Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài giảng Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. Lý thuyết
I. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f(x0) = M.
Kí hiệu:
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f(x0) = m.
Kí hiệu: .
- Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.
II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
1. Định lí.
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.
- Nhận xét:
Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi (xi < xi+ 1) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (xi; xi+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm xi nói trên.
- Quy tắc:
1. Tìm các điểm x1; x2; …; xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
2. Tính f(a); f(x1); f(x2); ….; f(xn); f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).
Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:
Ví dụ 2. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng .
Lời giải:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất .
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) Hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 2 trên đoạn [–1; 2].
b) Hàm số trên đoạn [– 4; – 2].
c) Hàm số trên đoạn [4; 6].
Lời giải:
Bài 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giá trị của M – 2m bằng bao nhiêu?
Lời giải
Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau. Tìm a để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 20] là 8.
Lời giải:
Theo bảng biến thiên ta có:
Theo giả thiết ta có:
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn là a = 8 hoặc a = – 8.
Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có
Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm với thiết lập Start 1, End 3 Step 0.2.
Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng - 2 khi X = 3
Câu 2. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Tính P = M - m.
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án: D
Giải thích:
Đạo hàm
Ta có
Câu 3. Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn tại . Tính
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Đạo hàm
Ta có
khi x = 3 =
Câu 4. Xét hàm số trên . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại và giá trị lớn nhất tại .
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại và giá trị lớn nhất tại .
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại nhưng không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại .
Đáp án: B
Giải thích:
Đạo hàm
Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn nên có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1.
Câu 5. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
A..
B..
C..
D..
Đáp án: A
Giải thích:
Đạo hàm
Ta có
Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).
Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
Bước 2: Nhập
Sau đó ấn phím = (nếu có g(X) thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập
(Chú ý: Thường ta chọn )
Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy
Câu 6. Tìm tập giá trị T của hàm số với .
A..
B..
C.
D. .
Đáp án: C
Giải thích:
Đạo hàm
Suy ra hàm số đồng biến trên nên
Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn
Câu 7. Xét hàm số trên đoạn . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là và giá trị lớn nhất là 2.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là và không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 2.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
Đáp án: D
Giải thích:
Vì và
nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
Câu 8. Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án: C
Giải thích:
Nhận thấy hàm số không xác định tại
Lại có
.
Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên
Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
TXĐ: .
Đạo hàm
Ta có
Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số .
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
TXĐ: Đạo hàm
Ta có
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12