Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm^3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

$S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm³).

Theo bài ra ta có V = 500 cm³, khi đó 2xy = 500, suy ra y = $\frac{250}{x}$.

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là

S_xq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm²).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S_tp = S_xq + 2S_đ = 4(x + y) + 2xy (cm²)

Lại có y = $\frac{250}{x}$ nên S_tp = $4\left(x+\frac{250}{x}\right)+2x\cdot \frac{250}{x}=4x+\frac{1000}{x}+500$.

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$.

c) Xét hàm số $S\left(x\right)=500+4x+\frac{1000}{x}$ với x ∈ (0; + ∞).

Ta có S'(x) = 4 – $\frac{1000}{x^2}$;

Trên khoảng (0; + ∞), S'(x) = 0 khi x = $5\sqrt{10}$.

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=+\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }S\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=+\infty$

Bảng biến thiên:

d) Để dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhỏ nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $500+\frac{200\sqrt{10}}{5}$ tại x = $5\sqrt{10}$.

Với x = $5\sqrt{10}$, ta có y = $\frac{250}{5\sqrt{10}}=5\sqrt{10}$.

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là 2 cm, $5\sqrt{10}$cm, $5\sqrt{10}$cm thì dùng ít vật liệu nhất.