Lý thuyết Tích phân (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Tích phân

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Tích phân

A. Lý thuyết

I. Khái niệm tích phân

1. Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi $x\in \left[a;b\right]$, kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

2. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

Ta còn dùng kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b$ để chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

- Chú ý.

Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{}dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{}dx$

Ví dụ 1.

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x+\text{}2)dx$

$$\begin{gathered} \hspace{0.17em}={\left.\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|}_0^2 \\ =6-0=6 \end{gathered}$$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(2+\text{\hspace{0.17em}}\cos x)dx$

$$\begin{gathered} ={\left(2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sin x\right)}_0^{\frac{\pi }{2}} \\ =(\pi +1)-0 \\ =\pi +1 \end{gathered}$$

- Nhận xét.

a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy $S\text{\hspace{0.17em}}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

II. Tính chất của tích phân.

Ví dụ 2. Tính: $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(3x-4\sin x)dx$.

Lời giải:

- Tính chất 3.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b).

Ví dụ 3. Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x\right|dx$.

Lời giải:

III. Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số $x=\phi \left(t\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$ sao cho $\phi \left(\alpha \right)=a;\phi \left(\beta \right)=b$ và $a\le \phi \left(t\right)\le b\forall t\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

Khi đó: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=$$\hspace{0.17em}\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f\left(\phi \left(t\right)\right).\phi \text{'}\left(t\right)dt$

Ví dụ 4. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx$.

Lời giải:

- Chú ý:

Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$, đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm biến số mới, trong đó trên đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục và $u\left(x\right)\in \left[\alpha ;\beta \right]$.

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). u’(x) với $x\in \left[a;b\right]$ với g(u) liên tục trên đoạn $\left[\alpha ;\beta \right]$

Khi đó, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{u\left(a\right)}{\overset{u\left(b\right)}{\int }}g\left(u\right)du$

Ví dụ 5. Tính $\underset{0}{\overset{\sqrt{\pi }}{\int }}x.\sin x^{2}dx$

Lời giải:

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right)dx=$${\left.\left[u\left(x\right).v\left(x\right)\right]\right|}_a^b$$-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(x\right).u\text{'}\left(x\right)dx$

Hay $\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=u{v}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Ví dụ 6. Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\sin xdx.$

Lời giải:

Ví dụ 7. Tính $I=\underset{0}{\overset{e-1}{\int }}x\ln (x+1)dx$.

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính các tích phân sau:

Lời giải:

Bài 2. Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Lời giải:

Bài 3. Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Tích phân

Câu 1. Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2+3x+2}=a\ln 2+b\ln 3$ với $a,b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $a-2b=-5$.

B. $a+b=1$.

C. $a+2b=4$.

D. $a-2b=5$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{x^2+3x+2}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\text{d}x$

$=\left(\ln \left|x+1\right|-\ln \left|x+2\right|\right)\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.$

$=\left(\ln 2-\ln 3\right)-\left(\ln 1-\ln 2\right)$

$=2\ln 2-\ln 3$

Vậy $a=2;b=-1$

$\Rightarrow a+b=1$

Câu 2. Xét tích phân $I=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{e}^{\sqrt{2x+1}}dx$, nếu đặt $u=\sqrt{2x+1}$ thì I bằng

A. $\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}u{e}^{u}du$

B. $\underset{0}{\overset{4}{\int }}u{e}^{u}du$.

C. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}u{e}^{u}du$.

D. $\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}{e}^{u}du$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $\Rightarrow x=\frac{u^2-1}{2}\Rightarrow dx=udu$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=1$

$x=4\Rightarrow u=3$.

Do đó $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}u{e}^{u}du$.

Câu 3. Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$, $f\left(-1\right)=-2$ và $f\left(3\right)=2$. Tính $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$.

A. -4.

B. 0.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$

$=f\left(x\right)\left|\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right.$

$=f\left(3\right)-f\left(-1\right)$

$=2-\left(-2\right)=4$

Vậy $I=4$.

Câu 4. Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $f\left(0\right)=2$, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=5$ thì

A. $f\left(1\right)=7$

B. $f\left(1\right)=10$

C. $f\left(1\right)=-3$

D. $f\left(1\right)=3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x={\left.f\left(x\right)\right|}_0^1$

$=f\left(1\right)-f\left(0\right)$

Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=5$

$\iff f\left(1\right)-f\left(0\right)=5$

$\iff f\left(1\right)=f\left(0\right)+5=7$

Vậy $f\left(1\right)=7$.

Câu 5. Cho $\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)\text{d}x=1$. Tính $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos xf\left(\sin x\right)\text{d}x$.

A. 2.

B. 1.

C. -1.

D. -2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=1$

$\iff \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}f\left(2x\right)\text{\hspace{0.17em}d}\left(2x\right)=1$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=2$

Đặt $t=\sin x$ . Ta có: $\text{d}t=\text{d}\left(\sin x\right)=\cos x\text{\hspace{0.17em}d}x$ , $\sin 0=0$ và $\sin \frac{\pi }{2}=1$ .

Vậy $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(\sin x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=2$.

Câu 6. Xét $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)e^{x^2+2x}\text{d}x$ nếu đặt $t=x^2+2x$ thì $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)e^{x^2+2x}\text{d}x$ bằng

A. $\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(t+1\right)e^t\text{d}t$.

B. $\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{3}{\int }}{e}^t\text{d}t$.

C. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^t\text{d}t$.

D. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t+1)e^t\text{d}t$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt $x^2+2x=t$

$\Rightarrow (2x+2)\text{d}x=\text{d}t$

$\Rightarrow (x+1)\text{d}x=\frac{\text{d}t}{2}$

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;$

$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x=1\Rightarrow t=3$

Khi đó :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)e^{x^2+2x}\text{d}x$

$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{e^t}{2}\text{d}t=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{3}{\int }}{e}^t\text{d}t$

Câu 7. Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{3x+1}{3x^2+x\ln x}\text{d}x=\ln \left(a+\frac{\ln b}{c}\right)$ với $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+},c\le 4$. Tổng $a+b+c$ bằng

A. 7.

B. 6.

C. 8.

D. 9.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{3x+1}{3x^2+x\ln x}\text{d}x$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{3+\frac{1}{x}}{3x+\ln x}\text{d}x$

$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{3x+\ln x}\text{d}\left(3x+\ln x\right)$

$={\left.\ln \left|3x+\ln x\right|\right|}_1^2$

$=\ln \left(2+\frac{\ln 2}{3}\right)$

Suy ra $a=2,b=2,c=3$.

Vậy $a+b+c=7.$

Câu 8. Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[1;9\right]$ và thỏa mãn $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\left(2x^2+1\right)\text{d}x=2$. Khi đó $I=\underset{1}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ có giá trị

A. 8

B. 4

C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Xét tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\left(2x^2+1\right)\text{d}x=2$.

Đặt $t=2x^2+1$

$\Rightarrow \text{dt}=4x.\text{d}x$

$\Rightarrow x.\text{d}x=\frac{1}{4}\text{dt}$.

Đổi cận:

Với $x=0\Rightarrow t=1$.

Với $x=2\Rightarrow t=9$.

Khi đó $2=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\left(2x^2+1\right)\text{d}x$

$=\frac{1}{4}\underset{1}{\overset{9}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t$.

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên $\underset{1}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=8$

Câu 9. Với hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên $\left[a;b\right]$, k là một hằng số thực, khẳng định nào sau đây sai ?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Theo tính chất của tích phân thì A, B, D đúng, C sai.

Câu 10. Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]\text{d}x=1$. Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$

A. -3.

B. -1.

C. 3.

D. 1.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]\text{d}x$

$=4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\text{d}x$

$=4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-3$

Theo bài ra: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]\text{d}x=1$

$\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-3=1$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=1$ .

Vậy $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=1$.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Số phức

Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức

Lý thuyết Phép chia số phức