Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.

1 2,431 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Bài giảng Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

A. Lý thuyết

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b ( hoặc ax < b; axb; axb) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình ax > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là vì ax > 0b  ;  x

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương ax  >alogab.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > logab.

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < logab.

– Ví dụ 1.

a) 5x > 125x > log5125x > 3.

b) 13x  >27x<log1327x<  3

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình ax > b được cho trong bảng sau:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Bất phương trình mũ đơn giản

Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3x + 2 < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 33

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b (hoặc logax < 0; logax0;logax0) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình logax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: logax > bx > ab.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: logax > b0 < x < ab.

– Ví dụ 3.

a) log2x > 7x > 27.

b) log25x  <  3x​  >  253

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình logax > b được cho trong bảng sau:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình log3(x2+2x)>​  log3(x+2).

Lời giải:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các bất phương trình

a) 3x2+​  2x>  127;

b) 23x+​ 2  <  3222x;

c) 2.3x + 3x + 2 < 99.

Lời giải:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là – 1 < x < 3.

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Giải các bất phương trình logarit:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

Câu 1. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 251x253.

A. S=0;13.

B. S=0;13.

C. S=;13.

D. S=;130;+.

Đáp án: B

Giải thích:

25<1 nên bất phương trình

1x313xx0

0<x13.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn tanπ7x2x9tanπ7x1.

A. x2.

B. x4.

C. 2x4.

D. x2; x4.

Đáp án: D

Giải thích:

Do tanπ7<1 nên bất phương trình x2x9x1

x22x80

x4x2.

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của trong đoạn 2017;2017 thỏa mãn bất phương trình

A. 2013

B. 2017

C. 2014

D. 2021

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình 4x.33>3x.43

4x3x>4333

43x>433

x>3.

Vì x nguyên và thuộc đoạn 2017;2017

x=4;5;6;...2017.

Vậy có tất cả 2014 giá trị thỏa mãn.

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình 8x.21x2>22x?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Đáp án: A

Giải thích:

Bất phương trình 8x.21x2>22x

23x.21x2>2x

23x+1x2>2x

3x+1x2>x

x22x1<0

12<x<1+2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=12;1+2.

Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là 1;2.

Câu 5. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình 31x+2.32x7. Khi đó S có dạng a;b với a<b. Tính P=b+a.log23.

A. P=2.

B. P=1.

C. P=0.

D. P=2log23.

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình 33x+2.3x7

2.32x7.3x+30.

Đặt t=3x, t>0.

Bất phương trình trở thành 2t27t+30

12t3.

123x3

log32x1

a=log32b=1

P=b+a.log23=0.

Câu 6. Gọi a, b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của bất phương trình 3.9x10.3x+30. Tính P=ba.

A. P=1.

B. P=32.

C. P=2.

D. P=52.

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình tương đương với 3.32x10.3x+30.

Đặt t=3x, t>0. Bất phương trình trở thành 3t210t+30

13t3.

133x3

1x1

a=1b=1

P=ba=2.

Câu 7. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2+x+1x<1.

A. S=0;+.

B. S=;0.

C. S=;1.

D. S=0;1.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có x2+x+1=x+122+34>0.

Bất phương trình tương đương với x2+x+1x<x2+x+10.(*)

Nếu x2+x+1<1

x2+x<0

1<x<0 thì *x>0: không thỏa mãn.

Nếu x2+x+1>1

x2+x>0

x<1x>0 thì *x<0.

Kết hợp điều kiện x<1x>0 ta được x<1.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=;1.

Câu 8. Cho bất phương trình xlog2x+432. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng.

B. Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.

C. Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.

D. Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này giao nhau bằng rỗng.

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: x>0. Đặt log2x=tx=2t.

Bất phương trình

2tt+432

2tt+425

t2+4t5

5t1

5log2x1

132x2

S=132;2.

Câu 9. Gọi a, b là hai nghiệm của bất phương trình xlnx+eln2x2e4 sao cho ab đạt giá trị lớn nhất. Tính P=ab.

A. P=e.

B. P=1.

C. P=e3.

D. P=e4.

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: x>0. Ta có đẳng thức eln2x=elnxlnx=xlnx.

Do đó bất phương trình 2.eln2x2.e4

ln2x4

lnx2

2lnx2

e2xe2

1e2xe2

a=1e2b=e2

P=ab=1.

Câu 10. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số fx=2x.7x2. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. fx<1x+x2log27<0.

B. fx<1xln2+x2ln7<0.

C. fx<1xlog72+x2<0.

D. fx<11+xlog27<0.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có fx<12x.7x2<1.(*)

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*), ta được log22x.7x2<log21

log22x+log27x2<0

x+x2log27<0.

Do đó A đúng.

Lấy ln hai vế của (*), ta được ln2x.7x2<ln1

ln2x+ln7x2<0

xln2+x2ln7<0.

Do đó B đúng.

Lấy logarit cơ số 7 hai vế của (*), ta được log72x.7x2<log71

log72x+log77x2<0

xlog72+x2<0.

Do đó C đúng.

x nên từ kết quả của đáp án A, khẳng định x+x2log27<0

x1+xlog27<0

1+xlog27<0 là sai.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Nguyên hàm

Lý thuyết Tích phân

Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lý thuyết Ôn tập chương 3

1 2,431 21/12/2023
Tải về