Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x^2-2x+2/x-1

Lời giải Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 684 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1};$

b) $y = 2 x - \frac{1}{1 - 2 x}$ .

Lời giải:

a) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$ . Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = – 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = + \infty$

Ta có $a = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x (x - 1)} = 1$ và $b = \lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} - x] = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x + 2}{x - 1} = - 1$ .

Suy ra đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = - \infty; \lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = + \infty$ . Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 2).

Đồ thị hàm số không cắt trục Ox.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Bài 4 trang 36 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x – 1.

b) $y = 2 x - \frac{1}{1 - 2 x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\ $\{\frac{1}{2}\}$ .

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $2 - \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{2}}$ . Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (1; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng $(0; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; 1)$ , y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = 3.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = – 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = + \infty$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (y - 2 x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{1 - 2 x} = 0; \lim_{x \to - \infty} (y - 2 x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{1 - 2 x} = 0$ . Suy ra đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} y = \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = - \infty; \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} y = \lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = + \infty$ . Suy ra đường thẳng x = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.