Toán 12 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Với giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 4.

1 746 10/06/2024


Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Giải Toán 12 trang 25 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 12 Tập 1: Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức:

Cv=16000v+52v  0<v120

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của C(v) theo v, người ta đã vẽ đồ thị hàm số C = C(v) như hình bên. Làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số này?

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

Sau bài học này, ta khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số C = C(v).

– Tập xác định: D = (0; 120].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

● Đạo hàm C'(v) = 16000v2+52=5v80v+802v2;

C'(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.

● Trên khoảng (0; 80), C'(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

● Trên khoảng (80; 120), C'(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, CCT = C(80) = 400.

+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: limv0+Cv=limv0+16000v+52v=+ nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), 120;  13003 như hình dưới đây.

Hoạt động khởi động trang 25 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Hoạt động khám phá trang 25 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = – x2 + 4x – 3.

a) Lập bảng biến thiên.

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = – x2 + 4x – 3.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có y' = – 2x + 4;

y' = 0 ⇔ – 2x + 4 = 0 ⇔ x = 2.

Bảng biến thiên:

Hoạt động khám phá trang 25 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

b) Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số a = – 1 nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, có đỉnh I(2; 1), đi qua các điểm (0; – 3), (1; 0), (3; 0) và (4; – 3).

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Hoạt động khám phá trang 25 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

2. Khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Giải Toán 12 trang 28 Tập 1

Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = – 2x3 – 3x2 + 1;

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2.

Lời giải:

a) y = – 2x3 – 3x2 + 1

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = – 6x2 – 6x; y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (– 1; 2), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 1 và yCT = 0.

● Các giới hạn tại vô cực:

limxy=limxx323x+1x3=+;  limx+y=limx+x323x+1x3=

● Bảng biến thiên:

Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ – 2x3 – 3x2 + 1 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 12

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (– 1; 0) và 12;0

Điểm (0; 1) là điểm cực đại và điểm (– 1; 0) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I12;12.

b) y = x3 + 3x2 + 3x + 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

y' = 0 ⇔ x = – 1.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

Hàm số đã cho không có cực trị.

● Các giới hạn tại vô cực:

limxy=limxx31+3x+3x2+2x3=;limx+y=limx+x31+3x+3x2+2x3=+

● Bảng biến thiên:

Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x = – 2.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 1 trang 28 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1).

3. Khảo sát hàm số y =ax+bcx+d (c ≠ 0, ad-bc ≠ 0)

Giải Toán 12 trang 30 Tập 1

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=x+1x1;

b) y=2x3x1;

c) y=5+x2x.

Lời giải:

a) y=x+1x1

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 2x12. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có limxy=limxx+1x1=1;  limx+y=limx+x+1x1=1. Suy ra đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có limx1y=limx1x+1x1=;  limx1+y=limx1+x+1x1=+. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0), giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.

b) y=2x3x1

1. Tập xác định: D = ℝ\13.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 23x12. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 13 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1313;+.

● Tiệm cận:

Ta có limxy=limx2x3x1=23;  limx+y=limx+2x3x1=23. Suy ra đường thẳng y = 23 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có limx13y=limx132x3x1=;  limx13+y=limx13+2x3x1=+. Suy ra đường thẳng x = 13 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I13;23. Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 13 và y = 23.

c) y=5+x2x

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 72x2. Vì y' > 0 với mọi x ≠ 2 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 2) và (2; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có limxy=limx5+x2x=1;  limx+y=limx+5+x2x=1. Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có limx2y=limx25+x2x=+;  limx2+y=limx2+5+x2x=. Suy ra đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 5; 0), giao với trục Oy tại điểm 0;52.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 2 trang 30 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = – 1.

4. Khảo sát hàm số y =ax2+bx+cmx+n (a ≠ 0, m ≠ 0, đa thức từ không chia hết cho đa thức mẫu)

Giải Toán 12 trang 32 Tập 1

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=x1x;

b) y=x+21x+1;

c) y=x2x+2x+1.

Lời giải:

a) y=x1x

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 1+1x2. Vì y' > 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

limxy=limxx1x=;  limx+y=limx+x1x=+

Ta có limxyx=limxx1xx=limx1x=0

limx+yx=limx+x1xx=limx+1x=0

Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có limx0y=limx0x1x=+;  limx0+y=limx0+x1x=. Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ x1x=0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0) và điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O(0; 0). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 (trục Oy) và y = x.

b) y=x+21x+1

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 1+1x+12. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 2; – 1) và (– 1; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 2 và yCT = 5.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y­ = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

limxy=limxx+21x+1=+;  limx+y=limx+x+21x+1=

Ta có limxyx+2=limx1x+1=0

limx+yx+2=limx+1x+1=0

Suy ra đường thẳng y = – x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có limx1y=limx1x+21x+1=+;  limx1+y=limx1+x+21x+1=. Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ x+21x+1=0 ⇔ x = 152 hoặc x = 1+52.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm 152;0 và điểm 1+52;0.

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 3).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x + 2.

c) y=x2x+2x+1

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x22x3x+12. Vì y' < 0 với mọi x ≠ – 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

limxy=limxx2x+2x+1=+;  limx+y=limx+x2x+2x+1=

Ta có a=limx+x2x+2xx+1=1b=limx+x2x+2x+11x=limx+2x+1=0.

Suy ra đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có limx1y=limx1x2x+2x+1=;  limx1+y=limx1+x2x+2x+1=+. Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ x2x+2x+1=0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0) và điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 2).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 1).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x.

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Giải Toán 12 trang 35 Tập 1

Thực hành 4 trang 35 Toán 12 Tập 1: Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d' là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d' > 0, ảnh ảo thì d' < 0). Ta có công thức:

1f=1d+1d' hay d'=dfdf.

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187).

Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d'. Ta có hàm số y=3xx3 và x ≠ 3.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?

Thực hành 4 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Vì d > 0 nên với x = d thì x > 0.

Xét hàm số y=3xx3 với x > 0 và x ≠ 3.

1. Tập xác định: D = (0; 3) ∪ (3; + ∞).

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 9x32. Vì y' < 0 với mọi x > 0 và x ≠ 3 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 3) và (3; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có limx+y=limx+3xx3=3. Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có limx3y=limx33xx3=;  limx3+y=limx3+3xx3=+. Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 4 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; – 6) và điểm (6; 6).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 4 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

b)

● Để vật là ảnh thật thì d' > 0, tức là y > 0.

Quan sát đồ thị hàm số y=3xx3, ta thấy trên khoảng (3; + ∞), đồ thị hàm số nằm phía trên trục Ox nên y > 0 trên khoảng này. Vậy với x > 3, tức d > 3 hay khoảng cách từ vật đến thấy kính lớn hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh thật.

● Để vật là ảnh ảo thì d' < 0, tức là y < 0.

Quan sát đồ thị hàm số y=3xx3, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox nên y < 0 trên khoảng này. Vậy với x ∈ (0; 3), tức d ∈ (0; 3) hay khoảng cách từ vật đến thấu kính lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 thì ảnh của vật là ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm, tức vị trí A tiến gần đến vị trí F, thì khoảng cách AF dần tiến tới 0, hay d – f → 0, suy ra d → f, tức là x → 3.

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

Sx=500+4x+1000x.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm3).

Theo bài ra ta có V = 500 cm3, khi đó 2xy = 500, suy ra y = 250x.

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là

Sxq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm2).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

Stp = Sxq + 2Sđ = 4(x + y) + 2xy (cm2)

Lại có y = 250x nên Stp = 4x+250x+2x250x=4x+1000x+500.

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là Sx=500+4x+1000x.

c) Xét hàm số Sx=500+4x+1000x với x ∈ (0; + ∞).

Ta có S'(x) = 4 – 1000x2;

Trên khoảng (0; + ∞), S'(x) = 0 khi x = 510.

Ta có limx0+Sx=limx0+500+4x+1000x=+;

limx+Sx=limx+500+4x+1000x=+

Bảng biến thiên:

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

d) Để dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhỏ nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 500+200105 tại x = 510.

Với x = 510, ta có y = 250510=510.

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là 2 cm, 510cm, 510cm thì dùng ít vật liệu nhất.

Bài tập

Giải Toán 12 trang 36 Tập 1

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x3 + x – 2;

b) y = 2x3 + x212x – 3.

Lời giải:

a) y = x3 + x – 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x2 + 1; y' > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực:

limxy=limxx31+1x22x3=;  limx+y=limx+x31+1x22x3=+

● Bảng biến thiên:

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).

b) y = 2x3 + x212x – 3

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 6x2 + 2x – 12; y' = 0 ⇔ x = 12 hoặc x = 16.

Trên các khoảng ;1216;+, y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng 12;16, y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=12 và y = 114.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 16 và yCT = 329108.

● Các giới hạn tại vô cực:

limxy=limxx32+1x12x23x3=;  limx+y=limx+x32+1x12x23x3=+

● Bảng biến thiên:

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 3 nên (0; – 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ 2x3 + x212x – 3 = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm 12;114 là cực đại và điểm 16;329108 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I16;313108.

Bài 2 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2.

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có y' = 3x2 – 6x; y" = 6x – 6;

y" = 0 ⇔ x = 1.

Với x = 1, ta có y(1) = 0.

Vậy I(1; 0).

b) Ta có y' = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên:

Bài 2 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Do đó, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là yCT = – 2.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 2) và (2; – 2).

Ta thấy 0+22=12+22=0. Vậy điểm I(1; 0) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3 + 1x;

b) y=x31x.

Lời giải:

a) y = 3 + 1x

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 1x2. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có limxy=limx3+1x=3;  limx+y=limx+3+1x=3. Suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có limx0y=limx03+1x=;  limx0+y=limx0+3+1x=+. Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ 3 + 1x = 0 x=13 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 13;0.

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Ngoài ra, đồ thị hàm số đi qua các điểm (– 1; 2) và (1; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(0; 3). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3.

b) y=x31x

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 21x2. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có limxy=limxx31x=1;  limx+y=limx+x31x=1. Suy ra đường thẳng y = – 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có limx1y=limx1x31x=;  limx1+y=limx1+x31x=+. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có x = 0 thì y = – 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; – 3).

Ta có y = 0 ⇔ x31x=0 ⇔ x = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (3; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 3 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; – 1). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = – 1.

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y=x22x+2x1;

b) y=2x112x.

Lời giải:

a) y=x22x+2x1

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x22xx12. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = – 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

limxy=limxx22x+2x1=;  limx+y=limx+x22x+2x1=+

Ta có a=limx+x22x+2xx1=1b=limx+x22x+2x1x=limx+x+2x1=1.

Suy ra đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có limx1y=limx1x22x+2x1=;  limx1+y=limx1+x22x+2x1=+. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 2).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x – 1.

b) y=2x112x

1. Tập xác định: D = ℝ\12.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 2212x2. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng 0;1212;1, y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = – 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

limxy=limx2x112x=;  limx+y=limx+2x112x=+

Ta có limx+y2x=limx+112x=0;limxy2x=limx112x=0. Suy ra đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có limx12y=limx122x112x=;  limx12+y=limx12+2x112x=+. Suy ra đường thẳng x = 12 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I12;  1.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 12 và y = 2x.

Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y=x2+3x+1x+2.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Lời giải:

a) Xét hàm số y=x2+3x+1x+2.

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 2}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x24x+5x+22. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 5 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; – 5) và (1; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 5; – 2) và (– 2; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 5 và yCT = 13.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và y = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

limxy=limxx2+3x+1x+2=+;  limx+y=limx+=x2+3x+1x+2=

Ta có a=limx+x2+3x+1xx+2=1b=limx+x2+3x+1x+21x=limx+5x+1x+2=5.

Suy ra đường thẳng y = – x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có limx2y=limx2x2+3x+1x+2=+;  limx2+y=limx2+x2+3x+1x+2=.

Suy ra đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm 0;12.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm và đi qua các điểm (– 5; 13), (1; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 2; 7).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 2 và y = – x + 5.

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 5; 13) và (1; 1).

Ta có 5+12=213+12=7. Vậy tọa độ trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (– 2; 7), đây chính là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số.

Bài 5 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Vậy trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Bài 6 trang 36 Toán 12 Tập 1: Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bài 6 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Sau khi cắt bốn góc tấm bìa và dựng thành chiếc hộp không nắp, khi đó chiếc hộp dựng thành có dạng hình hộp chữ nhật với các kích thước là x, 6 – 2x và 6 – 2x (dm).

Rõ ràng x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Thể tích của chiếc hộp là V(x) = x(6 – 2x)2 (dm3) (0 < x < 3).

b) Xét hàm số V(x) = x(6 – 2x)2 với x ∈ (0; 3).

1. Tập xác định: D = (0; 3).

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm V'(x) = (6 – 2x)2 + x ∙ 2(6 – 2x) ∙ (– 2) = (6 – 2x)(6 – 6x).

Trên khoảng (0; 3), ta có V'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Trên khoảng (0; 1), V'(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (1; 3), V'(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực đại tại x = 1, y = 16.

● Bảng biến thiên:

Bài 6 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi qua các điểm (1; 16) và (2; 8).

Đồ thị hàm số V(x) trên khoảng (0; 3) được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 6 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Từ đó, ta thấy để tìm được độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất, ta cần tìm x0 ∈ (0; 3) sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy trong khoảng (0; 3) hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất là max0;3Vx=16.

Vậy độ dài cạnh của hình vuông cần cắt bỏ là 1 dm thì chiếc hộp có thể tích lớn nhất.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài tập cuối chương 1 trang 37

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1 746 10/06/2024


Xem thêm các chương trình khác: