Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Toạ độ của vectơ trong không gian

Giải Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Hoạt động khởi động trang 52 Toán 12 Tập 1: Trong kiểm soát không lưu, người ta dùng bộ ba số để xác định vị trí của máy bay. Người ta đã làm điều đó như thế nào?

Lời giải:

Xây dựng hệ tọa độ trong không gian tương tự như trong mặt phẳng, sử dụng bộ ba số để xác định hoành độ, tung độ và cao độ.

1. Hệ tọa độ trong không gian

Hoạt động khám phá 1 trang 52 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương OABC.O'A'B'C' có cạnh bằng 1. Đặt $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$ .

a) Nêu nhận xét về phương và độ dài của ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i}\right),\left(O;\overrightarrow{j}\right),\left(O;\overrightarrow{k}\right)$ .

Lời giải:

a) Ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ có phương đôi một vuông góc với nhau và có cùng độ dài bằng 1.

b) Ba trục tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i}\right),\left(O;\overrightarrow{j}\right),\left(O;\overrightarrow{k}\right)$ có cùng gốc tọa độ là O và có vectơ đơn vị lần lượt là $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

Thực hành 1 trang 53 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 1 (Hình 4). Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Lời giải:

Trục Ox có vectơ đơn vị là $\overrightarrow{AB}$ .

Trục Oy có vectơ đơn vị là $\overrightarrow{AD}$ .

Trục Oz có vectơ đơn vị là $\overrightarrow{AS}$ .

Vận dụng 1 trang 53 Toán 12 Tập 1: Một thiết kế cơ khí trong Hình 5a được biểu diễn trong không gian Oxyz như Hình 5b.

a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (mỗi vectơ đơn vị có độ dài bằng 1 m).

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

Lời giải:

a)

b) $\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{i}$; $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$; $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$;

Có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\right)-\left(2\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}\right)=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k}$ .

2. Tọa độ của điểm và vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 53 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C' có cạnh OA = 3, OC = 5, OO' = 2. Vẽ ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt trên các cạnh OA, OC, OO'. Biểu diễn $\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng, OA = 3 nên $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}$ .

Tương tự, ta có: $\overrightarrow{OC}=5\overrightarrow{j};\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{k}$ .

Vì OABC.O'A'B'C' là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp, ta có:

$\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$.

Thực hành 2 trang 54 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A; các điểm B, D, A' lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Xác định tọa độ các điểm B, C, C'.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và OB = 5 nên $\overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{i}$ .

Tương tự, ta có $\overrightarrow{OD}=5\overrightarrow{j};\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=5\overrightarrow{k}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=5\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$ .

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=5\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$ .

Do đó B(5; 0; 0), C(5; 5; 0), C'(5; 5; 5).

Hoạt động khám phá 3 trang 54 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Vẽ điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Gọi $\left(a_1;a_2;a_3\right)$ là tọa độ của điểm A. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{a}$ theo ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

Lời giải:

Ta có $A\left(a_1;a_2;a_3\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{OA}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$ .

Mà $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$ .

Thực hành 3 trang 56 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11).

a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải:

a)

Ba vectơ đơn vị trên ba trục tọa độ lần lượt là $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ với độ dài của $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt bằng $\frac{1}{2}AB,\frac{1}{2}AD,\frac{1}{3}AS$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i};\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{j};\overrightarrow{AS}=3\overrightarrow{k}$ .

Do đó $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;0\right)$ , $\overrightarrow{AD}=\left(0;2;0\right)$ , $\overrightarrow{AS}=\left(0;0;3\right)$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ .

Vì M là trung điểm của SC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}\right)=\frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}\right)$ $=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\frac{3}{2}\overrightarrow{k}$ .

Do đó $\overrightarrow{AM}=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)$.

Vận dụng 2 trang 56 Toán 12 Tập 1: Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như Hình 12, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, $\widehat{NOB}=32°,\widehat{MOC}=65°$ . Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải:

Vì N $\in$ (Oxy) nên N(x; y; 0).

Xét $∆$NBO vuông tại B, ta có: $\tan 32°=\frac{NB}{OB}=\frac{x}{y}$và x² + y² = ON² (1).

Xét $∆$OMC có ON = MC = OM.sin65° = 14. sin65° ≈ 12,67 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}=\tan 32°\\ x^2+y^2=12,{67}^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\approx 0,62y\\ {\left(0,62y\right)}^2+y^2=12,{67}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\approx 6,68\\ y\approx 10,77\end{array}\right.$

Suy ra N(6,68; 10,77; 0). Do đó $\overrightarrow{ON}=6,68\overrightarrow{i}+10,77\overrightarrow{j}$

Xét $∆$OMC vuông tại C, ta có: $OC=OM.\cos 65°=14.\cos 65°\approx 5,92.$

Suy ra C(0; 0; 5,92). Do đó $\overrightarrow{OC}=5,92\overrightarrow{k}$.

Ta có $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OC}=6,68\overrightarrow{i}+10,77\overrightarrow{j}+5,92\overrightarrow{k}$.

Vậy M(6,68; 10,77; 5,92).

Bài tập

Bài 1 trang 56 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, biết

a) $\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$ . Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ .

b) $\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k},\overrightarrow{ON}=8\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ điểm M, N.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}=\left(5;7;-3\right),\overrightarrow{b}=\left(2;0;4\right)$.

b) $M=\left(4;-1;3\right),N\left(8;-5;0\right)$ .

Bài 2 trang 56 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, biết:

a) $\overrightarrow{a}=\left(-2;5;-7\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(4;0;1\right)$. Tính $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

b) $A\left(7;-2;1\right),B\left(0;5;0\right)$ . Tính $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

Lời giải:

a) $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$ .

b) $A\left(7;-2;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=7\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},B\left(0;5;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{OB}=5\overrightarrow{j}$.

Bài 3 trang 56 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B, BC = 3, BA = 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có độ dài bằng 2 (Hình 13).

a) Xác định một hệ tọa độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm A, B, C, S.

Lời giải:

a)

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$với độ dài của $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt bằng $\frac{1}{3}BC,\frac{1}{2}BA,\frac{1}{2}SA$.

b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).

Vì $\overrightarrow{j}$và $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng và BA = 2 nên $\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{j}$. Suy ra A(0; 2; 0).

Vì $\overrightarrow{i}$và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BC = 3 nên $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{i}$. Suy ra C(3; 0; 0).

Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.

Ta có BE = AS = 2.

Vì $\overrightarrow{k}$và $\overrightarrow{BE}$ cùng hướng và BE = 2 nên $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$. Suy ra S(0; 2; 2).

Bài 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm tọa độ của các điểm A, B, C, S.

Lời giải:

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OE},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{OH}$ với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì $∆$ABC đều và AO $\perp$ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và $OA=\sqrt{3}$.

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{i}$ ngược hướng và OB = 1 nên $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}$. Suy ra B(−1; 0; 0).

Vì $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và OC = 1 nên $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{i}$. Suy ra C(1; 0; 0).

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng và $OA=\sqrt{3}$ nên $\overrightarrow{OA}=\sqrt{3}\overrightarrow{j}$. Suy ra $A\left(0;\sqrt{3};0\right)$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OH}=\sqrt{3}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Suy ra $S\left(0;\sqrt{3};1\right)$.

Bài 5 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ và $OA=OS=4$ (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét $∆$OAB vuông tại O, có $OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{25-16}=3$.

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{i}$cùng hướng và OB = 3 nên $\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}$.

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{j}$cùng hướng và OA = 4 nên $\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{j}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$. Do đó $\overrightarrow{AB}=\left(3;4;0\right)$.

Có AC = 2OA = 8 mà $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{j}$cùng hướng nên $\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{j}$. Do đó $\overrightarrow{AC}=\left(0;8;0\right)$.

Có $\overrightarrow{OS}$ và $\overrightarrow{k}$cùng hướng và OS = 4 nên $\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{k}$.

Có $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OS}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}$. Do đó $\overrightarrow{SB}=\left(3;0;-4\right)$.

Lại có $\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}=\left(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\right)-\left(3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{k}\right)=4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Do đó $\overrightarrow{AS}=\left(0;4;4\right)$.

Vì M là trung điểm của SC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC}\right)$ $=\frac{1}{2}\left(4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}+8\overrightarrow{j}\right)=6\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$.

Do đó $\overrightarrow{AM}=\left(0;6;2\right)$.

Bài 6 trang 57 Toán 12 Tập 1: Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như Hình 16 với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1 m. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{k}$ cùng hướng và OA = 10 nên $\overrightarrow{OA}=10\overrightarrow{k}$.

Xét $∆$OBH vuông tại H, có BH = OB.sin30° = 7,5 m.

OH = OB.cos30° = $\frac{15\sqrt{3}}{2}$m.

Vì $\overrightarrow{OH}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng và $OH=\frac{15\sqrt{3}}{2}$nên $\overrightarrow{OH}=\frac{15\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}$.

Có BH = OK = 7,5.

Vì $\overrightarrow{OK}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và OK = 7,5 nên $\overrightarrow{OK}=7,5\overrightarrow{i}$.

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OA}=7,5\overrightarrow{i}+\frac{15\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{j}-10\overrightarrow{k}$

Vậy $\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$ .

Bài 7 trang 57 Toán 12 Tập 1: Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình 17. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OH}\right)=64°$, $\left(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OM}\right)=48°$. Tìm tọa độ của điểm M.

Lời giải:

Giả sử M(x; y; z).

H $\in$ (Oxy) $\Rightarrow$ H(x; y; 0).

Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.

Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.

Xét $∆$MHO vuông tại H, có OH = OM.cos48° = 50. cos48° ≈ 33,46.

MH = OM.sin48° = 50. sin48° ≈ 37,16.

Xét $∆$OAH vuông tại A, có BH = OA = OH.cos64° = 33,46. cos64° ≈ 14,67.

Xét $∆$OBH vuông tại B, có $OB=\sqrt{O{H}^2-B{H}^2}=\sqrt{33,{46}^2-14,{67}^2}\approx 30,07$ .

Vì $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{i}$ cùng hướng và OA = 14,67 nên $\overrightarrow{OA}=14,67\overrightarrow{i}$ .

Vì $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{j}$ cùng hướng và OB = 30,07 nên $\overrightarrow{OB}=30,07\overrightarrow{j}$ .

Vì $\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{k}$ cùng hướng và OC = 37,16 nên $\overrightarrow{OC}=37,16\overrightarrow{k}$ .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=14,67\overrightarrow{i}+30,07\overrightarrow{j}+27,16\overrightarrow{k}$

Vậy M(14,67; 30,07; 27,16).