Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 6 trang 80

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 6 trang 80

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 80 Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B có P(A) = 0,8; P(B) = 0,5 và P(AB) = 0,2.

a) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là

A. 0,4.

B. 0,5.

C. 0,25.

D. 0,625.

b) Xác suất biến cố B không xảy ra với điều kiện biến cố A xảy ra là

A. 0,6.

B. 0,5.

C. 0,75.

D. 0,25.

c) Giá trị của biểu thức $\frac{P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}-\frac{P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$ là

A. −0,5.

B. 0.

C. 0,5.

D. 1.

Lời giải:

a)

Đáp án đúng là: A

Ta có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,4}$.

b)

Đáp án đúng là: C

Ta cần tính $P\left(\overline{B}|A\right)=\frac{P\left(\overline{B}A\right)}{P\left(A\right)}$

Vì $A=AB\cup A\overline{B}$ nên $P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,6}$.

Do đó $P\left(\overline{B}|A\right)=\frac{P\left(\overline{B}A\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,8}}=\mathrm{0,75}$.

c)

Đáp án đúng là: B

Vì $P\left(B|A\right)=1-P\left(\overline{B}|A\right)=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$.

Do đó $\frac{P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}-\frac{P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,8}}-\frac{\mathrm{0,25}}{\mathrm{0,5}}=0$.

Bài 2 trang 80 Toán 12 Tập 2: Một nhà máy thực hiện khảo sát toàn bộ công nhân về sự hài lòng của họ về điều kiện làm việc tại phân xưởng. Kết quả khảo sát như sau:

Gặp ngẫu nhiên một công nhân của nhà máy. Gọi A là biến cố “Công nhân đó làm việc tại phân xưởng I” và B là biến cố “Công nhân đó hài lòng với điều kiện làm việc tại phân xưởng”.

a) Xác suất của biến cố A là

A. $\frac{37}{140}$.

B. $\frac{37}{50}$.

C. $\frac{5}{14}$.

D. $\frac{1}{2}$.

b) Xác suất của biến cố A với điều kiện B là

A. 0,37.

B. 0,5.

C. $\frac{37}{50}$.

D. $\frac{5}{14}$.

c) Xác suất của biến cố B với điều kiện A không xảy ra là

A. $\frac{2}{7}$.

B. 0,9.

C. 0,7.

D. $\frac{9}{20}$.

Lời giải:

a)

Đáp án đúng là: C

Tổng số công nhân ở phân xưởng I là 37 + 13 = 50.

Tổng số công nhân ở phân xưởng II là 63 + 27 = 90.

Tổng số công nhân ở cả hai phân xưởng là 50 + 90 = 140.

Suy ra $P\left(A\right)=\frac{50}{140}=\frac{5}{14}$.

b)

Đáp án đúng là: A

Cần tính P(A|B)$=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$.

Ta có $P\left(B\right)=\frac{37+63}{140}=\frac{5}{7}$; $P\left(AB\right)=\frac{37}{140}$.

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{37}{140}:\frac{5}{7}=\mathrm{0,37}$.

c)

Đáp án đúng là: C

Cần tính $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}$.

Vì $B=\overline{A}B\cup AB$ nên $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(B\right)-P\left(AB\right)=\frac{5}{7}-\frac{37}{140}=\frac{9}{20}$.

Vì $P\left(A\right)=\frac{5}{14}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=\frac{9}{14}$.

Do đó $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{9}{20}:\frac{9}{14}=\mathrm{0,7}$.

Bài 3 trang 80 Toán 12 Tập 2: Cho sơ đồ hình cây dưới đây

a) Xác suất của biến cố cả A và B đều không xảy ra là

A. 0,32.

B. 0,4.

C. 0,8.

D. 0,92.

b) Xác suất của biến cố B là

A. 0,42.

B. 0,62.

C. 0,28.

D. 0,48.

c) Xác suất điều kiện P(A|B) là

A. $\frac{7}{31}$.

B. 0,7.

C. $\frac{7}{50}$.

D. 0,48.

d) Giá trị của biểu thức $\frac{P\left(B\right)P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}$ là

A. 0,48.

B. 0,3.

C. 0,5.

D. 0,6.

Lời giải:

a)

Đáp án đúng là: A

Dựa vào sơ đồ cây, ta có $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=\mathrm{0,8.0,4}=\mathrm{0,32}$.

b)

Đáp án đúng là: B

Ta có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,2.0,7 + 0,8.0,6 = 0,62.

c)

Đáp án đúng là: A

Có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,2.0,7}}{\mathrm{0,62}}=\frac{7}{31}$.

d)

Đáp án đúng là: D

Vì $P\left(\overline{A}|B\right)=1-P\left(A|B\right)=1-\frac{7}{31}=\frac{24}{31}$

Do đó $\frac{P\left(B\right)P\left(\overline{A}|B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}$$=\frac{\mathrm{0,62.}\frac{24}{31}}{\mathrm{0,8}}=\mathrm{0,6}$.

Bài tập tự luận

Bài 4 trang 81 Toán 12 Tập 2: Một khu dân cư có 85% các hộ gia đình sử dụng điện để đun nước. Hơn nữa, có 21% các hộ gia đình sử dụng ấm điện siêu tốc. Chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất hộ đó sử dụng ấm điện siêu tốc, biết hộ đó sử dụng điện để đun nước.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Hộ gia đình đó sử dụng điện để đun nước” và B là biến cố “Hộ gia đình đó sử dụng ấm điện siêu tốc”.

Theo đề ta có P(A) = 0,85; P(B) = 0,21; P(A|B) = 1.

Cần tính P(B|A).

Ta có $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,85}}\approx \mathrm{0,247}$

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố ngẫu nhiên A và B. Biết rằng P(A|B) = 2P(B|A) và P(AB) ≠ 0. Tính tỉ số $\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}$

Lời giải:

Có P(A|B) = 2P(B|A) nên $\frac{P\left(A|B\right)}{P\left(B|A\right)}=2$ (1).

Mà $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$; $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$(2).

Từ (1) và (2), suy ta $\frac{P\left(A\right)}{P\left(B\right)}=2$.

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 2: Phòng công nghệ của một công ty có 4 kĩ sư và 6 kĩ thuật viên. Chọn ra ngẫu nhiên đồng thời 3 người từ phòng. Tính xác suất để cả 3 người được chọn đều là kĩ sư biết rằng trong 3 người được chọn có ít nhất 2 kĩ sư.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Cả 3 người được chọn đều là kĩ sư” và B là biến cố “3 người được chọn có ít nhất 2 kĩ sư”.

Cần tính P(A|B) $=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$.

Số cách chọn 3 người từ phòng 10 người là $C_{10}^3=120$ cách.

Số cách chọn 3 người trong có có ít nhất hai kĩ sư là $C_4^2.C_6^1+C_4^3=40$ cách.

Suy ra $P\left(B\right)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$.

Số cách chọn 3 người đều là kĩ sư là $C_4^3=4$ cách.

Do đó $P\left(AB\right)=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$.

Vậy $P\left(A|B\right)=\frac{1}{30}:\frac{1}{3}=\frac{1}{10}$.

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 2: Có hai cái hộp giống nhau, hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng bàn màu trắng và 3 quả bóng bàn màu vàng, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng. Các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Minh lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp thứ nhất. Nếu quả bóng đó là bóng vàng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp thứ hai; nếu quả bóng đó màu trắng thì Minh lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ hộp thứ hai.

a) Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất để có đúng 1 quả bóng màu vàng trong các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai.

b) Biết rằng các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng. Tính xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp thứ nhất có màu vàng.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Lấy được quả bóng vàng ở hộp thứ nhất ”; B là biến cố “Lấy được đúng 1 quả bóng màu vàng ở hộp thứ hai” và C là biến cố “Các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng”.

Ta có $P\left(A\right)=\frac{3}{8};P\left(\overline{A}\right)=\frac{5}{8}$; $P\left(B|A\right)=\frac{C_6^1.C_4^1}{C_{10}^2}=\frac{8}{15}$; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{C_6^1{C}_4^2}{C_{10}^3}=\frac{3}{10}$.

a) Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây, ta có $P\left(B\right)=\frac{1}{5}+\frac{3}{16}=\frac{31}{80}$.

b) Ta cần tính P(A|C).

Ta có $P\left(A|C\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(C|A\right)}{P\left(C\right)}$

Ta có $P\left(C|A\right)=\frac{C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{2}{15}$; $P\left(C|\overline{A}\right)=\frac{C_4^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{30}$

Mà $P\left(C\right)=P\left(A\right).P\left(C|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(C|\overline{A}\right)$$=\frac{3}{8}.\frac{2}{15}+\frac{5}{8}.\frac{1}{30}=\frac{17}{240}$.

Vậy $P\left(A|C\right)=\frac{3}{8}.\frac{2}{15}:\frac{17}{240}=\frac{12}{17}$.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 2: Hộp thứ nhất có 1 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ hai.

a) Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ.

b) Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ nhất” và B là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ 2”.

Ta có $P\left(A\right)=\frac{C_5^2}{C_6^2}=\frac{2}{3}$$P\left(B|A\right)=\frac{C_7^2}{C_{10}^2}=\frac{7}{15}$.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\frac{1}{3}$; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{C_6^2}{C_{10}^2}=\frac{1}{3}$.

a) Ta cần tính P(B).

Ta có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$$=\frac{2}{3}.\frac{7}{15}+\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{19}{45}$.

b) Cần tính P(A|B).

Có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$$=\frac{2}{3}.\frac{7}{15}:\frac{19}{45}=\frac{14}{19}$.

Bài 9 trang 81 Toán 12 Tập 2: Một doanh nghiệp có 45% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 7% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của doanh nghiệp.

a) Tính xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ.

b) Biết rằng nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.

Lời giải:

Gọi A là biến cố “Nhân viên được chọn là nữ” và B là biến cố “Nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ”.

Theo đề ta có P(A) = 0,45; P(B|A) = 0,07; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,05}$. Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,55}$

a) Ta cần tính P(B).

Ta có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,45.0,07 + 0,55.0,05 = 0,059.

b) Ta cần tính $P\left(\overline{A}|B\right)$.

Ta có $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\mathrm{0,55.0,05}}{\mathrm{0,059}}=\frac{55}{118}$