Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương 3

A. Lý thuyết

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{}z.\overrightarrow{k}$

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}z.\overrightarrow{k}$

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto $\overrightarrow{a}$, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a₁; a₂; a₃) sao cho $\overrightarrow{a}=a_1.\overrightarrow{i}+a_2.\overrightarrow{j}+\text{\hspace{0.17em}}{a}_3.\overrightarrow{k}$

Ta gọi bộ ba số (a₁; a₂ ; a₃) là tọa độ của vecto $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃) hoặc $\overrightarrow{a}$(a₁; a₂ ; a₃).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto $\overrightarrow{OM}$

Ta có: M(x; y; z)$\iff \overrightarrow{OM}(x;y;z)$

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Ví dụ 1.

Lời giải:

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$, ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_3\end{array}\right.$

b) Vecto $\overrightarrow{0}$ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với $\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì hai vecto $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

$\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}(k\in ℝ)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=k{b}_1\\ a_2=k{b}_2\\ a_3=k{b}_3\end{array}\right.$$\hspace{0.17em}\iff \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3},$$(b_1,b_2,b_3\ne 0)$

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(2m;3;-1);$$\overrightarrow{v}(4;3;n-2)$. Tìm m và n để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$

Lời giải:

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{2}{-4}=\frac{3}{-6}\ne \frac{7}{14}$

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}$ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính $\overrightarrow{AB}$ ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),$$\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3$

Ví dụ 5. Cho $\overrightarrow{a}(1;-3;4);$$\overrightarrow{b}(1;2;1)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ ?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A)

và B(x_B; y_B ; z_B). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto $\overrightarrow{AB}$. Do đó, ta có:

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ với $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$ thì

Từ đó, suy ra $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{a}_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r²

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là

phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính $r=\sqrt{A^2+B^2+\text{\hspace{0.17em}}{C}^2-\text{}D}$

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

2. Phương trình mặt phẳng

2.1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

2.1.1. Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được $\overrightarrow{n}$ gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2.1.2. Chú ý. Nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.

2.1.3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2.2.1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ khác $\overrightarrow{0}$ là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀ ) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 9. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(2; -1; 3).

Ví dụ 10. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

2.2.2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$.

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là: $\frac{x}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{y}{3}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{z}{1}=1$

2.3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

(β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(A{}_1;B_1;C_1);$$\overrightarrow{n_2}(A{}_2;B_2;C_2)\hspace{0.17em}$

2.3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý: Để (α) cắt (β)$\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}\iff$$(A_1;B_1;C_1)\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-1;2)$

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2.3.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\\ \iff A_1{A}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{B}_1{B}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_1{C}_2=0\end{array}$

Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là:

2.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính:

Ví dụ 14. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

Ví dụ 15. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: $d\left(\right(P);(Q\left)\right)$$=d(A;(Q\left)\right)=\frac{\left|-3-2.0+\text{}2.0-7\right|}{\sqrt{1^2+\text{}{(-2)}^2+2^2}}$$=\frac{10}{3}$

3. Phương trình đường thẳng trong không gian.

3.1. Phương trình tham số của đường thẳng

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x₀ ; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a₁ ; a₂; a₃ đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

Ví dụ 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}(1;2;-1)$

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là: $\left\{\begin{array}{c}x=1+\text{}t\\ y=2+\text{}2t\\ z=2-t\end{array}\right.$

Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}(2;1;-1)$ làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là: $\left\{\begin{array}{c}x=2\text{}t\\ y=1+\text{}t\\ z=2-t\end{array}\right.$

3.2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

3.2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

Gọi $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3);$$\overrightarrow{a\text{'}}=(a{\text{'}}_1;a{\text{'}}_2;a{\text{'}}_3)$ lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x₀; y₀; z₀) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}\\ M\notin d\text{'}\end{array}\right.$

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}\\ M\in d\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 18. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}2t\\ y=2-3t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=1-\text{}4t\\ y=2+\text{}6t\\ z=-2t\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-3;1)$ đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}(-4;6;-2)$

Ta thấy: $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u};M\notin d\text{'}$

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

3.2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_1=x{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_1\\ y_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_2=y{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_2\\ z_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_3=z{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_3\end{array}\right.$(I)

Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t₀ ; t’₀), để tìm giao điểm M₀ của d và d’ ta có thể thay t₀ vào phương trình tham số của d hoặc thay t’₀ vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 19. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}t\\ y=2-t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=3-\text{}t\text{'}\\ y=2+t\text{'}\\ z=3\end{array}\right.$

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}3+t=3-t\text{'}\\ 2-t=2+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}\\ 2+\text{}t=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}t=-t\text{'}\\ t=-t\text{'}\\ t=1\end{array}\right. \\ \iff t=1;t\text{'}=-1 \end{gathered}$$

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3.2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{a};\overrightarrow{a\text{'}}$ không cùng phương và hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}{x}_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_1=x{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_1\\ y_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_2=y{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_2\\ z_0+\text{\hspace{0.17em}}t{a}_3=z{\text{'}}_0+\text{\hspace{0.17em}}t\text{'}.a{\text{'}}_3\end{array}\right.$ vô nghiệm.

Ví dụ 20. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=3+\text{}t\\ y=2-3t\\ z=2+t\end{array}\right.$;$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}d\text{'}:\left\{\begin{array}{c}x=1-\text{}4t\text{'}\\ y=2+\text{}6t\text{'}\\ z=-2t\text{'}\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}(1;-3;1)$

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a\text{'}}(-4;6;-2)$

Ta thấy, không tồn tại số thực k để $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a\text{'}}$ nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}3+\text{\hspace{0.17em}}t=1-4t\text{'}\left(1\right)\\ 2-3t=2+6t\text{'}\left(2\right)\\ 2+t=-2t\text{'}\left(3\right)\end{array}\right.$(I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array}\right.$

Xét phương trình A(x₀ + ta₁ ) + B(y₀ + ta₂ ) + C (z₀ + ta₃ ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.

Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t₀ thì d cắt (P) tại điểm

M(x₀ + t₀ a₁;y₀ + t₀ a₂; z₀ + t₀ a₃).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 21. Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+\text{}2t\\ \begin{array}{l}y=-t\\ z=-2+t\end{array}\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.

Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

$\iff$2 + 4t + t + 2 – t = 0

$\iff$4t + 4 = 0$\iff$t = - 1.

Suy ra, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).

B. Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

Bài 1.

Lời giải:

Bài 2. Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

Lời giải:

Bài 3. Cho các vecto $\overrightarrow{a}(1;2;-3);$$\overrightarrow{b}(2;0;3);\overrightarrow{c}(-1;2;1)$

Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b};\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.0+\text{}(-3).3=-7\\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=2.(-1)+0.2+3.1=1\end{array}$

Bài 4. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:

a) x² + y² + z² + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;

b) 2x² + 2y² + 2z² – 4x – 8y + 12z + 2 = 0.

Lời giải:

Bài 5. Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:

a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);

b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0)

Lời giải:

Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:

a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$(2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến.

b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3).

c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1)

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 0) + 1(y – 1) + 1.(z – 2) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = 0 hay 3x + 2y – z – 3 = 0

Bài 7. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:

a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – 3 = 0

b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – 3 = 0.

Lời giải:

a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;1)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 2y + z – 1 = 0.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = 0 hay 4x – 3y – 8z + 2 = 0.

Bài 8. Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – 1 = 0;

b) Mặt phẳng (Q): x + z – 4 = 0

c) Mặt phẳng (H): x – 6 = 0.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:

Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:

a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) và B(1; 1; 1).

b) Đi qua A( -2; 1; 1) và song song với đường thẳng $\left\{\begin{array}{l}x=1+\text{}2t\\ \begin{array}{l}y=-t\\ z=-2+t\end{array}\end{array}\right.$

c) Đi qua M(0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 0; 1) và nhận vecto $\overrightarrow{AB}(3;1;0)$ làm vecto chỉ phương nên có phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=-2+\text{}3t\\ \begin{array}{l}y=t\\ z=1\text{}\end{array}\end{array}\right.$

b) Đường thẳng đã cho có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a}(2;-1;1)$.

Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng đã cho nên vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{a}(2;-1;1)$

Phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}{c}x=-2+\text{}2t\\ \begin{array}{l}y=1-\text{}t\\ z=1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}t\end{array}\end{array}\right.$

c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}\text{}(1;2;-1)$

Vì d vuông góc với (P) nên vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{n}\text{}(1;2;-1)$

Phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}{l}x = t\\ \begin{array}{l}y=-2+2\text{}t\\ z=1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-t\end{array}\end{array}\right.$

Bài 10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

Lời giải:

a) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{a}(2;-1;1);\overrightarrow{a\text{'}}(1;1;1)$

Không tồn tại số thực k để $\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{a\text{'}}$ nên hai đường thẳng trên sẽ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}-2+\text{}2t=2+\text{}t\text{'}\left(1\right)\\ \begin{array}{l}1-\text{}t=t\text{'}\left(2\right)\\ 1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}t=3+t\text{'}\left(3\right)\end{array}\end{array}\right.$(I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: $t=\frac{5}{3};t\text{'}=\frac{-2}{3}$

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho chéo nhau.

b) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{a}(2;-2;4);\overrightarrow{a\text{'}}(1;-1;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1;1)

Ta thấy: $\overrightarrow{a}=2.\overrightarrow{a\text{'}}$ và điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.

Bài 11. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Câu 1. Cho điểm G(1;1;2) là trọng tâm tam giác ABC với $A\left(2;1;3\right),B\left(2;2;1\right)$. Chọn kết luận đúng về điểm C.

A. $C\in Oy$

B. $C\in \left(Oxz\right)$

C. $C\in Oz$

D. $C\in \left(Oyz\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $C\left(x;y;z\right)$

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{c}1=\frac{2+2+x}{3}\\ 1=\frac{1+2+y}{3}\\ 2=\frac{3+1+z}{3}\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=0\\ z=2\end{array}$

$\Rightarrow C(-1;0;2)$

Do đó $C\in \left(Oxz\right)$

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right)$, cho hai vec tơ $\overrightarrow{a}=\left(2;-1;4\right),$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}$.Tính

A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-11$

B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-13$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5$

D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-10$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left(1;0;-3\right)$

Khi đó, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.1+\left(-1\right).0+4.\left(-3\right)$

$=-10$

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+3t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(t\in R\right)$. Véc tơ nào dưới đây là vec tơ chỉ phương của d?

A. $\overrightarrow{u_1}=\left(0;3;-1\right)$

B. $\overrightarrow{u_2}=\left(1;3;-1\right)$

C. $\overrightarrow{u_3}=\left(1;-3;-1\right)$

D. $\overrightarrow{u_4}=\left(1;2;5\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+3t (t\in \mathrm{ℝ})\\ z=5-t\end{array}\right.$

nhận $\overrightarrow{u_1}=(0; 3; -1)$ làm VTCP

Câu 4. Cho hai vec tơ $\overrightarrow{u}\left(-2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(1;1;1\right)$. Khi đó số thực $m=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ thỏa mãn:

A. $m=0$

B. $m\in \left(0;2\right)$

C. $m\in \left(-2;0\right)$

D. $m\in \left(1;3\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $m=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-2.1+3.1+1.1=2$

$\Rightarrow m\in \left(1;3\right)$

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$. Tọa độ điểm M là:

A. $M\left(1;2;0\right)$

B. $M\left(2;1;0\right)$

C. $M\left(2;0;1\right)$

D. $M\left(0;2;1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\Rightarrow M(2; 1; 0)$

Câu 6. Hình chiếu của điểm $M\left(1;-1;0\right)$ lên trục Oz là:

A. $N\left(-1;-1;0\right)$

B. $N\left(1;-1;0\right)$

C. $N\left(-1;1;0\right)$

D. $N\left(0;0;0\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì chiếu điểm M lên trục Oz nên giữ nguyên z và cho x = y = 0. Do đó ta được hình chiếu của điểm M (1; -1; 0) lên trục Oz là N (0; 0; 0)

Câu 7. Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A\left(1;3;-2\right)$ và song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+3z+4=0$ là:

A. $2x-y+3z+7=0$

B. $2x+y-3z+7=0$

C. $2x+y+3z+7=0$

D. $2x-y+3z-7=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+3z+4=0$ có dạng:

$\left(Q\right):2x-y+3z+D=0,\left(D\ne 4\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $A\left(1;3;-2\right)$ ta có: $2.1-3+3.\left(-2\right)+D=0$

$\iff D=7\ne 4\left(tm\right)$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):2x-y+3z+7=0$

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $\left(P\right):x+y+z=0$

B. $\left(\beta \right):x+y-z=0$

C. $\left(\alpha \right):x+y+2z=0$

D. $\left(Q\right):x+y-2z=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\Delta \perp \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$

Ta có VTCP của $\Delta :\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(1;1;2\right)$, VTPT của $\left(\alpha \right):\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left(1;1;2\right)$

Suy ra $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}$

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho điểm $A\left(2;-3;5\right)$. Tọa độ điểm A’ là đối xứng của điểm A qua trục Oz là:

A. $\left(2;3;5\right)$

B. $\left(2;-3;-5\right)$

C. $\left(-2;3;5\right)$

D. $\left(-2;-3;5\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hình chiếu của A trên trục Oz là $M\left(0;0;5\right)$

Khi đó m là trung điểm của AA' $\Rightarrow A\text{'}\left(-2;3;5\right)$

Câu 10. Điểm $M\in \left(Oxy\right)$ thì tọa độ điểm M là:

A. $M\left(x;y;0\right)$

B. $M\left(0;x;y\right)$

C. $M\left(0;0;z\right)$

D. $M\left(0;0;1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Điểm $M\in \left(Oxy\right)$ thì cao độ z = 0. Do đó M (x; y; 0)

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Mặt cầu

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian