$=\int \left(1-\sin x\right)dx$

$=\int dx-\int \sin xdx$= x + cosx + C.

Bài 14 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tính đạo hàm của $F\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$. Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Lời giải:

Có $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$$=\frac{1+\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$$=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$

$=\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Do đó $\int f\left(x\right)=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$

Bài 15 trang 29 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) = x² lnx và g(x) = xlnx. Tính f'(x) và $\int g\left(x\right)dx$

Lời giải:

Có f'(x) = (x²lnx)' = 2xlnx + x = 2g(x) + x.

Suy ra $g\left(x\right)=\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{2}-\frac{x}{2}$,

Ta có $\int g\left(x\right)dx=\int \left(\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{2}-\frac{x}{2}\right)dx$$=\frac{1}{2}\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx-\frac{1}{2}\int xdx$$=\frac{1}{2}.f\left(x\right)-\frac{x^2}{4}+C$

$=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

Bài 16 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3+x\right)dx$; b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-2}{x^2}dx$;

c) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}{2}^{2x}dx$; d) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right)dx$

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3+x\right)dx$$=4\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}xdx$$={\left.\left(x^4+\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1=\frac{3}{2}$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x-2}{x^2}dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x}dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x^2}dx$$={\left.\left(\ln \left|x\right|+\frac{2}{x}\right)\right|}_1^2$= ln2 + 1 – 2 = ln2 – 1.

c) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}{2}^{2x}dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{4}^{x}dx$$={\left.\left(\frac{4^x}{\ln 4}\right)\right|}_0^4=\frac{256}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 4}=\frac{255}{\ln 4}$

d) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^{x-1}+2^{x+1}\right)dx=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle e}}\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx+2\underset{1}{\overset{2}{\int }}{2}^{x}dx$$={\left.\left(\frac{1}{e}.e^x+2.\frac{2^x}{\ln 2}\right)\right|}_1^2=e+\frac{4}{\ln 2}-1$

Bài 17 trang 29 Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$; b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1+\tan x\right)\cos xdx$.

Lời giải:

a) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}=-1+\sqrt{3}$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1+\tan x\right)\cos xdx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x+\sin x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos xdx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\sin xdx$

$={\left.\left(\sin x-\cos x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$= 1

Bài 18 trang 29 Toán 12 Tập 2: Một vật chuyển động với tốc độ v(t) = 3t + 4 (m/s), với thời gian t tính theo giây, t ∈ [0; 5]. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5.

Lời giải:

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 5 là:

$s=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(3t+4\right)dt={\left.\left(3\frac{t^2}{2}+4t\right)\right|}_0^5=\mathrm{57,5}$m

Bài 19 trang 30 Toán 12 Tập 2: Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ v₀ = 1 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 3 m/s². Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Lời giải:

Tốc độ của chất điểm tại thời điểm t kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 3dt=3t+C$.

Vì v(0) = 1 nên C = 1.

Do đó v(t) = 3t + 1.

Sau 10 giây tốc độ của chất điểm là: v(10) = 3.10 + 1 = 31 m/s.

Bài 20 trang 30 Toán 12 Tập 2: Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức P'(t) = 20.(1,106)^t với 0 ≤ t ≤ 7, trong đó t là thời gian tính theo năm và t = 0 ứng với đầu năm 2015, P(t) là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.

a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).

b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020.

Lời giải:

a) Dân số của thành phố vào năm thứ t là:

$P\left(t\right)=\int P^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int 20.{\left(\mathrm{1,106}\right)}^{t}dt=20.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^t}{\ln \mathrm{1,106}}+C$

Vì P(0) = 1008 nên $20.\frac{1}{\ln \mathrm{1,106}}+C=1008\Rightarrow C\approx 809$

Do đó $P\left(t\right)=20.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^t}{\ln \mathrm{1,106}}+809$

Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là:

$P\left(5\right)=20.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^5}{\ln \mathrm{1,106}}+809\approx 1137$ nghìn người.

b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm là:

$\frac{1}{5}\underset{0}{\overset{5}{\int }}{P}^{\text{'}}\left(t\right)dt=\frac{1}{5}\underset{0}{\overset{5}{\int }}20.{\left(\mathrm{1,106}\right)}^{t}dt={\left.4.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^t}{\ln \mathrm{1,106}}\right|}_0^5$

$=4.\left(\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^5}{\ln \mathrm{1,106}}-\frac{1}{\ln \mathrm{1,106}}\right)$ ≈ 26 nghìn người/năm.

Bài 21 trang 30 Toán 12 Tập 2: Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao 100 m, một vật rơi xuống với tốc độ v(t) = 10t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.

a) Tính quãng đường s(t) vật di chuyển được sau thời gian t giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).

b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.

Lời giải:

a) Quãng đường s(t) vật di chuyển được sau thời gian t giây là:

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int 10tdt=5t^2+C$.

Vì s(0) = 0 nên C = 0.

Do đó s(t) = 5t² .

b) Vật chạm đất khi s(t) = 100 ⇔ 5t² = 100 => $t=2\sqrt{5}$(vì t > 0).

Vậy vật chạm đất sau $2\sqrt{5}\approx \mathrm{4,47}$ giây.

Tốc độ rơi trung bình là $\frac{1}{2\sqrt{5}}\underset{0}{\overset{2\sqrt{5}}{\int }}10tdt=\frac{1}{2\sqrt{5}}.{\left.5t^2\right|}_0^{2\sqrt{5}}=10\sqrt{5}$ m/s

Bài 22 trang 30 Toán 12 Tập 2: Cho S₁, S₂ là diện tích các hình phẳng được mô tả trong Hình 3. Tính $\frac{S_1}{S_2}$.

Lời giải:

Ta có $S_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+4x-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+3x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-x^2+3x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\right|}_0^3$$=\frac{9}{2}$.

$S_2=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x\right|dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left|-x^2+4x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left(-x^2+4x\right)dx$

$={\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^3+{\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_3^4$$=\frac{9}{2}+\frac{32}{3}-9=\frac{37}{6}$

Do đó $\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{2}:\frac{37}{6}=\frac{27}{37}$

Bài 23 trang 30 Toán 12 Tập 2: Nếu cắt chậu nước có hình dạng như Hình 4 bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm), (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left(10+\sqrt{x}\right)$ (cm). Tính dung tích của chậu.

Lời giải:

Diện tích của mặt cắt là: $S\left(x\right)=\pi {\left(10+\sqrt{x}\right)}^2$.

Dung tích của chậu là:

$V=\underset{0}{\overset{16}{\int }}S\left(x\right)dx=\pi \underset{0}{\overset{16}{\int }}{\left(10+\sqrt{x}\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{16}{\int }}\left(100+20\sqrt{x}+x\right)dx$

$=\pi {\left.\left(100x+\frac{40}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^{16}=\frac{7744}{3}\pi$

Bài 24 trang 30 Toán 12 Tập 2: Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như Hình 5. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng x (m) (0 ≤ x ≤ 3) thì được hình vuông có cạnh $\sqrt{9-x^2}$(m). Tính thể tích của lều.

Lời giải:

Diện tích mặt cắt là: $S\left(x\right)=\left(9-x^2\right)$(m²).

Thể tích của lều là: $V=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(9-x^2\right)dx$$={\left.\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^3= 18.$

Bài 25 trang 30 Toán 12 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ nửa đường tròn tâm O, bán kính r = 2 nằm phía trên trục Ox. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục Ox và hai đường thẳng x = −1, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có r = 2 là: $y=\sqrt{4-x^2}$.

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$$=\pi {\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^1=\pi \left(\frac{11}{3}+\frac{11}{3}\right)=\frac{22\pi }{3}$