Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Với giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 2.

1 2,253 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Giải Toán 12 trang 14 Tập 1

Hoạt động khám phá 1 trang 14 Toán 12 Tập 1: Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $28^{\circ} C$ .

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $40^{\circ} C$ .

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là $34^{\circ} C$ .

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là $34^{\circ} C$

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày ( $34^{\circ} C$ ) là lúc 16 giờ

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là $20^{\circ} C$

Giải Toán 12 trang 16 Tập 1

Thực hành 1 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ trên đoạn [0;3]

b) $g (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

c) $h (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Lời giải:

a) Xét $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + 1$ trên đoạn [0;3]

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[0; 3]} f (x) = f (0) = 1$ và $max_{[0; 3]} f (x) = f (3) = 10$

b) Xét $g (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0;5)

$g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 3)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{(0; 5)} f (x) = f (1) = 2$ và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)

c) Xét $h (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Tập xác định: $D = [- \sqrt{2}; \sqrt{2}]$

$h^{'} (x) = \sqrt{2 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Tập xác định mới: $D_{1} = (- \sqrt{2}; \sqrt{2})$

$h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 4)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{D} f (x) = f (- 1) = - 1$ và $max_{D} f (x) = f (1) = 1$

Vận dụng trang 16 Toán 12 Tập 1: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t $\geq$ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

$y (t) = 5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Lời giải:

Xét $y (t) = 5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}$ trên nửa đoạn $[0; + \infty)$

$y^{'} (t) = \frac{135 t^{2} - 15}{{(9 t^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ x = - \frac{1}{3} (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 6)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[0; + \infty)} y (t) = y (\frac{1}{3}) = - \frac{5}{2}$ và $max_{[0; + \infty)} y (t) = y (0) = 5$

Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = $\frac{1}{3}$ giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Hoạt động khám phá 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ; $g (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} n e u x \leq 2 \\ - 4 x + 10 n e u x \geq 2 \end{cases}$ và $h (x) = 3 - \frac{1}{2} x^{2}$ trên đoạn [-1;3]

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Lời giải:

a) $h (x)$ đạt giá trị cực đại tại x = 0 và $\underset{[- 1; 3]}{max h (x)} = h (0) = 3$

b) $\underset{[- 1; 3]}{max f (x)} = f (3) = \frac{9}{2}$ và $\underset{[- 1; 3]}{max g (x)} = g (2) = 2$

Giải Toán 12 trang 18 Tập 1

Thực hành 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên đoạn [1;4]

Lời giải:

Xét $g (x) = x + \frac{4}{x^{2}}$ trên đoạn [1;4]

$g^{'} (x) = 1 - \frac{8}{x^{3}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 8)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[1; 4]} g (x) = g (2) = 3$ và $max_{[1; 4]} g (x) = g (1) = 5$

Thực hành 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là $\sqrt{5 - x^{2}}$

Diện tích tam giác vuông là: $f (x) = x \sqrt{5 - x^{2}}$

Tập xác định: $D = (0; \sqrt{5}]$

$f^{'} (x) = \sqrt{5 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{5 - x^{2}}}$

Tập xác định mới: $D_{1} = (0; \sqrt{5})$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{10}}{2} \\ x = - \frac{\sqrt{10}}{2} (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 9)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{D} f (x) = f (\frac{\sqrt{10}}{2}) = \frac{5}{2}$

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là $\frac{5}{2}$

Bài tập

Bài 1 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Lời giải:

a) Từ đồ thị, ta thấy $max_{[1; 6]} f (x) = f (1) = 6$ và $min_{[1; 6]} f (x) = f (5) = 1$

b) Từ đồ thị, ta thấy $max_{[- 3; 3]} g (x) = g (- 3) = g (- 1) = 1$ và $min_{[- 3; 3]} g (x) = g (1) = 7$

Bài 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3]
b) $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11]
c) $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7]
d) $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$

Lời giải:

a) Xét $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3]

$y^{'} = 3 x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 (l o a i) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 11)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[- 1; 3]} y = y (- 1) = 12$ và $min_{[- 1; 3]} y = y (2) = - 15$

b) Xét $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11]

$y^{'} = - 3 x^{2} + 48 x - 180 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 \\ x = 6 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 12)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[3; 11]} y = y (3) = 49$ và $min_{[3; 11]} y = y (6) = - 32$

c) Xét $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7]

$y^{'} = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} < 0 \forall x \in [3; 7]$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 13)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[3; 7]} y = y (3) = 7$ và $min_{[3; 7]} y = y (7) = 3$

d) Xét $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$

$y^{'} = 2 \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Ta có: $x \in [0; \frac{7 π}{12}] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{4}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 14)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{π}{4}) = 1$ và $min_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{7 π}{12}) = - \frac{1}{2}$

Bài 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = x^{3} - 3 x - 4$ trên nửa khoảng [-3;2)
b) $y = \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 1}$ trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Lời giải:

a) Xét $y = x^{3} - 3 x - 4$ trên nửa khoảng [-3;2)

$y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 15)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{[- 3; 2)} y = y (- 3) = - 22$

b) Xét $y = \frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{2} - 1}$ trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Tập xác định: $D = (- 1; + \infty) ∖ {1}$

$y^{'} = \frac{4 x^{2} - 6 x + 4}{{(x^{2} - 1)}^{2}} > 0 \forall x \in D$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 16)

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Bài 4 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Lời giải:

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sổ (m; a,b > 0)

Chu vi cửa sổ là: $2 (a + b) = 4 \Leftrightarrow b = 2 - a$

Diện tích cửa sổ là: $y = a b = a (2 - a) = - a^{2} + 2 a$

$y^{'} = - 2 a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = 1$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 18)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{(0; + \infty)} y = y (1) = 1$

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng $1 m^{2}$ thì chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng 1m

Bài 5 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}$

Lời giải:

Tập xác định: $D = [- 1; 1]$

$y^{'} = \frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Tập xác định mới: $D_{1} = (- 1; 1)$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 19)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{D} y = y (0) = 2$ và $min_{D} y = y (- 1) = y (1) = 1$

Bài 6 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khối lượng $q$ (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng/kg) theo công thức $p = 15 - \frac{1}{2} q$ . Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức $R = p q$ .

a) Viết công thức biểu diễn $R$ theo $p$ .

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Lời giải:

a) Ta có: $p = 15 - \frac{1}{2} q \Leftrightarrow q = 2 (15 - p)$

Thay vào $R = p q$ ta được: $R = p .2 (15 - p) = - 2 p^{2} + 30 p$

b) Đặt $y = - 2 p^{2} + 30 p$

Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

$y^{'} = - 4 p + 30 = 0 \Leftrightarrow p = 7, 5$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 20)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{D} y = y (7, 5) = 112, 5$

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng

Bài 7 trang 18 Toán 12 Tập 1: Hộp sữa $1 l$ được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi chiều cao của hộp là h (cm)

Thể tích của hộp là: $V = h . x^{2} = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{x^{2}}$

Diện tích toàn phần của hộp là: $y = S_{t p} = S_{x q} + S_{d a y} = 4 h x + 2 x^{2} = 4. \frac{1}{x^{2}} . x + 2 x^{2} = 2 x^{2} + \frac{4}{x}$

Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

$y^{'} = 4 x - \frac{4}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (ảnh 21)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $min_{D} y = y (1) = 6$

Vậy x = 1cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 $c m^{2}$

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Tính đơn diệu và cực trị của hàm số

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài tập cuối chương 1 trang 37

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

1 2,253 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3