Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: a) y = x^2+2/2x-4

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 2 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+2}{2x-4}$; b) $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}$; c) $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$.

Có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2+2}{2x-4}=+\infty ;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2+2}{2x-4}=-\infty .$

Vậy x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{x^2+2}{2x-4}=\frac{1}{2}x+1+\frac{6}{2x-4}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{1}{2}x+1+\frac{6}{2x-4}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6}{2x-4}=0.$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{1}{2}x+1+\frac{6}{2x-4}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6}{2x-4}=0.$

Vậy $y=\frac{1}{2}x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}$.

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=+\infty ;$ $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=-\infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=2x-7+\frac{8}{x+2}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-7+\frac{8}{x+2}-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8}{x+2}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-7+\frac{8}{x+2}-\left(2x-7\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{8}{x+2}=0$

Vậy y = 2x – 7 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{5}{2}\right\}$.

$\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=+\infty ;$ $\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-\frac{5}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=-\infty$

Vậy $x=-\frac{5}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=x+2+\frac{1}{2x+5}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x+2+\frac{1}{2x+5}-\left(x+2\right)\right]$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2x+5}=0$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[x+2+\frac{1}{2x+5}-\left(x+2\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{2x+5}=0$

Vậy y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.