Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\le M$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu: $M=\underset{D}{max}f\left(x\right)$

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu $f\left(x\right)\ge m$ với mọi x thuộc D và tồn tại x₀$\in$D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu: $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

- Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số không có giá trị lớn nhất.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 9 tại x = – 3.

II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

1. Định lí.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

- Nhận xét:

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó, f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.

Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x_i (x_i < x_{i+ 1}) mà tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y = f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng (x_i; x_i+1). Rõ ràng, giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a; b và tại các điểm x_i nói trên.

- Quy tắc:

1. Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a); f(x₁); f(x₂); ….; f(x_n); f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M=\underset{\text{[}a;b\text{]}}{\max }f\left(x\right);$$\hspace{0.17em}m=\underset{\text{[}a;b\text{]}}{\min }f\left(x\right)$

- Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; 1).

Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như ví dụ sau:

Ví dụ 2. Tìm giá trị lón nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}$ trên khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$.

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên trên ta thấy, trên khoảng $\left(0;\frac{3}{2}\right)$ hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x = 1 và tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất $\underset{\left(0;\frac{3}{2}\right)}{Max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) Hàm số y = 2x³ + 3x² – 12x + 2 trên đoạn [–1; 2].

b) Hàm số $y=\frac{x^2-3x}{x+1}$ trên đoạn [– 4; – 2].

c) Hàm số $y=\sqrt{x^2-4x}$ trên đoạn [4; 6].

Lời giải:

Bài 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x\sqrt{1-x^2}.$ Giá trị của M – 2m bằng bao nhiêu?

Lời giải

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau. Tìm a để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 20] là 8.

Lời giải:

Theo bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[0;20\right]}{\max }f\left(x\right)=\frac{1}{8}{a}^2$

Theo giả thiết ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{8}{a}^2=8 \\ \iff a^2=64 \\ \iff a=\pm 8 \end{gathered}$$

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn là a = 8 hoặc a = – 8.

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x^2-4x+1$ trên đoạn $\left[1;3\right].$

A. $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\frac{67}{27}.$

B. $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=-2.$

C. $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=-7.$

D. $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=-4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-4X-4$$\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\in \left[1;3\right]\\ x=-\frac{2}{3}\notin \left[1;3\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}f\left(1\right)=-4\\ f\left(2\right)=-7\\ f\left(3\right)=-2\end{array}\\ \end{array}\right.$

$\to \underset{\left[1:3\right]}{max} f\left(x\right)=-2$

Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm $f\left(X\right)=X^3-2X^2-4X+1$ với thiết lập Start 1, End 3 Step 0.2.

Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng - 2 khi X = 3

Câu 2. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=2x^3+3x^2-1$ trên đoạn $\left[-2;-\frac{1}{2}\right]$. Tính P = M - m.

A. $P=-5$.

B. $P=1$.

C. $P=4$.

D. $P=5$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=6x^2+6x$$\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right]\\ x=0\notin \left[-2;-\frac{1}{2}\right]\end{array}\right..$

Ta có $\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}f(-2)=-5\\ f(-1)=0\\ f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\end{array}\\ \end{array}\right.\end{array}$

$\left\{\begin{array}{l}m=\underset{\left[-2;\frac{1}{2}\right]}{min} f\left(x\right)=-5\\ M=\underset{\left[-2;\frac{1}{2}\right]}{max} f\left(x\right)=0\end{array}\right.$

$P= M-m=5$

Câu 3. Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[0;4\right]$ tại $x_0$ . Tính $P=x_0+2018.$

A. $P=3.$

B. $P=2019.$

C. $P=2021.$

D. $P=2018.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x-9$

$\to f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\notin \left[0;4\right]\\ x=3\in \left[0;4\right]\end{array}\right.$

Ta có $\left\{\begin{array}{c}f\left(0\right)=28\\ f\left(3\right)=1\\ f\left(4\right)=8\end{array}\right.$

$\to \underset{\left[0;4\right]}{min} f\left(x\right)=1$khi x = 3 = $x_0$

$\to P=2021$

Câu 4. Xét hàm số $f\left(x\right)=-\frac{4}{3}{x}^3-2x^2-x-3$ trên $\left[-1;1\right]$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ và giá trị lớn nhất tại $x=1$.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x=1$ và giá trị lớn nhất tại $x=-1$.

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ nhưng không có giá trị lớn nhất.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại $x=1$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=-4x^2-4x-1$

$=-{(2x-1)}^2\le 0\forall x\in R$

Suy ra hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn $\left[-1 , 1\right]$ nên có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1.

Câu 5. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn.

A.$\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=6$.

B.$\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=-2\left[2;4\right]$.

C.$\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=-3$.

D.$\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=\frac{19}{3}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đạo hàm

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=-1\notin [2;4]\\ x=3\in [2;4]\end{array}$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=7\\ f\left(3\right)=6\\ f\left(4\right)=\frac{19}{3}\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }\underset{[2;4]}{\min }f\left(x\right)=6.$

Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).

Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.

Bước 2: Nhập $f\left(X\right)=\frac{X^2+3}{X-1}.$

Sau đó ấn phím = (nếu có g(X) thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập $\left\{\begin{array}{l}\text{Start}=2\\ \text{End}=4\\ \text{Step}=0.2\end{array}\right..$

(Chú ý: Thường ta chọn $\text{Step}=\frac{\text{End}-\text{Start}}{10}$)

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy $\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=6.$

Câu 6. Tìm tập giá trị T của hàm số $f\left(x\right)=x^2+\frac{2}{x}$ với $x\in \left[3;5\right]$.

A.$T=\left[\frac{38}{3};\frac{526}{15}\right]$.

B.$T=\left[\frac{38}{3};\frac{142}{5}\right]$.

C. $T=\left[\frac{29}{3};\frac{127}{5}\right].$

D.$T=\left[\frac{29}{3};\frac{526}{15}\right]$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=2x-\frac{2}{x^2}$

$=\frac{2(x^3-1)}{x^2}>0,\forall x\in (3;5)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\left[3;5\right]$ nên

$\underset{\left[3;5\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=\frac{29}{3};$

$\underset{[3;5]}{\max }f\left(x\right)=f\left(5\right)=\frac{127}{5}$

Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $\left[\frac{29}{3};\frac{127}{5}\right].$

Câu 7. Xét hàm số $y=-x-\frac{4}{x}$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $-4$ và giá trị lớn nhất là 2.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $-4$ và không có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 2.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $0\in \left[-1;2\right]$ và $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=+\infty \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=-\infty \end{array}\right.$

nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Câu 8. Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[-2;2\right]$?

A. $y=x^3+2$.

B. $y=x^4+x^2$ .

C. $y=\frac{x-1}{x+1}$ .

D. $y=-x+1$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Nhận thấy hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1\in \left[-2;2\right].$

Lại có $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x+1}=-\infty ;$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x-1}{x+1}=+\infty$ .

Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên $\left[-2;2\right]$

Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}.$

A. $M=1.$

B. $M=2.$

C. $M=3.$

D. $M=4.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

TXĐ: $\text{D}=\left[2;4\right]$ .

Đạo hàm

$f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}$

$\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=3\in [2;4].$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=\sqrt{2}\\ f\left(3\right)=2\\ f\left(4\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.\stackrel{}{\to }M=2.$

Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số $f\left(x\right)=x+\sqrt{2-x^2}$.

A. $m=-\sqrt{2}.$

B. $m=-1.$

C. $m=1.$

D. $m=\sqrt{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ: $\text{D}=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right].$ Đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$

$\stackrel{}{\to }{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0$

$\iff \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}=1$

$\iff \sqrt{2-x^2}=x$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2-x^2=x^2\end{array}$

$\iff x=1\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}].$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\\ f\left(1\right)=2\\ f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\stackrel{}{\to }m=-\sqrt{2}.$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Đường tiệm cận

Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Lũy thừa

Lý thuyết Hàm số lũy thừa