Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc (AC,B'D'), (A'A,CB')

Lời giải Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 516 28/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc $(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}})$ , $(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}})$ .

Lời giải:

Thực hành 7 trang 49 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Vì AA' // CC' và AA' = CC' nên AA'C'C là hình bình hành.

Suy ra $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$ .

Do đó $(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}) = (\vec{A^{'} C^{'}}, \vec{B^{'} D^{'}}) = 90 °$ (Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $⊥$ B'D').

Vì AA'B'B là hình vuông nên $\vec{A^{'} A} = \vec{B^{'} B}$ .

Do đó $(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = (\vec{B^{'} B}, \vec{C B^{'}}) = 180 ° - \hat{B B^{'} C} = 180 ° - 45 ° = 135 °$

(Vì BB'C'C là hình vuông nên B'C là phân giác của $\hat{B B' C'}$ ).

*Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ

Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ Công thức, cách tính góc giữa hai vecto (cực hay, chi tiết) đều khác vectơ-không. Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ các vectơ . Khi đó số đo của góc AOB, được gọi là số đo góc giữa hai vectơ , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ .

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai vecto là gì?

- Định nghĩa: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ . Từ một điểm O bất kì, ta vẽ hai vectơ $\vec{O A} = \vec{a}$ và $\vec{O B} = \vec{b}$ . Khi đó, góc $\hat{A O B}$ với số đo từ $0^{o}$ đến $180^{o}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất - Toán lớp 10 (ảnh 1)

- Kí hiệu góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ : $(\vec{a}, \vec{b})$

- Chú ý: Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ .

+ Nếu $(\vec{a}, \vec{b})$ = $90^{o} \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ hoặc $\vec{b} ⊥ \vec{a}$ , $\vec{a} . \vec{b} = 0$

+ Nếu $(\vec{a}, \vec{b})$ = $0^{o} \Leftrightarrow$ Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

+ Nếu $(\vec{a}, \vec{b})$ = $180^{o} \Leftrightarrow$ Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.

2. Đặc điểm của góc giữa hai vecto

$(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$

- Góc giữa hai vecto cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0^o

- Góc gữa hai vecto ngược hướng và khác $\vec{0}$ luôn bằng 180^o

- Nếu $(\vec{u}, \vec{v})$ = 90^o thì ta nói $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ hoặc $\vec{v} ⊥ \vec{u}$ . Đặc biệt $\vec{0}$ được coi là vuông góc với mọi vecto.

3. Định lí góc giữa hai vecto

- Góc không xác định nếu tồn tại 1 vecto không hay có thể nói góc bằng 0

- Cả hai vecto đều khác 0, tiến hành đưa về chung gốc để có thể tính toán.

II. Công thức tính góc giữa hai vecto

- Cho hai vectơ $\vec{O A} = \vec{a}$ và $\vec{O B} = \vec{b}$ đều khác vectơ $\vec{0}$ ta có:

$(\vec{a}, \vec{b}) = \hat{A O B}$ ( $0^{o} \leq \hat{A O B} \leq 180^{o}$ )

- Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ đều khác vectơ $\vec{0}$ ta có:

$\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{\sqrt{a_{1} + a_{2}} . \sqrt{b_{1} + b_{2}}} \vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{o} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow a_{1} . b_{1} + a_{2} . b_{2} = 0$