Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; -1) và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình 2x + y = 0 và x = z + 1

Đáp án đúng là: A

* Lời giải:

Hai mặt phẳng có phương trình 2x + y = 0 và x = z + 1 lần lượt có hai véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;1;0\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;-1\right)$

Phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng trên nên suy ra véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$  vuông góc với hai véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\left(2;1;0\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;-1\right)$

Ta suy ra được

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ -1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|\right)$

= (-1; 2; -1) = -(1; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; -1) nhận (1; -2; 1) làm véc-tơ pháp tuyến là

(x - 1) - 2(y - 2) + (z + 1) = 0

==> x - 2y + z + 4 = 0.

* Phương pháp giải:

Xác định vecto pháp tuyến từ hai phương trình 2x+y=0 và x=z+1

Phương tình cần tìm vuông góc với hai mặt phẳng trên nên sẽ tìm ra được vecto pháp tuyến từ hai vecto pháp tuyến trên

Từ đó viết ra được phương tình mặt phẳng cần tìm

* Lý thuyết nắm thêm

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

• Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

• Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

• Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

• Tọa độ của điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

Nhận xét: Nếu điểm M có tọa độ (x; y; z) đối với hệ tọa độ Oxyz thì:

- Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy và Oz có tọa độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z).

- Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có tọa độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y; z), (x; 0; z).

• Tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ$\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ hoặc $\overrightarrow{a}(x;y;z)$.

Nhận xét:

- Tọa độ của vectơ cũng là tọa độ của điểm M sao cho $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}$

- Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{b}=(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}})$. Khi đó, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ nếu và chỉ nếu $\left\{\begin{array}{l}x=x\text{'}\\ y=y\text{'}\\ z=z\text{'}\end{array}\right.$.

• Tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(x_M; y_M; z_M) và N(x_N; y_N; z_N). Khi đó: $\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M;z_N-z_M)$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hệ trục toạ độ trong không gian– Toán lớp 12 Kết nối tri thức

50 bài toán về cực trị tọa độ không gian (có đáp án 2024) – Toán 12