Giải Toán 12 trang 46 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 12 trang 46 Tập 1 trong Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 46 Tập 1.

1 682 11/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 trang 46 Tập 1

Thực hành 4 trang 46 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm các vectơ:

a) $\vec{B M} + \vec{A C} + \vec{N D}$ ;

b) $\vec{A D} - \vec{A M} + \vec{N C}$ .

Lời giải:

Thực hành 4 trang 46 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) $\vec{B M} + \vec{A C} + \vec{N D}$ $= \vec{B M} + \vec{A M} + \vec{M C} + \vec{N D}$ $= \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{N D}$ $= \vec{M N}$

(Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $\vec{N C} + \vec{N D} = \vec{0}; \vec{B M} + \vec{A M} = \vec{0}$ ).

b) $\vec{A D} - \vec{A M} + \vec{N C}$ $= \vec{M D} + \vec{N C}$ $= \vec{M N} + \vec{N D} + \vec{N C} = \vec{M N}$ (vì $\vec{N D} + \vec{N C} = \vec{0}$ ).

Thực hành 5 trang 46 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) $\vec{a} = \vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B^{'}}$ ;

b) $\vec{b} = \vec{B C} - \vec{B A} + \vec{C^{'} A}$ .

Lời giải:

Thực hành 5 trang 46 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có $\vec{B A} + \vec{B C} + \vec{B B^{'}} = \vec{B D^{'}}$ .

Mà $|\vec{B D^{'}}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ .

Do đó $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ .

b) $\vec{b} = \vec{B C} - \vec{B A} + \vec{C^{'} A}$ $= \vec{A C} + \vec{C^{'} A}$ $= \vec{A C} - \vec{A C^{'}} = \vec{C^{'} C}$ .

Mà $|\vec{C^{'} C}| = 1$ .

Do đó $|\vec{b}| = 1$ .

Vận dụng 2 trang 46 Toán 12 Tập 1: Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2 N; 3N; 4 N (Hình 17). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Lời giải:

Vận dụng 2 trang 46 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Gọi $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 2 N; 3N; 4 N.

Vẽ $\vec{O C} = \vec{F_{1}}; \vec{O A} = \vec{F_{2}}; \vec{O B} = \vec{F_{3}}$ .

Dựng các hình chữ nhật OADB và OCED.

Theo quy tắc hình bình hành ta có $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O D}; \vec{O D} + \vec{O C} = \vec{O E}$ .

Khi đó hợp lực $\vec{F} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O D} + \vec{O C} = \vec{O E}$ .

Vì OADB là hình chữ nhật nên $O D = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Vì OCED là hình chữ nhật nên OE = $\sqrt{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29} \approx 5, 4$ .

Vậy độ lớn của hợp lực F khoảng 5,4 N.

3. Tích của một số với một vectơ

Hoạt động khám phá 5 trang 46 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AC' và A'C cắt nhau tại O (Hình 18).

a) Tìm vectơ $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$ .

b) Cho biết mối quan hệ giữa vectơ tìm được ở câu a và vectơ $\vec{A O}$ .

Lời giải:

a) Theo quy tắc hình hộp ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

b) Vì AA' // CC' và AA' = CC' (vì cùng song song và bằng BB')

Nên AA'C'C là hình bình hành.

Mà AC' và A'C cắt nhau tại O nên O là trung điểm của AC'.

Suy ra $A O = \frac{1}{2} A C^{'}$ mà $\vec{A O}$ và $\vec{A C^{'}}$ cùng hướng nên $\vec{A O} = \frac{1}{2} \vec{A C^{'}}$ hay $\vec{A C^{'}} = 2 \vec{A O}$ .