Toán 12 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 1 trang 37

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 1 trang 37

Câu hỏi trắc nghiệm

Giải Toán 12 trang 37 Tập 1

Bài 1 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng

A. (5; + ∞).

B. (3; 5).

C. (0; 5).

D. (3; + ∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Quan sát Hình 1, ta thấy trên khoảng (5; + ∞), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Bài 2 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1.

Hàm số đạt cực đại tại

A. x = 0.

B. x = 3.

C. x = 4.

D. x = 5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát Hình 1, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng đó, suy ra y' > 0 với x ∈ (0; 3); trên khoảng (3; 5) đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó, suy ra y' < 0 với x ∈ (3; 5), vậy tại điểm x = 3, đạo hàm y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

Bài 3 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+1}{x-4}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 2.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 6.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y=\frac{x^2-4x+1}{x-4}$.

● Tập xác định: D = ℝ\{4}.

● Đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-4\right)\left(x-4\right)-x^2+4x-1}{{\left(x-4\right)}^2}=\frac{x^2-8x+15}{{\left(x-4\right)}^2}$.

Ta có y' = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 5.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.

Bài 4 trang 37 Toán 12 Tập 1: Đạo hàm của hàm số y = f(x) là hàm số có đồ thị được cho trong Hình 2. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng

A. (– 1; 3).

B. (– 3; 1).

C. (1; 5).

D. (3; + ∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Quan sát Hình 2, ta thấy trên khoảng (1; 5), đồ thị của hàm số f'(x) nằm phía dưới trục Ox, do đó f'(x) < 0 với mọi x ∈ (1; 5), vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1; 5).

Bài 5 trang 37 Toán 12 Tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x^2+2x+3}$ trên đoạn [– 2; 3] là

A. $\sqrt{3}$.

B. $\sqrt{30}$.

C. $\sqrt{2}$.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $y=\sqrt{x^2+2x+3}$.

Tập xác định: D = ℝ.

Đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}$. Trên khoảng (– 2; 3), y' = 0 khi x = – 1.

Ta có y(– 2) = $\sqrt{3}$, y(– 1) = $\sqrt{2}$, y(3) = $3\sqrt{2}$.

Vậy $\underset{\left[-2;3\right]}{\min }y=\sqrt{2}$ tại x = – 1.

Bài 6 trang 37 Toán 12 Tập 1: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^3+3x^2-3}{x^2-1}$ là đường thẳng có phương trình

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $y=\frac{2x^3+3x^2-3}{x^2-1}$.

Tập xác định: D = ℝ\{– 1; 1}.

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3+3x^2-3}{x\left(x^2-1\right)}=2$; $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2x^3+3x^2-3}{x^2-1}-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+2x-3}{x^2-1}=3$.

Vậy đường thẳng y = 2x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^3+3x^2-3}{x^2-1}$.

Bài 7 trang 37 Toán 12 Tập 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{-2x+3}{5x+1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y=-\frac{1}{5}$.

B. $x=-\frac{1}{5}$.

C. $y=-\frac{2}{5}$.

D. $x=-\frac{2}{5}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y=\frac{-2x+3}{5x+1}$.

Tập xác định D = $ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{5}\right\}$.

Ta có $\underset{x\to -{\frac{1}{5}}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{1}{5}}^{-}}{\lim }\frac{-2x+3}{5x+1}=-\infty ;\underset{x\to -{\frac{1}{5}}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -{\frac{1}{5}}^{+}}{\lim }\frac{-2x+3}{5x+1}=+\infty$.

Vậy đường thẳng $x=-\frac{1}{5}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{-2x+3}{5x+1}$

Giải Toán 12 trang 38 Tập 1

Bài 8 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{-2x-3}{4-x}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (– ∞; – 4) và nghịch biến trên (– 4; + ∞).

B. Hàm số đồng biến trên (– ∞; 4) và (4; + ∞).

C. Hàm số nghịch biến trên (– ∞; 4) và (4; + ∞).

D. Hàm số nghịch biến trên (– ∞; – 4) và (– 4; + ∞).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $y=\frac{-2x-3}{4-x}$.

Tập xác định: D = ℝ\{4}.

Đạo hàm $y^{\text{'}}=\frac{-5}{{\left(4-x\right)}^2}$. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 4 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 4) và (4; + ∞).

Bài tập tự luận

Bài 9 trang 38 Toán 12 Tập 1: Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng các bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Ta có a + b = 10, suy ra b = 10 – a.

Vì a, b ≥ 0 nên 10 – a ≥ 0, suy ra a ≤ 10.

a) Ta có ab = a(10 – a) = – a² + 10a.

Xét hàm số H(a) = – a² + 10a với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm H'(a) = – 2a + 10. Trên khoảng (0; 10), H'(a) = 0 khi a = 5.

H(0) = 0; H(5) = 25; H(10) = 0.

Do đó, $\underset{\left[0;10\right]}{\max }H\left(a\right)=25$ tại a = 5.

Với a = 5 thì b = 10 – 5 = 5.

Vậy biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi a = b = 5.

b) Ta có a² + b² = a² + (10 – a)² = 2a² – 20a + 100.

Xét hàm số S(a) = 2a² – 20a + 100 với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm S'(a) = 4a – 20. Trên khoảng (0; 10), S'(a) = 0 khi a = 5.

S(0) = 100; S(5) = 50; S(10) = 100.

Do đó, $\underset{\left[0;10\right]}{\min }S\left(a\right)=50$ tại a = 5.

Vậy tổng các bình phương của hai số a và b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 50 khi a = b = 5.

c) Ta có ab² = a(10 – a)² = a³ – 20a² + 100a.

Xét hàm số T(a) = a³ – 20a² + 100a với với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm T'(a) = 3a² – 40a + 100. Trên khoảng (0; 10), S'(a) = 0 khi a = $\frac{10}{3}$.

T(0) = 0; $T\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{4000}{27}$; T(10) = 0.

Do đó, $\underset{\left[0;10\right]}{\max }T\left(a\right)=\frac{4000}{27}$ tại a = $\frac{10}{3}$.

Với a = $\frac{10}{3}$ thì $b=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}$.

Vậy biểu thức ab² đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{4000}{3}$ tại $a=\frac{10}{3},b=\frac{20}{3}$.

Bài 10 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số.

Lời giải:

Giả sử hàm số bậc ba cần tìm có dạng y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

Quan sát Hình 3, ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 5), (1; 1) và (3; 5).

Với x = 0 thì y = 5, thay vào hàm số ta suy ra d = 5.

Khi đó hàm số trở thành y = f(x) = ax³ + bx² + cx + 5.

Với x = 1 thì y = 1, thay vào hàm số ta được a + b + c + 5 = 1 (1).

Ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (1; 1) và (3; 5), tức là phương trình y' = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.

Ta có y' = 3ax² + 2bx + c.

Với x = 1 thì y' = 0 nên ta có 3a + 2b + c = 0 (2).

Với x = 3 thì y' = 0 nên ta có 27a + 6b + c = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a = – 1; b = 6; c = – 9.

Vậy hàm số cần tìm là y = f(x) = – x³ + 6x² – 9x + 5.

Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$.

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x² – 2x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = $\frac{8}{3}$.

● Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3}\right)=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^3}\right)=+\infty$

Ÿ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4$ = 0, phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm (0; 4) là cực đại và điểm $\left(2;\frac{8}{3}\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I$\left(1;\frac{10}{3}\right)$.

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 4) và $\left(2;\frac{8}{3}\right)$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

$d=\sqrt{{\left(2-0\right)}^2+{\left(\frac{8}{3}-4\right)}^2}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$.

Bài 12 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$. Vì y' < 0 với mọi x ≠ 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 1) và (1; + ∞).

● Tiệm cận:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=2;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=2$. Suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Với x = 0 thì y = – 1 nên đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Với y = 0 thì x = $-\frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 2). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 2.

b) Ta có A(0; – 1), I(1; 2).

Vì B đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AB.

Khi đó, tọa độ của điểm B là $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2x_I-x_A=2\cdot 1-0=2\\ y_B=2y_I-y_A=2\cdot 2-\left(-1\right)=5\end{array}\right.$. Suy ra B(2; 5).

Ta có $\frac{2\cdot 2+1}{2-1}=5$, do đó điểm B(2; 5) thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và y­_CĐ = 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x\left(x-1\right)}=1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+4x-1}{x-1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x-1}{x-1}=5$.

Suy ra đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x^2+4x-1}{x-1}=0$ ⇔ x = $-2+\sqrt{5}$ hoặc x = $-2-\sqrt{5}$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left(-2-\sqrt{5};0\right)$ và điểm $\left(-2+\sqrt{5};0\right)$.

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5.

b) Xét hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$ với x ∈ [2; 4].

Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3.

Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = $\frac{31}{3}$.

Vậy $\underset{\left[2;4\right]}{\max }y=11$ tại x = 2 và $\underset{\left[2;4\right]}{\min }y=10$ tại x = 3.

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: $r=\frac{5\left(12-h\right)}{12}$.

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: $V\left(h\right)=\frac{25\pi h{\left(12-h\right)}^2}{144}$.

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Lời giải:

a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ dưới đây:

Ta có A'O' // AO nên $\frac{S{O}^{\text{'}}}{SO}=\frac{S{A}^{\text{'}}}{SA}$.

Lại có A'C // SO nên $\frac{S{A}^{\text{'}}}{SA}=\frac{OC}{OA}$.

Từ đó suy ra $\frac{S{O}^{\text{'}}}{SO}=\frac{OC}{OA}$.

Mà SO = 12 cm, OA = 5 cm, OC = r, SO' = SO – OO' = 12 – h.

Do đó, $\frac{12-h}{12}=\frac{r}{5}$. Suy ra $r=\frac{5\left(12-h\right)}{12}$.

b) Thể tích của khối trụ là V = πr²h = $\pi \cdot {\left[\frac{5\left(12-h\right)}{12}\right]}^2\cdot h=\frac{25\pi h{\left(12-h\right)}^2}{144}$(cm³).

Vậy thể tích khối trụ theo h là $V\left(h\right)=\frac{25\pi h{\left(12-h\right)}^2}{144}$.

c) Rõ ràng h phải thỏa mãn điều kiện 0 < h < 12.

Xét hàm số $V\left(h\right)=\frac{25\pi h{\left(12-h\right)}^2}{144}$ với h ∈ (0; 12).

Ta có $V^{\text{'}}\left(h\right)=\frac{25\pi \left(12-h\right)\left(12-3h\right)}{144}$.

Trên khoảng (0; 12), ta có V'(h) = 0 khi h = 4.

Bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng (0; 12), hàm số V(h) đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{400\pi }{9}$ tại h = 4.

Vậy h = 4 cm thì khối trụ có thể tích lớn nhất.

Giải Toán 12 trang 39 Tập 1

Bài 15 trang 39 Toán 12 Tập 1: Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức:

$\overline{C}\left(x\right)=2x-230+\frac{7200}{x}$

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\overline{C}\left(x\right)$ trên [30; 120].

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Lời giải:

a) Xét hàm số $\overline{C}\left(x\right)=2x-230+\frac{7200}{x}$ với x ∈ [30; 120].

1. Tập xác định: D = [30; 120].

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm ${\overline{C}}^{\text{'}}\left(x\right)=2-\frac{7200}{x^2}$. Trên khoảng (30; 120), ta có ${\overline{C}}^{\text{'}}\left(x\right)$ = 0 ⇔ x = 60.

Trên khoảng (30; 60),${\overline{C}}^{\text{'}}\left(x\right)$ < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (60; 120),${\overline{C}}^{\text{'}}\left(x\right)$ > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 60 và ${\overline{C}}_{CT}$ = 10.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (60; 10).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (30; 70), (40; 30), (80; 20), (90; 30) và (120; 70).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

b) Từ câu a), ta thấy trên đoạn [30; 120], giá trị nhỏ nhất của hàm số $\overline{C}\left(x\right)$ bằng 10 tại x = 60.

Vậy số phần ăn là 60 thì chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Bài 16 trang 39 Toán 12 Tập 1: Điện trở R(Ω) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất ρ (Ωm), chiều dài ℓ (m) và tiết diện S (m2) được cho bởi công thức

(Vật lí 11 — Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 104)

Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở R theo tiết diện S (ở nhiệt độ 20 °C) của một sợi dây điện dài 10 m làm từ kim loại có điện trở suất ρ và thu được đồ thị hàm số như Hình 6.

a) Có nhận xét gì về sự biến thiên của điện trở R theo tiết điện S?

b) Từ đồ thị, hãy giải thích ý nghĩa của toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng R = 0,001.

c) Tính điện trở suất ρ của dây điện. Từ đó, hãy cho biết dây điện được làm bằng kim loại nào trong số các kim loại được cho ở bảng sau:

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 6, ta thấy:

- Trên đoạn (0; + ∞), đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số R(S) nghịch biến trên khoảng đó.

- Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }R\left(S\right)=0$ nên đường thẳng y = 0 hay trục Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }R\left(S\right)=+\infty$ nên đường thẳng x = 0 hay trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tiết diện S càng tăng thì điện trở R càng giảm dần về 0.

b) Từ đồ thị Hình 6, ta thấy đồ thị hàm số R(S) cắt đường thẳng R = 0,001 tại điểm (0,000169; 0,01), tức là khi tiết diện S = 0,000169 m² thì điện trở R = 0,001 Ω.

c) Với S = 0,000169 thì R = 0,001 và theo bài ra ta có ℓ = 10.

Do đó, $\mathrm{0,001}=\rho \cdot \frac{10}{\mathrm{0,000169}}$. Suy ra $\rho =\mathrm{1,69}\cdot {10}^{-8}$.

Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2 trang 65