Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm

Lời giải Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 4,528 10/06/2024


Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 1 trang 37

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1: Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b.

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: r=512h12.

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: Vh=25πh12h2144.

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Lời giải:

a) Ta đặt tên các điểm như hình vẽ dưới đây:

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Ta có A'O' // AO nên SO'SO=SA'SA.

Lại có A'C // SO nên SA'SA=OCOA.

Từ đó suy ra SO'SO=OCOA.

Mà SO = 12 cm, OA = 5 cm, OC = r, SO' = SO – OO' = 12 – h.

Do đó, 12h12=r5. Suy ra r=512h12.

b) Thể tích của khối trụ là V = πr2h = π512h122h=25πh12h2144(cm3).

Vậy thể tích khối trụ theo h là Vh=25πh12h2144.

c) Rõ ràng h phải thỏa mãn điều kiện 0 < h < 12.

Xét hàm số Vh=25πh12h2144 với h ∈ (0; 12).

Ta có V'h=25π12h123h144.

Trên khoảng (0; 12), ta có V'(h) = 0 khi h = 4.

Bảng biến thiên:

Bài 14 trang 38 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng (0; 12), hàm số V(h) đạt giá trị lớn nhất bằng 400π9 tại h = 4.

Vậy h = 4 cm thì khối trụ có thể tích lớn nhất.

1 4,528 10/06/2024


Xem thêm các chương trình khác: