Toán 12 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt cầu

Giải Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Hoạt động khởi động trang 61 Toán 12 Tập 2:

Ta đã biết trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng như thế nào?

Lời giải:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Hoạt động khám phá 1 trang 61 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S(I; R) có tâm I(a; b; c) và bán kính R. Xét một điểm M(x; y; z) thay đổi.

a) Tính khoảng cách IM theo x, y, z và a, b, c.

b) Nêu điều kiện cần và đủ của x, y, z để điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu S(I; R).

Lời giải:

a) Ta có $IM=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2}$.

b) Để điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu S(I; R) ⇔ IM = R

$\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2}=R$ hay (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Thực hành 1 trang 62 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(3; −2; −4), bán kính R = 10;

b) Có đường kính EF với E(3; −1; 8) và F(7; −3; 0);

c) Có tâm M(−2; 1; 3) và đi qua điểm N(2; −3; −4).

Lời giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; −4), bán kính R = 10 có phương trình là:

(x – 3)² + (y + 2)² + (z + 4)² = 100.

b) Mặt cầu (S) có đường kính EF nên có tâm I(5; −2; 4) là trung điểm của EF và bán kính $IE=\sqrt{{\left(5-3\right)}^2+{\left(-1+2\right)}^2+{\left(8-4\right)}^2}=\sqrt{21}$ có phương trình là:

(x – 5)² + (y + 2)² + (z – 4)² = 21.

c) Bán kính của mặt cầu là $MN=\sqrt{{\left(2+2\right)}^2+{\left(-3-1\right)}^2+{\left(-4-3\right)}^2}=\sqrt{81}=9$.

Mặt cầu (S) có M(−2; 1; 3) và bán kính R = 9 có phương trình là:

(x + 2)² + (y – 1)² + (z – 3)² = 81.

Vận dụng 1 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục tọa độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình (x – 300)² + (y – 400)² + (z – 2000)² = 1. Tìm tọa độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình z = 0.

Lời giải:

Tọa độ tâm I(300; 400; 2000), R = 1.

Khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình z = 0 là

$d=\frac{\left|2000\right|}{\sqrt{1^2}}=2000$ (mét).

Hoạt động khám phá 2 trang 63 Toán 12 Tập 2:

a) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x; y; z) thay đổi có tọa độ luôn thỏa mãn phương trình x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. (*)

i) Biến đổi (*) về dạng: (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25.

ii) Chứng tỏ M(x; y; z) luôn thuộc mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

b) Bằng cách biến đổi phương trình x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 15 = 0 (**) về dạng (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = −1, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không?

Lời giải:

a) x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0

⇔ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9 – 25 = 0

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25.

aii) Ta thấy (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25 là phương trình mặt cầu với tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

b) Ta có x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 15 = 0

⇔ x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 + z² – 6z + 9 – 14 + 15 = 0

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = −1.

Vì −1 < 0 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

Thực hành 2 trang 63 Toán 12 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² + 4z – 32 = 0;

b) x² + y² + z² + 2x + 2y – 2z + 4 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình x² + y² + z² + 4z – 32 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 0; b = 0; c = −2; d = −32.

Ta có a² + b² + c² – d = (−2)² + 32 = 34 > 0.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với I(0; 0; −2) và $R=\sqrt{34}$

b) Phương trình x² + y² + z² + 2x + 2y – 2z + 4 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −1; b = −1; c = 1; d = 4.

Có a² + b² + c² – d = (−1)² + (−1)² + 1² – 4 = −1 < 0.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

Vận dụng 2 trang 64 Toán 12 Tập 2: Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình x² + y² + z² – 200x – 600y – 4000z + 4099900 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu x² + y² + z² – 200x – 600y – 4000z + 4099900 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 100; b = 300; c = 2000; d = 4099900 có tâm I(100; 300; 2000) và $R=\sqrt{{100}^2+{300}^2+{2000}^2-4099900}=10$.

Vận dụng 3 trang 64 Toán 12 Tập 2: Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2+\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}y-z+\frac{1}{16}=0$. Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Lời giải:

Phương trình mặt cầu $x^2+y^2+z^2+\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}y-z+\frac{1}{16}=0$ có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a=-\frac{1}{16};b=\frac{1}{16};c=\frac{1}{2};d=\frac{1}{16}$

Có $R=\sqrt{{\left(-\frac{1}{16}\right)}^2+{\left(\frac{1}{16}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{16}}=\frac{5\sqrt{2}}{16}$

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu bằng bán kính của mặt cầu và bằng $\frac{5\sqrt{2}}{16}$.

BÀI TẬP

Bài 1 trang 65 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8;

b) Có tâm M(3; 1; −4) và đi qua điểm N(1; 0; 1);

c) Có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4).

Lời giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8 có phương trình là

(x – 7)² + (y + 3)² + z² = 64.

b) Bán kính của mặt cầu là $MN=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2+{\left(1+4\right)}^2}=\sqrt{30}$

Mặt cầu (S) có tâm M(3; 1; −4) , bán kính $R=\sqrt{30}$ có phương trình là:

(x – 3)² + (y – 1)² + (z + 4)² = 30.

c) Có I(3; 5; 6) là trung điểm của AB, bán kính của mặt cầu là $IA=\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(6-5\right)}^2+{\left(8-6\right)}^2}=\sqrt{6}$.

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 5; 6) và bán kính $R=\sqrt{6}$ có phương trình là:

(x – 3)² + (y – 5)² + (z – 6)² = 6.

Bài 2 trang 65 Toán 12 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² + 5x – 7y + z – 1 = 0;

b) x² + y² + z² + 4x + 6y – 2z + 100 = 0;

c) x² + y² + z² – x – y – z + $\frac{1}{2}$= 0.

Lời giải:

a) Phương trình x² + y² + z² + 5x – 7y + z – 1 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a=-\frac{5}{2};b=\frac{7}{2};c=-\frac{1}{2};d=-1$.

Có $a^2+b^2+c^2-d={\left(-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{79}{4}>0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left(-\frac{5}{2};\frac{7}{2};-\frac{1}{2}\right),R=\frac{\sqrt{79}}{2}$.

b) Phương trình x² + y² + z² + 4x + 6y – 2z + 100 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −2; b = −3; c = 1 và d = 100.

Có a² + b² + c² – d = 4 + 9 + 1 – 100 = −86 < 0.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình x² + y² + z² – x – y – z + $\frac{1}{2}$ = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{2};d=\frac{1}{2}$.

Có $a^2+b^2+c^2-d={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}>0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $R=\frac{1}{2}$.

Bài 3 trang 65 Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) và B(5; 0; 0). Chứng minh rằng nếu điểm M(x; y; z) thỏa mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ thì M thuộc một mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MA}=\left(x-1;y;z\right),\overrightarrow{MB}=\left(x-5;y;z\right)$.

Có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ ⇔ (x – 1)(x – 5) + y² + z² = 0

⇔ x² – 6x + 9 + y² + z² – 4 = 0

⇔ (x – 3)² + y² + z² = 4.

Do đó M luôn thuộc mặt cầu tâm I(3; 0; 0) và R = 2.

Bài 4 trang 65 Toán 12 Tập 2: Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là I(360; 200; 400) và bán kính r = 2 m. Viết phương trình mặt cầu.

Lời giải:

Mặt cầu có tâm I(360; 200; 400) và bán kính r = 2 có phương trình là:

(x – 360)² + (y – 200)² + (z – 400)² = 4.

Bài 5 trang 65 Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (S): (x – 6)² + (y – 6)² + (z – 6)² = 25. Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (P): z = 10.

a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa.

b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp.

Lời giải:

a) Tâm của bồn chứa I(6; 6; 6) và bán kính R = 5.

b) Ta có $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|6-10\right|}{\sqrt{1^2}}=4$.