Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x^3 + x – 2; b) y = 2x^3 + x^2 – 1/2x – 3

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 1 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x³ + x – 2;

b) y = 2x³ + x² – $\frac{1}{2}x$ – 3.

Lời giải:

a) y = x³ + x – 2

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 3x² + 1; y' > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)=+\infty$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 2 nên (0; – 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ x³ + x – 2 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(0; – 2).

b) y = 2x³ + x² – $\frac{1}{2}x$ – 3

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = 6x² + 2x – $\frac{1}{2}$; y' = 0 ⇔ x = $-\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{1}{6}$.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{6};+\infty \right)$, y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-\frac{1}{2}$ và y_CĐ = $-\frac{11}{4}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{6}$ và y_CT = $-\frac{329}{108}$.

● Các giới hạn tại vô cực:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{3}{x^3}\right)=-\infty ; \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\frac{3}{x^3}\right)=+\infty \end{gathered}$$

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = – 3 nên (0; – 3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ 2x³ + x² – $\frac{1}{2}x$ – 3 = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm $\left(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4}\right)$ là cực đại và điểm $\left(\frac{1}{6};-\frac{329}{108}\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(-\frac{1}{6};-\frac{313}{108}\right)$.