Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit (năm 2024 + Bài Tập)– Toán 12

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit.

1 3,195 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Bài giảng Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

A. Lý thuyết

I. Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y = {(\frac{1}{2})}^{x}; y = {(\sqrt{3})}^{x}$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý: Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

Ví dụ 2. Hàm số $y = 2^{- x^{2} + 2 x - 10}$ có đạo hàm là:

$y' = 2^{- x^{2} + 2 x - 10} . (- x^{2} + 2 x - 10)' . \ln 2 = 2^{- x^{2} + 2 x - 10} . (- 2 x + 2) \ln 2$

3. Khảo sát hàm số mũ y = a^x ( a > 0 và a ≠ 1).

y = a^x ; a > 1

y = a^x ; 0 < a < 1

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

y’ = a^x.ln a > 0 với mọi x

Giới hạn đặc biệt:

$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0; \lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$

Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Đồ thị

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

y’ = a^x.ln a < 0 với mọi x

Giới hạn đặc biệt:

$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty; \lim_{x \to + \infty} a^{x} = 0$

Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Đồ thị

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = a^x ( a > 0; a ≠ 1).

Tập xác định	$(- \infty; + \infty)$
Đạo hàm	y’ = a^x. lna
Chiều biến thiên	a > 1: Hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị	Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = a^x > 0 $\forall x \in ℝ$ ).

II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y = \log_{\frac{2}{3}} x; y = \log_{\sqrt{3}} x$ ; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5; \frac{2}{3}; \sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và $(\log_{a} x)' = \frac{1}{x \ln a}$

– Đặc biệt: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

– Chú ý:

Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: $(\log_{a} u)' = \frac{u'}{u \ln a}$

– Ví dụ 4. Hàm số y = log₄ (x²+ 2x – 7) có đạo hàm là:

$(\log_{4} (x^{2} + 2 x - 7))' = \frac{(x^{2} + 2 x - 7)'}{(x^{2} + 2 x - 7) \ln 4} = \frac{2 x + 2}{(x^{2} + 2 x - 7) \ln 4}$

3. Khảo sát hàm số logarit y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1).

y = log_a x ; a > 1

y = log_ax ; 0 < a < 1

1. Tập xác định: $(0; + \infty)$

2. Sự biến thiên

$y' = \frac{1}{x \ln a} > 0;$ $\forall x > 0$

Giới hạn đặc biệt:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = - \infty; \\ \lim_{x \to + \infty} \log_{a} x = + \infty . \end{array}$

Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

3. Bảng biến thiên

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Đồ thị

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

1. Tập xác định: $(0; + \infty)$

2. Sự biến thiên

$y' = \frac{1}{x \ln a} < 0;$ $\forall x > 0$

Giới hạn đặc biệt:

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0^{+}} \log_{a} x = + \infty; \\ \lim_{x \to + \infty} \log_{a} x = - \infty . \end{array}$

Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

3. Bảng biến thiên

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Đồ thị

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số y = log_ax (a > 0; a ≠ 1 ).

Tập xác định	$(0; + \infty)$
Đạo hàm	$y' = \frac{1}{x \ln a}$
Chiều biến thiên	a > 1: hàm số luôn đồng biến 0 < a< 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị	Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1); nằm phía bên phải trục tung

Nhận xét:

Đồ thị của các hàm số y = a^xvà y = log_a x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

a) y = x.e^x + 2^x

b) y = 2^x. sinx + 4^{x + 2}

c) $y = 5^{(x^{2} + 2 x - 3)} . x^{2}$

Lời giải:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của các hàm số sau:

a) y = log₄ (x² – 4);

b) y = log₃ (2x – x²);

c) $y = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{x^{2} - x}$ .

Lời giải:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số Logarit

Câu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

B. Hàm số $y = a^{x}$ với $0 < a < 1$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

C. Hàm số $y = a^{x}$ với $a > 1$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

D. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ luôn đi qua điểm $M (a; 1)$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu B sai vì hàm số $y = a^{x}$ với $0 < a < 1$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

Câu C sai vì hàm số $y = a^{x}$ với $a > 1$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

Câu D sai vì đồ thị hàm số $y = a^{x}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ luôn đi qua điểm $M (a; a^{a})$ hoặc $M (0; 1)$ chứ không phải $M (a; 1)$ .

Câu 2. Tập giá trị của hàm số $y = a^{x} (a > 0; a \neq 1)$ là:

A. $(0; + \infty)$

B. $[0; + \infty)$

C. $ℝ \ {0}$

D. $ℝ$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 3. Với $a > 0$ và $a \neq 1$ . Phát biểu nào sau đây không đúng?

A. Hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ có cùng tập giá trị.

B. Hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ có cùng tính đơn điệu.

C. Đồ thị hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ .

D. Đồ thị hai hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ đều có đường tiệm cận.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Tập giá trị của hàm số y = a^x là $(0; + \infty)$ , tập giá trị của hàm số y = log_ax là $ℝ$ .

Câu 4. Tìm x để hàm số $y = \log \sqrt{x^{2} + x - 12}$ có nghĩa.

A. $x \in (- \infty; - 4) \cup (3; + \infty)$

B. $x \in (- 4; 3)$

C. $\{\begin{cases} x \neq - 4 \\ x \neq 3 \end{cases}$

D. $x \in R$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hàm số $\log \sqrt{x^{2} + x - 12}$ có nghĩa khi $x^{2} + x - 12 > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x > 3 \\ x < - 4 \end{matrix}$

Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} \frac{x + 3}{2 - x}$ là:

A. $D = (- 3; 2)$

B. $D = ℝ \ {- 3; 2}$

C. $D = (- \infty; - 3) \cup (2; + \infty)$

D. $D = [- 3; 2]$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hàm số $\log_{2} \frac{x + 3}{2 - x}$ có nghĩa khi $\frac{x + 3}{2 - x} > 0$

$\Leftrightarrow - 3 < x < 2$

Câu 6. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 3)

A. $y = {(\sqrt{2})}^{x}$

B. $y = x$

C. $y = 2^{x}$

D. $y = {(\sqrt{2})}^{- x}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Nhận thấy đây là đồ thị hàm số dạng $y = a^{x}$ . Ta có $A (0; 1)$ và $B (2; 2)$ thuộc đồ thị hàm số.

Suy ra, $\{\begin{cases} a^{0} = 1 \\ a^{2} = 2 \\ a > 0 \end{cases} \Rightarrow a = \sqrt{2}$ . Hàm số là $y = {(\sqrt{2})}^{x}$ .

Câu 7. Đạo hàm của hàm số $y = \sin x + \log_{3} x^{3} (x > 0)$ là:

A. $y' = \cos x + \frac{3}{x \ln 3}$

B. $y' = - \cos x + \frac{3}{x \ln 3}$

C. $y' = \cos x + \frac{1}{x^{3} \ln 3}$

D. $y' = - \cos x + \frac{1}{x^{3} \ln 3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$y = \sin x + \log_{3} x^{3}$

$\Rightarrow y' = \cos x + \frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln 3}$

$= \cos x + \frac{3}{x \ln 3}$

Câu 8. Cho hàm số $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ . Đạo hàm $f^{/} (0)$ bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

$\Rightarrow f' (x) = \frac{(x^{4} + 1)'}{x^{4} + 1}$

$= \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

$\Rightarrow f' (0) = 0$

Câu 9. Cho hàm số $f (x) = x e^{x}$ . Gọi ${f^{/}}^{/} (x)$ là đạo hàm cấp hai của $f (x)$ . Ta có ${f^{/}}^{/} (1)$ bằng:

A. $3 e$

B. $- 3 e^{2}$

C. $e^{3}$

D. $- 5 e^{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$f (x) = x . e^{x}$

$\Rightarrow f' (x) = e^{x} + x . e^{x}$

$\Rightarrow f'' (x) = e^{x} + e^{x} + x . e^{x}$

$\Rightarrow f'' (1) = 3 e$

Câu 10. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 4)

A. $y = \log_{2} x$

B. $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

C. $y = \log_{\sqrt{2}} x$

D. $y = \log_{2} (2 x)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Nhận thấy đây là đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ . Điểm $(\frac{1}{2}; - 1)$ thuộc đồ thị hàm số nên $- 1 = \log_{a} \frac{1}{2}$ $\Rightarrow a^{- 1} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2$ .

Hàm số là $y = \log_{2} x$ .

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Nguyên hàm

Lý thuyết Tích phân

1 3,195 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3