Lý thuyết Tích phân (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Lý thuyết Tích phân lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 2: Tích phân.
Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Tích phân
Bài giảng Toán 12 Bài 2: Tích phân
A. Lý thuyết
I. Khái niệm tích phân
1. Diện tích hình thang cong
- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.
- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Với mỗi , kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.
Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a).
Vậy S(x) = F(x) – F(a).
Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:
S(b) = F(b) – F(a).
2. Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu
Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a).
Vậy
Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
- Chú ý.
Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:
Ví dụ 1.
a)
b)
- Nhận xét.
a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là hay . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.
b) Ý nghĩa hình học của tích phân.
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy .
II. Tính chất của tích phân.
Ví dụ 2. Tính: .
Lời giải:
- Tính chất 3.
(a < c < b).
Ví dụ 3. Tính .
Lời giải:
III. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
- Định lí:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và .
Khi đó:
Ví dụ 4. Tính .
Lời giải:
- Chú ý:
Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính , đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và .
Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với với g(u) liên tục trên đoạn
Khi đó, ta có:
Ví dụ 5. Tính
Lời giải:
2. Phương pháp tính tích phân từng phần
- Định lí.
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
Hay
Ví dụ 6. Tính
Lời giải:
Ví dụ 7. Tính .
Lời giải:
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính các tích phân sau:
Lời giải:
Bài 2. Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:
Lời giải:
Bài 3. Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:
Lời giải:
Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Tích phân
Câu 1. Cho với là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có
Vậy
Câu 2. Xét tích phân , nếu đặt thì I bằng
A.
B. .
C. .
D. .
Đáp án: C
Giải thích:
Đặt .
Đổi cận:
.
Do đó .
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm trên , và . Tính .
A. -4.
B. 0.
C. 3.
D. 4.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có
Vậy .
Câu 4. Nếu hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , thì
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có
Suy ra
Vậy .
Câu 5. Cho . Tính .
A. 2.
B. 1.
C. -1.
D. -2.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có:
Đặt . Ta có: , và .
Vậy
.
Câu 6. Xét nếu đặt thì bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án: B
Giải thích:
Đặt
Đổi cận:
Khi đó :
Câu 7. Biết với . Tổng bằng
A. 7.
B. 6.
C. 8.
D. 9.
Đáp án: A
Giải thích:
Suy ra .
Vậy
Câu 8. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn . Khi đó có giá trị
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
Đáp án: A
Giải thích:
Xét tích phân .
Đặt
.
Đổi cận:
Với .
Với .
Khi đó
.
Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên
Câu 9. Với hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên , k là một hằng số thực, khẳng định nào sau đây sai ?
Đáp án: C
Giải thích:
Theo tính chất của tích phân thì A, B, D đúng, C sai.
Câu 10. Cho . Khi đó
A. -3.
B. -1.
C. 3.
D. 1.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có
Theo bài ra:
.
Vậy .
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12