Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.

1 2,462 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Bài giảng Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

A. Lý thuyết

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^{x} \geq b; a^{x} \leq b$ ) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là vì a^x > 0 $\geq b; \forall x \in ℝ$

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^{x} > a^{\log_{a} b}$ .

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x > 125 $\Leftrightarrow$ x > log₅125 $\Leftrightarrow$ x > 3.

b) ${(\frac{1}{3})}^{x} > 27$ $\Leftrightarrow x < \log_{\frac{1}{3}} 27$ $\Leftrightarrow x < - 3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2}< 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\Leftrightarrow$ x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b (hoặc log_ax < 0; $\log_{a} x \leq 0;$ $\log_{a} x \geq 0$ ) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b $\Leftrightarrow$ x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b $\Leftrightarrow$ 0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7 $\Leftrightarrow$ x > 2⁷.

b) $\log_{\frac{2}{5}} x < 3$ $\Leftrightarrow x > {(\frac{2}{5})}^{3}$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình $\log_{3} (x^{2} + 2 x) > \log_{3} (x + 2)$ .

Lời giải:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các bất phương trình

a) $3^{- x^{2} + 2 x} > \frac{1}{27}$ ;

b) ${(\frac{2}{3})}^{x + 2} < {(\frac{3}{2})}^{2 - 2 x}$ ;

c) 2.3^x + 3^{x + 2} < 99.

Lời giải:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là – 1 < x < 3.

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Giải các bất phương trình logarit:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

Câu 1. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{\frac{1}{x}} \leq {(\frac{2}{\sqrt{5}})}^{3} .$

A. $S = (0; \frac{1}{3})$ .

B. $S = (0; \frac{1}{3}]$ .

C. $S = (- \infty; \frac{1}{3}]$ .

D. $S = (- \infty; \frac{1}{3}] \cup (0; + \infty)$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì $\frac{2}{\sqrt{5}} < 1$ nên bất phương trình

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} \geq 3 \Leftrightarrow \frac{1 - 3 x}{x} \geq 0$

$\Leftrightarrow 0 < x \leq \frac{1}{3} .$

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn ${(\tan \frac{π}{7})}^{x^{2} - x - 9} \leq {(\tan \frac{π}{7})}^{x - 1} .$

A. $x \leq - 2.$

B. $x \geq 4.$

C. $- 2 \leq x \leq 4.$

D. $x \leq - 2$ ; $x \geq 4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Do $\tan \frac{π}{7} < 1$ nên bất phương trình $\Leftrightarrow x^{2} - x - 9 \geq x - 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 8 \geq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 4 \\ x \leq - 2 \end{array} .$

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của trong đoạn $[- 2017; 2017]$ thỏa mãn bất phương trình

A. 2013

B. 2017

C. 2014

D. 2021

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình $4^{x} {.3}^{3} > 3^{x} {.4}^{3}$

$\Leftrightarrow \frac{4^{x}}{3^{x}} > \frac{4^{3}}{3^{3}}$

$\Leftrightarrow {(\frac{4}{3})}^{x} > {(\frac{4}{3})}^{3}$

$\Leftrightarrow x > 3.$

Vì x nguyên và thuộc đoạn $[- 2017; 2017]$

$\overset{}{\to} x = \{4; 5; 6; ...2017\}$ .

Vậy có tất cả 2014 giá trị thỏa mãn.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình $8^{x} {.2}^{1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x}$ ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Bất phương trình $8^{x} {.2}^{1 - x^{2}} > {(\sqrt{2})}^{2 x}$

$\Leftrightarrow 2^{3 x} {.2}^{1 - x^{2}} > 2^{x}$

$\Leftrightarrow 2^{3 x + 1 - x^{2}} > 2^{x}$

$\Leftrightarrow 3 x + 1 - x^{2} > x$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 1 < 0$

$\Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ .

Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là $\{1; 2\} .$

Câu 5. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình $3^{1 - x} + 2. {(\sqrt{3})}^{2 x} \leq 7$ . Khi đó S có dạng $[a; b]$ với $a < b$ . Tính $P = b + a . \log_{2} 3.$

A. $P = 2.$

B. $P = 1.$

C. $P = 0.$

D. $P = 2 \log_{2} 3.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình $\Leftrightarrow \frac{3}{3^{x}} + {2.3}^{x} \leq 7$

$\Leftrightarrow {2.3}^{2 x} - {7.3}^{x} + 3 \leq 0.$

Đặt $t = 3^{x}$ , $t > 0$ .

Bất phương trình trở thành $2 t^{2} - 7 t + 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq t \leq 3$ .

$\overset{}{\to} \frac{1}{2} \leq 3^{x} \leq 3$

$\Leftrightarrow - \log_{3} 2 \leq x \leq 1$

$\overset{}{\to} \{\begin{cases} a = - \log_{3} 2 \\ b = 1 \end{cases}$

$\overset{}{\to} P = b + a . \log_{2} 3 = 0.$

Câu 6. Gọi a, b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình ${3.9}^{x} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0$ . Tính $P = b - a .$

A. $P = 1$ .

B. $P = \frac{3}{2}$ .

C. $P = 2$ .

D. $P = \frac{5}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình tương đương với ${3.3}^{2 x} - {10.3}^{x} + 3 \leq 0$ .

Đặt $t = 3^{x}$ , $t > 0$ . Bất phương trình trở thành $3 t^{2} - 10 t + 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq t \leq 3$ .

$\overset{}{\to} \frac{1}{3} \leq 3^{x} \leq 3$

$\Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 1$

$\overset{}{\to} \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 1 \end{cases}$

$\overset{}{\to} P = b - a = 2.$

Câu 7. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${(x^{2} + x + 1)}^{x} < 1.$

A. $S = (0; + \infty)$ .

B. $S = (- \infty; 0)$ .

C. $S = (- \infty; - 1)$ .

D. $S = (0; 1)$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $x^{2} + x + 1 = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0.$

Bất phương trình tương đương với ${(x^{2} + x + 1)}^{x} < {(x^{2} + x + 1)}^{0} . (*)$

Nếu $x^{2} + x + 1 < 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + x < 0$

$\Leftrightarrow - 1 < x < 0$ thì $(*) \Leftrightarrow x > 0$ : không thỏa mãn.

Nếu $x^{2} + x + 1 > 1$

$\Leftrightarrow x^{2} + x > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 0 \end{array}$ thì $(*) \Leftrightarrow x < 0$ .

Kết hợp điều kiện $[\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 0 \end{array}$ ta được $x < - 1$ .

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S = (- \infty; - 1)$ .

Câu 8. Cho bất phương trình $x^{\log_{2} x + 4} \leq 32$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng.

B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.

C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.

D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: $x > 0$ . Đặt $\log_{2} x = t \overset{}{\to} x = 2^{t}$ .

Bất phương trình

$\Leftrightarrow {(2^{t})}^{t + 4} \leq 32$

$\Leftrightarrow 2^{t (t + 4)} \leq 2^{5}$

$\Leftrightarrow t^{2} + 4 t \leq 5$

$\Leftrightarrow - 5 \leq t \leq 1$

$\overset{}{\to} - 5 \leq \log_{2} x \leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{32} \leq x \leq 2$

$\overset{}{\to} S = [\frac{1}{32}; 2] .$

Câu 9. Gọi a, b là hai nghiệm của bất phương trình $x^{\ln x} + e^{\ln^{2} x} \leq 2 e^{4}$ sao cho $|a - b|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $P = a b .$

A. $P = e .$

B. $P = 1.$

C. $P = e^{3} .$

D. $P = e^{4} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: $x > 0.$ Ta có đẳng thức $e^{\ln^{2} x} = {(e^{\ln x})}^{\ln x} = x^{\ln x}$ .

Do đó bất phương trình $\Leftrightarrow 2. e^{\ln^{2} x} \leq 2. e^{4}$

$\Leftrightarrow \ln^{2} x \leq 4$

$\Leftrightarrow |\ln x| \leq 2$

$\Leftrightarrow - 2 \leq \ln x \leq 2$

$\Leftrightarrow e^{- 2} \leq x \leq e^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{e^{2}} \leq x \leq e^{2}$

$\overset{}{\to} \{\begin{cases} a = \frac{1}{e^{2}} \\ b = e^{2} \end{cases}$

$\overset{}{\to} P = a b = 1.$

Câu 10. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số $f (x) = 2^{x} {.7}^{x^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $f (x) < 1 \Leftrightarrow x + x^{2} \log_{2} 7 < 0$ .

B. $f (x) < 1 \Leftrightarrow x \ln 2 + x^{2} \ln 7 < 0$ .

C. $f (x) < 1 \Leftrightarrow x \log_{7} 2 + x^{2} < 0$ .

D. $f (x) < 1 \Leftrightarrow 1 + x \log_{2} 7 < 0$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $f (x) < 1 \Leftrightarrow 2^{x} {.7}^{x^{2}} < 1. (*)$

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*), ta được $\log_{2} (2^{x} {.7}^{x^{2}}) < \log_{2} 1$

$\Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} + \log_{2} 7^{x^{2}} < 0$

$\Leftrightarrow x + x^{2} \log_{2} 7 < 0$ .

Do đó A đúng.

Lấy ln hai vế của (*), ta được $\ln (2^{x} {.7}^{x^{2}}) < \ln 1$

$\Leftrightarrow \ln 2^{x} + \ln 7^{x^{2}} < 0$

$\Leftrightarrow x \ln 2 + x^{2} \ln 7 < 0.$

Do đó B đúng.

Lấy logarit cơ số 7 hai vế của (*), ta được $\log_{7} (2^{x} {.7}^{x^{2}}) < \log_{7} 1$

$\Leftrightarrow \log_{7} 2^{x} + \log_{7} 7^{x^{2}} < 0$

$\Leftrightarrow x \log_{7} 2 + x^{2} < 0$ .

Do đó C đúng.

Vì $x \in ℝ$ nên từ kết quả của đáp án A, khẳng định $x + x^{2} \log_{2} 7 < 0$

$\Leftrightarrow x (1 + x \log_{2} 7) < 0$

$\Leftrightarrow 1 + x \log_{2} 7 < 0$ là sai.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Nguyên hàm

Lý thuyết Tích phân

Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lý thuyết Ôn tập chương 3

1 2,462 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3