Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm

Lời giải Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 4,205 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 1 trang 37

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: $r = \frac{5 (12 - h)}{12}$ .

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: $V (h) = \frac{25 π h {(12 - h)}^{2}}{144}$ .

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Lời giải:

a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ dưới đây:

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Ta có A'O' // AO nên $\frac{S O^{'}}{S O} = \frac{S A^{'}}{S A}$ .

Lại có A'C // SO nên $\frac{S A^{'}}{S A} = \frac{O C}{O A}$ .

Từ đó suy ra $\frac{S O^{'}}{S O} = \frac{O C}{O A}$ .

Mà SO = 12 cm, OA = 5 cm, OC = r, SO' = SO – OO' = 12 – h.

Do đó, $\frac{12 - h}{12} = \frac{r}{5}$ . Suy ra $r = \frac{5 (12 - h)}{12}$ .

b) Thể tích của khối trụ là V = πr²h = $π \cdot {[\frac{5 (12 - h)}{12}]}^{2} \cdot h = \frac{25 π h {(12 - h)}^{2}}{144}$ (cm³).

Vậy thể tích khối trụ theo h là $V (h) = \frac{25 π h {(12 - h)}^{2}}{144}$ .

c) Rõ ràng h phải thỏa mãn điều kiện 0 < h < 12.

Xét hàm số $V (h) = \frac{25 π h {(12 - h)}^{2}}{144}$ với h ∈ (0; 12).

Ta có $V^{'} (h) = \frac{25 π (12 - h) (12 - 3 h)}{144}$ .

Trên khoảng (0; 12), ta có V'(h) = 0 khi h = 4.

Bảng biến thiên:

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng (0; 12), hàm số V(h) đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{400 π}{9}$ tại h = 4.

Vậy h = 4 cm thì khối trụ có thể tích lớn nhất.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng...

Bài 2 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số đạt cực đại tại A. x = 0. B. x = 3...

Bài 3 trang 37 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x - 4}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 2...

Bài 4 trang 37 Toán 12 Tập 1: Đạo hàm của hàm số y = f(x) là hàm số có đồ thị được cho trong Hình 2. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng A. (– 1; 3)...

Bài 5 trang 37 Toán 12 Tập 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}$ trên đoạn [– 2; 3] là A. $\sqrt{3}$ . B. $\sqrt{30}$ . C. $\sqrt{2}$ . D. 0.

Bài 6 trang 37 Toán 12 Tập 1: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ là đường thẳng có phương trình

Bài 7 trang 37 Toán 12 Tập 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{- 2 x + 3}{5 x + 1}$ là đường thẳng có phương trình...

Bài 8 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{- 2 x - 3}{4 - x}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?...

Bài 9 trang 38 Toán 12 Tập 1: Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất...

Bài 10 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số...

Bài 11 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4$ . a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 12 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 1}{x - 1}$ . a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số...

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a)...

Bài 15 trang 39 Toán 12 Tập 1: Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn...

Bài 16 trang 39 Toán 12 Tập 1: Điện trở R(Ω) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất ρ (Ωm), chiều dài ℓ (m) và tiết diện S (m2) được cho bởi công thức...

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2 trang 65

1 4,205 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: