Giải Toán 12 trang 57 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 12 trang 57 Tập 1 trong Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 57 Tập 1.

1 240 16/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 57 Tập 1

Bài 4 trang 57 Toán 12 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy và SA bằng 1 (Hình 14). Thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy vẽ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz và tìm tọa độ của các điểm A, B, C, S.

Lời giải:

Bài 4 trang 57 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $\vec{i} = \vec{O C}, \vec{j} = \vec{O E}, \vec{k} = \vec{O H}$ với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì $∆$ ABC đều và AO $⊥$ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và $O A = \sqrt{3}$ .

Vì $\vec{O B}$ và $\vec{i}$ ngược hướng và OB = 1 nên $\vec{O B} = - \vec{i}$ . Suy ra B(−1; 0; 0).

Vì $\vec{O C}$ và $\vec{i}$ cùng hướng và OC = 1 nên $\vec{O C} = \vec{i}$ . Suy ra C(1; 0; 0).

Vì $\vec{O A}$ và $\vec{j}$ cùng hướng và $O A = \sqrt{3}$ nên $\vec{O A} = \sqrt{3} \vec{j}$ . Suy ra $A (0; \sqrt{3}; 0)$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\vec{O S} = \vec{O A} + \vec{O H} = \sqrt{3} \vec{j} + \vec{k}$ . Suy ra $S (0; \sqrt{3}; 1)$ .

Bài 5 trang 57 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ $\vec{O B}, \vec{O C}, \vec{O S}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ và $O A = O S = 4$ (Hình 15). Tìm tọa độ các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A S}$ và $\vec{A M}$ với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét $∆$ OAB vuông tại O, có $O B = \sqrt{A B^{2} - O A^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3$ .

Vì $\vec{O B}$ và $\vec{i}$ cùng hướng và OB = 3 nên $\vec{O B} = 3 \vec{i}$ .

Vì $\vec{O A}$ và $\vec{j}$ cùng hướng và OA = 4 nên $\vec{O A} = - 4 \vec{j}$ .

Ta có $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j}$ . Do đó $\vec{A B} = (3; 4; 0)$ .

Có AC = 2OA = 8 mà $\vec{A C}$ và $\vec{j}$ cùng hướng nên $\vec{A C} = 8 \vec{j}$ . Do đó $\vec{A C} = (0; 8; 0)$ .

Có $\vec{O S}$ và $\vec{k}$ cùng hướng và OS = 4 nên $\vec{O S} = 4 \vec{k}$ .

Có $\vec{S B} = \vec{O B} - \vec{O S} = 3 \vec{i} - 4 \vec{k}$ . Do đó $\vec{S B} = (3; 0; - 4)$ .

Lại có $\vec{A S} = \vec{A B} + \vec{B S} = (3 \vec{i} + 4 \vec{j}) - (3 \vec{i} - 4 \vec{k}) = 4 \vec{j} + 4 \vec{k}$ . Do đó $\vec{A S} = (0; 4; 4)$ .

Vì M là trung điểm của SC nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A C})$ $= \frac{1}{2} (4 \vec{j} + 4 \vec{k} + 8 \vec{j}) = 6 \vec{j} + 2 \vec{k}$ .