Toán 12 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản
Với giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 4.
Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản
Lời giải:
Sau bài học này, ta khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số C = C(v).
– Tập xác định: D = (0; 120].
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
● Đạo hàm C'(v) = ;
C'(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.
● Trên khoảng (0; 80), C'(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
● Trên khoảng (80; 120), C'(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, CCT = C(80) = 400.
+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), như hình dưới đây.
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Hoạt động khám phá trang 25 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = – x2 + 4x – 3.
Lời giải:
a) Xét hàm số y = – x2 + 4x – 3.
Tập xác định: D = ℝ.
Ta có y' = – 2x + 4;
y' = 0 ⇔ – 2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.
Bảng biến thiên:
b) Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số a = – 1 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh I(2; 1), đi qua các điểm (0; – 3), (1; 0), (3; 0) và (4; – 3).
Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:
2. Khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) y = – 2x3 – 3x2 + 1
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = – 6x2 – 6x; y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.
Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Trên khoảng (– 1; 2), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
● Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 và yCT = 0.
● Các giới hạn tại vô cực:
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ – 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x =
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (– 1; 0) và
Điểm (0; 1) là điểm cực đại và điểm (– 1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I.
b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;
y' = 0 ⇔ x = – 1.
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).
Hàm số đã cho không có cực trị.
● Các giới hạn tại vô cực:
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x = – 2.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).
Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1).
3. Khảo sát hàm số (c ≠ 0, ad-bc ≠ 0)
Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a)
1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).
● Tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0), giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.
b)
1. Tập xác định: D = ℝ\.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' < 0 với mọi x ≠ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và .
● Tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm (1; 1).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = và y = .
c)
1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' > 0 với mọi x ≠ 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).
● Tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 5; 0), giao với trục Oy tại điểm .
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = – 1.
4. Khảo sát hàm số (a ≠ 0, m ≠ 0, đa thức từ không chia hết cho đa thức mẫu)
Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a)
1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' > 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).
● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
Ta có
Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Ta có y = 0 ⇔ ⇔ x2 = 1 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.
Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0) và điểm (1; 0).
Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O(0; 0). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 (trục Oy) và y = x.
b)
1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 0.
Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng (– 2; – 1) và (– 1; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
● Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 2 và yCT = 5.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 1.
● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
Ta có
Suy ra đường thẳng y = – x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Ta có y = 0 ⇔ ⇔ x = hoặc x = .
Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm và điểm .
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 3).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x + 2.
c)
1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' < 0 với mọi x ≠ – 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).
● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
Ta có và .
Suy ra đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Ta có y = 0 ⇔ ⇔ x = – 2 hoặc x = 1.
Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0) và điểm (1; 0).
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 2).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 1).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x.
5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).
Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d'. Ta có hàm số và x ≠ 3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?
Lời giải:
a) Vì d > 0 nên với x = d thì x > 0.
Xét hàm số với x > 0 và x ≠ 3.
1. Tập xác định: D = (0; 3) ∪ (3; + ∞).
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' < 0 với mọi x > 0 và x ≠ 3 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 3) và (3; + ∞).
● Tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; – 6) và điểm (6; 6).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
b)
● Để vật là ảnh thật thì d' > 0, tức là y > 0.
Quan sát đồ thị hàm số , ta thấy trên khoảng (3; + ∞), đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox nên y > 0 trên khoảng này. Vậy với x > 3, tức d > 3 hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.
● Để vật là ảnh ảo thì d' < 0, tức là y < 0.
Quan sát đồ thị hàm số , ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên y < 0 trên khoảng này. Vậy với x ∈ (0; 3), tức d ∈ (0; 3) hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm, tức vị trí A tiến gần đến vị trí F, thì khoảng cách AF dần tiến tới 0, hay d – f → 0, suy ra d → f, tức là x → 3.
Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Lời giải:
a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm3).
Theo bài ra ta có V = 500 cm3, khi đó 2xy = 500, suy ra y = .
b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là
Sxq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm2).
Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
Stp = Sxq + 2Sđ = 4(x + y) + 2xy (cm2)
Lại có y = nên Stp = .
Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là .
c) Xét hàm số với x ∈ (0; + ∞).
Ta có S'(x) = 4 – ;
Trên khoảng (0; + ∞), S'(x) = 0 khi x = .
Ta có ;
Bảng biến thiên:
d) Để dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhỏ nhất.
Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại x = .
Với x = , ta có y = .
Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là 2 cm, cm, cm thì dùng ít vật liệu nhất.
Bài tập
Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) y = x3 + x – 2
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = 3x2 + 1; y' > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).
● Các giới hạn tại vô cực:
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).
b) y = 2x3 + x2 – – 3
1. Tập xác định: ℝ.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = 6x2 + 2x – ; y' = 0 ⇔ x = hoặc x = .
Trên các khoảng và , y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Trên khoảng , y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
● Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại và yCĐ = .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = và yCT = .
● Các giới hạn tại vô cực:
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Khi x = 0 thì y = – 3 nên (0; – 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.
Ta có y = 0 ⇔ 2x3 + x2 – – 3 = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.
Điểm là cực đại và điểm là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I.
Bài 2 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.
a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.
b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Lời giải:
a) Xét hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Ta có y' = 3x2 – 6x; y" = 6x – 6;
y" = 0 ⇔ x = 1.
Với x = 1, ta có y(1) = 0.
Vậy I(1; 0).
b) Ta có y' = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên:
Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là yCT = – 2.
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 2) và (2; – 2).
Ta thấy . Vậy điểm I(1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) y = 3 +
1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).
● Tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Ta có y = 0 ⇔ 3 + = 0 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm .
Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.
Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 2) và (1; 4).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 3). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3.
b)
1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).
● Tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Ta có x = 0 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; – 3).
Ta có y = 0 ⇔ ⇔ x = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (3; 0).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = – 1.
Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a)
1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
● Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 2.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = – 2.
● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
Ta có và .
Suy ra đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 2).
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x – 1.
b)
1. Tập xác định: D = ℝ\.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Trên các khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng và , y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
● Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = 3.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = – 1.
● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
Ta có . Suy ra đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có . Suy ra đường thẳng x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I.
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = và y = 2x.
Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?
Lời giải:
a) Xét hàm số .
1. Tập xác định: D = ℝ\{– 2}.
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm y' = . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 5 hoặc x = 1.
Trên các khoảng (– ∞; – 5) và (1; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng (– 5; – 2) và (– 2; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
● Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 5 và yCT = 13.
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = 1.
● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
Ta có và .
Suy ra đường thẳng y = – x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có .
Suy ra đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm .
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm và đi qua các điểm (– 5; 13), (1; 1).
Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 2; 7).
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 2 và y = – x + 5.
b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 5; 13) và (1; 1).
Ta có . Vậy tọa độ trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 2; 7), đây chính là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số.
Vậy trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.
Lời giải:
a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là x, 6 – 2x và 6 – 2x (dm).
Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.
Thể tích của chiếc hộp là V(x) = x(6 – 2x)2 (dm3) (0 < x < 3).
b) Xét hàm số V(x) = x(6 – 2x)2 với x ∈ (0; 3).
1. Tập xác định: D = (0; 3).
2. Sự biến thiên:
● Chiều biến thiên:
Đạo hàm V'(x) = (6 – 2x)2 + x ∙ 2(6 – 2x) ∙ (– 2) = (6 – 2x)(6 – 6x).
Trên khoảng (0; 3), ta có V'(x) = 0 ⇔ x = 1.
Trên khoảng (0; 1), V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Trên khoảng (1; 3), V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại x = 1, yCĐ = 16.
● Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 16) và (2; 8).
Đồ thị hàm số V(x) trên khoảng (0; 3) được biểu diễn như hình dưới đây.
Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm x0 ∈ (0; 3) sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.
Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng (0; 3) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất là .
Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là 1 dm thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.
Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài tập cuối chương 1 trang 37
Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Chân trời sáng tạo (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Friends Global
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh lớp 12 Friends Global đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Friends Global
- Giải sgk Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tin học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Tin học 12 - Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Công nghệ 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 12 – Chân trời sáng tạo