Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x - 1/x; b) y = - x + 2 - 1 /x+1

Lời giải Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 1,463 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = x - \frac{1}{x}$ ;

b) $y = - x + 2 - \frac{1}{x + 1}$ ;

c) $y = \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1}$ .

Lời giải:

a) $y = x - \frac{1}{x}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{0}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $1 + \frac{1}{x^{2}}$ . Vì y' > 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞; 0) và (0; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} (x - \frac{1}{x}) = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (x - \frac{1}{x}) = + \infty$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} (y - x) = \lim_{x \to - \infty} (x - \frac{1}{x} - x) = \lim_{x \to - \infty} (- \frac{1}{x}) = 0$

$\lim_{x \to + \infty} (y - x) = \lim_{x \to + \infty} (x - \frac{1}{x} - x) = \lim_{x \to + \infty} (- \frac{1}{x}) = 0$

Suy ra đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to 0^{-}} y = \lim_{x \to 0^{-}} (x - \frac{1}{x}) = + \infty; \lim_{x \to 0^{+}} y = \lim_{x \to 0^{+}} (x - \frac{1}{x}) = - \infty$ . Suy ra đường thẳng x = 0 (hay trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $x - \frac{1}{x} = 0$ ⇔ x² = 1 ⇔ x = – 1 hoặc x = 1.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 1; 0) và điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số không cắt trục Oy.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gốc tọa độ O(0; 0). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 (trục Oy) và y = x.

b) $y = - x + 2 - \frac{1}{x + 1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $- 1 + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 2 hoặc x = 0.

Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (0; + ∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 2; – 1) và (– 1; 0), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = – 2 và y_CT = 5.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = 1.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = + \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = - \infty$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} [y - (- x + 2)] = \lim_{x \to - \infty} (- \frac{1}{x + 1}) = 0$

$\lim_{x \to + \infty} [y - (- x + 2)] = \lim_{x \to + \infty} (- \frac{1}{x + 1}) = 0$

Suy ra đường thẳng y = – x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = + \infty; \lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} (- x + 2 - \frac{1}{x + 1}) = - \infty$ . Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $- x + 2 - \frac{1}{x + 1} = 0$ ⇔ x = $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ hoặc x = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0)$ và điểm $(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0)$ .

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Thực hành 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(– 1; 3).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = – 1 và y = – x + 2.

c) $y = \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{– 1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{- x^{2} - 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}}$ . Vì y' < 0 với mọi x ≠ – 1 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 1) và (– 1; + ∞).

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = + \infty; \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = - \infty$

Ta có $a = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{2} - x + 2}{x (x + 1)} = - 1$ và $b = \lim_{x \to + \infty} [\frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} - (- 1) x] = \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x + 1} = 0$ .

Suy ra đường thẳng y = – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\lim_{x \to - 1^{-}} y = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = - \infty; \lim_{x \to - 1^{+}} y = \lim_{x \to - 1^{+}} \frac{- x^{2} - x + 2}{x + 1} = + \infty$ . Suy ra đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.