Lý thuyết Nguyên hàm (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Lý thuyết Nguyên hàm lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm .
Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm
Bài giảng Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm
A. Lý thuyết
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm.
- Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi .
Ví dụ 1.
- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Vì với .
- Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Kí hiệu:
- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ 2.
2. Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1.
Ví dụ 3.
- Tính chất 2.
(k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng .
Lời giải:
Với ta có:
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ 5.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng .
b) Hàm số y = có nguyên hàm trên khoảng
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ví dụ 6. Tính:
Lời giải:
- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
II. Phương pháp tính nguyên hàm.
1. Phương pháp đổi biến số
- Định lí 1.
Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:
Ví dụ 7. Tính .
Lời giải:
Ta có: nên theo hệ quả ta có:
Chú ý:
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
Ví dụ 8. Tính
Lời giải:
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
- Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
- Chú ý.
Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:
Đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Ví dụ 9. Tính
Lời giải:
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại.
Lời giải:
a) Ta có:
Do đó, F(x) = là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3.
b) Ta có:
Do đó, F(x) = là một nguyên hàm của hàm số f(x) = .
c) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + 2 là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = – 2e–2x.
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến, tính:
Lời giải:
Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, tính:
a) ;
b) .
Lời giải:
Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm
Câu 1. Tính thu được kết quả là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có:
Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Ta có :
Đặt
Khi đó:
Thay ta được
Câu 3. Tính
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có: F(x) =
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số là
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có:
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số trên là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có:
Câu 6. Tính
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có:
Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
∫sin3xdx=
cos3x+C
Câu 8. Cho hàm số . Khi đó:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có:
Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số: là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có :
Đặt
Khi đó:
Thay ta được
Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có:
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12