Giải Toán 12 trang 24 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 12 trang 24 Tập 1 trong Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 24 Tập 1.

1 467 10/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 24 Tập 1

Thực hành 3 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 3 x}{x + 5}$ .

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ\{−5}.

Có $y = \frac{2 x^{2} - 3 x}{x + 5} = 2 x - 13 + \frac{65}{x + 5}$

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (2 x - 13)] = \lim_{x \to + \infty} [2 x - 13 + \frac{65}{x + 5} - (2 x - 13)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{65}{x + 5} = 0$

$\lim_{x \to - \infty} [y - (2 x - 13)] = \lim_{x \to - \infty} [2 x - 13 + \frac{65}{x + 5} - (2 x - 13)] = \lim_{x \to - \infty} \frac{65}{x + 5} = 0$

Do đó y = 2x – 13 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Thực hành 4 trang 24 Toán 12 Tập 1: Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C (x) = \frac{50 x + 2000}{x}$ . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = C(x).

Lời giải:

Có $\lim_{x \to 0^{+}} C (x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{50 x + 2000}{x} = + \infty; \lim_{x \to 0^{-}} C (x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{50 x + 2000}{x} = - \infty$

Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\lim_{x \to + \infty} C (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{50 + \frac{2000}{x}}{1} = 50; \lim_{x \to - \infty} C (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{50 + \frac{2000}{x}}{1} = 50.$

Vậy y = 50 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài tập

Bài 1 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{4 x - 5}{2 x - 3};$ b) $y = \frac{- 2 x + 7}{4 x - 3}$ ; c) $y = \frac{5 x}{3 x - 7}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{3}{2}\}$

Có $\lim_{x \to {(\frac{3}{2})}^{+}} y = \lim_{x \to {(\frac{3}{2})}^{+}} \frac{4 x - 5}{2 x - 3} = + \infty; \lim_{x \to {(\frac{3}{2})}^{-}} y = \lim_{x \to {(\frac{3}{2})}^{-}} \frac{4 x - 5}{2 x - 3} = - \infty .$

Vậy $x = \frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x - 5}{2 x - 3} = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 - \frac{5}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = 2;$ $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 5}{2 x - 3} = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{5}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = 2$

Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{3}{4}\}$ .

Có $\lim_{x \to {(\frac{3}{4})}^{+}} y = \lim_{x \to {(\frac{3}{4})}^{+}} \frac{- 2 x + 7}{4 x - 3} = + \infty; \lim_{x \to {(\frac{3}{4})}^{-}} y = \lim_{x \to {(\frac{3}{4})}^{-}} \frac{- 2 x + 7}{4 x - 3} = - \infty .$

Vậy $x = \frac{3}{4}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x + 7}{4 x - 3} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 + \frac{7}{x}}{4 - \frac{3}{x}} = - \frac{1}{2};$ $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x + 7}{4 x - 3} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 + \frac{7}{x}}{4 - \frac{3}{x}} = - \frac{1}{2} .$

Vậy $y = - \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{7}{3}\}$ .

Có $\lim_{x \to {(\frac{7}{3})}^{+}} y = \lim_{x \to {(\frac{7}{3})}^{+}} \frac{5 x}{3 x - 7} = + \infty; \lim_{x \to {(\frac{7}{3})}^{-}} y = \lim_{x \to {(\frac{7}{3})}^{-}} \frac{5 x}{3 x - 7} = - \infty .$

Vậy $x = \frac{7}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{5 x}{3 x - 7} = \lim_{x \to + \infty} \frac{5}{3 - \frac{7}{x}} = \frac{5}{3}; \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{5 x}{3 x - 7} = \lim_{x \to - \infty} \frac{5}{3 - \frac{7}{x}} = \frac{5}{3} .$

Vậy $y = \frac{5}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4}$ ; b) $y = \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2}$ ; c) $y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5}$ .

Lời giải:

a) Tập xác định: $D = ℝ \ \{2\}$ .

Có $\lim_{x \to 2^{+}} y = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = + \infty; \lim_{x \to 2^{-}} y = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = - \infty .$

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = \frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4}$ .

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} [\frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4} - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{6}{2 x - 4} = 0.$

$\lim_{x \to - \infty} [y - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to - \infty} [\frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4} - (\frac{1}{2} x + 1)] = \lim_{x \to - \infty} \frac{6}{2 x - 4} = 0.$

Vậy $y = \frac{1}{2} x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

$\lim_{x \to {(- 2)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{+}} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = + \infty;$ $\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} y = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = - \infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = 2 x - 7 + \frac{8}{x + 2}$ .

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (2 x - 7)] = \lim_{x \to + \infty} [2 x - 7 + \frac{8}{x + 2} - (2 x - 7)] = \lim_{x \to + \infty} \frac{8}{x + 2} = 0$ ;

$\lim_{x \to - \infty} [y - (2 x - 7)] = \lim_{x \to - \infty} [2 x - 7 + \frac{8}{x + 2} - (2 x - 7)] = \lim_{x \to - \infty} \frac{8}{x + 2} = 0$

Vậy y = 2x – 7 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: $D = ℝ \ \{- \frac{5}{2}\}$ .

$\lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{+}} y = \lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{+}} \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = + \infty;$ $\lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{-}} y = \lim_{x \to {(- \frac{5}{2})}^{-}} \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = - \infty$

Vậy $x = - \frac{5}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = x + 2 + \frac{1}{2 x + 5}$ .

Có $\lim_{x \to + \infty} [y - (x + 2)] = \lim_{x \to + \infty} [x + 2 + \frac{1}{2 x + 5} - (x + 2)]$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{2 x + 5} = 0$ ;