Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Lý thuyết Ôn tập chương 3 lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Ôn tập chương 3.
Lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương 3
A. Lý thuyết
1. Hệ tọa độ trong không gian
1.1. Tọa độ của điểm và của vecto
1.1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: và
1.1.2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).
1.1.3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết (a1; a2 ; a3) hoặc (a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto
Ta có: M(x; y; z)
1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
Ví dụ 1.
Lời giải:
- Hệ quả:
a) Cho hai vecto , ta có:
b) Vecto có tọa độ ( 0; 0; 0).
c) Với thì hai vecto cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
Ví dụ 2. Cho . Tìm m và n để
Lời giải:
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
Lời giải:
a) Ta thấy
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
b) Ta thấy: nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
a) Tính ;
b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
1.3. Tích vô hướng.
1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto được xác định bởi công thức:
Ví dụ 5. Cho . Tính ?
Lời giải:
Ta có: = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
1.3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto.
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)
và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto . Do đó, ta có:
c) Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto và với thì
Từ đó, suy ra
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
a) Tính AB; AC
b) Tính cosin của góc A.
Lời giải:
1.4. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là
phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;
b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
2. Phương trình mặt phẳng
2.1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.
2.1.1. Định nghĩa:
Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vecto pháp tuyến của (α)
2.1.2. Chú ý. Nếu là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.
2.1.3. Tích có hướng của hai vectơ
- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ , . Tích có hướng của hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi
- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).
Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
2.2.1. Định nghĩa.
- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Nhận xét.
a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là .
b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.
Ví dụ 9. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là (2; -1; 3).
Ví dụ 10. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)
Lời giải:
2.2.2. Các trường hợp riêng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.
a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.
b)
- Nếu thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.
- Nếu thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.
- Nếu thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.
c)
- Nếu A = B = 0; thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).
- Nếu A = C = 0; thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).
- Nếu B = C = 0; thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).
- Nhận xét:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với .
Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:
2.3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:
(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là:
2.3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.
- Chú ý: Để (α) cắt (β)
Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.
Lời giải:
Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên
Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:
1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.
2.3.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0
Lời giải:
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là:
2.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .
Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:
Ví dụ 14. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.
Lời giải:
Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:
Ví dụ 15. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.
Lời giải:
Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).
Ta có:
3. Phương trình đường thẳng trong không gian.
3.1. Phương trình tham số của đường thẳng
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn:
- Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương là
Trong đó, t là tham số.
- Chú ý:
Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:
Ví dụ 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là
Lời giải:
Phương trình tham số của ∆ là:
Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).
Lời giải:
Đường thẳng AB nhận làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của AB là:
3.2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.
3.2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.
Gọi lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.
Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.
Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi
Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi:
Ví dụ 18. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:
;
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương đi qua M(3; 2; 2).
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là
Ta thấy:
Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.
3.2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:
(I)
Có đúng một nghiệm.
- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.
Ví dụ 19. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
;
Lời giải:
Xét hệ phương trình:
Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).
3.2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 20. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
;
Lời giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là
Ta thấy, không tồn tại số thực k để nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
(I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
- Nhận xét:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.
Vậy d// (P).
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm
M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).
Ví dụ 21. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.
Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:
2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0
2 + 4t + t + 2 – t = 0
4t + 4 = 0t = - 1.
Suy ra, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).
B. Bài tập tự luyện
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài 1.
Lời giải:
Bài 2. Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác
Lời giải:
Bài 3. Cho các vecto
Tính
Lời giải:
Bài 4. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:
a) x2 + y2 + z2 + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;
b) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + 2 = 0.
Lời giải:
Bài 5. Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:
a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);
b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0)
Lời giải:
Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:
a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận (2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến.
b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3).
c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1)
Lời giải:
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
2(x – 0) + 1(y – 1) + 1.(z – 2) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = 0 hay 3x + 2y – z – 3 = 0
Bài 7. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:
a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – 3 = 0
b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – 3 = 0.
Lời giải:
a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 2y + z – 1 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:
4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = 0 hay 4x – 3y – 8z + 2 = 0.
Bài 8. Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:
a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – 1 = 0;
b) Mặt phẳng (Q): x + z – 4 = 0
c) Mặt phẳng (H): x – 6 = 0.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:
Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:
a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) và B(1; 1; 1).
b) Đi qua A( -2; 1; 1) và song song với đường thẳng
c) Đi qua M(0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0.
Lời giải:
a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 0; 1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên có phương trình:
b) Đường thẳng đã cho có vecto chỉ phương là .
Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng đã cho nên vecto chỉ phương của d là
Phương trình tham số của d là
c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:
Vì d vuông góc với (P) nên vecto chỉ phương của d là
Phương trình tham số của d là
Bài 10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
Lời giải:
a) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là:
Không tồn tại số thực k để nên hai đường thẳng trên sẽ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: (I)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:
Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho chéo nhau.
b) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là:
Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1;1)
Ta thấy: và điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.
Bài 11. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:
Lời giải:
Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian
Câu 1. Cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm tam giác ABC với . Chọn kết luận đúng về điểm C.
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Gọi
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
Do đó
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vec tơ .Tính
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Khi đó,
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng . Véc tơ nào dưới đây là vec tơ chỉ phương của d?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Đường thẳng d:
nhận làm VTCP
Câu 4. Cho hai vec tơ và . Khi đó số thực thỏa mãn:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có:
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức . Tọa độ điểm M là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có:
Câu 6. Hình chiếu của điểm lên trục Oz là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Vì chiếu điểm M lên trục Oz nên giữ nguyên z và cho x = y = 0. Do đó ta được hình chiếu của điểm M (1; -1; 0) lên trục Oz là N (0; 0; 0)
Câu 7. Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng có dạng:
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm ta có:
Vậy phương trình mặt phẳng
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
cùng phương với
Ta có VTCP của , VTPT của
Suy ra cùng phương với
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho điểm . Tọa độ điểm A’ là đối xứng của điểm A qua trục Oz là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Hình chiếu của A trên trục Oz là
Khi đó m là trung điểm của AA'
Câu 10. Điểm thì tọa độ điểm M là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Điểm thì cao độ z = 0. Do đó M (x; y; 0)
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12