Lý thuyết Nguyên hàm (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Nguyên hàm  lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm .

1 5,516 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

A. Lý thuyết

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Ví dụ 1.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng ;  + vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x;  +

- Hàm số F(x)=x+ ​2x3là một nguyên hàm của hàm số f(x)=  5(x3)2 trên khoảng (;  3)(3;+​ )

F'(x)=x+ ​2x3'=5(x3)2=f(x) với x(;3)(3;+).

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x)+C;  Chọ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: f(x)dx=F(x)+C

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ 2.

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

f'(x)dx  =  f(x)​  +  C

Ví dụ 3.

(4x)'dx=4x.ln4.dx=4x+C

- Tính chất 2.

kf(x)dx  =  k.f(x)dx(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

f(x)  ±g(x)dx=   f(x)  dx  ±g(x)  dx

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)  =  3x2  +​  2sinx trên khoảng ;  +​ .

Lời giải:

Với x;  +​  ta có:

(3x2  +2sinx)dx=3x2dx  +  2sinxdx=  x3+​ 2.(cosx) +​  C =   x32cosx +​  C

3. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ 5.

a) Hàm số y=  x có nguyên hàm trên khoảng 0;  +.

xdx=  x12dx=  23x32+  C=  23xx  +​  C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng ;  0  0;  +

1xdx  =  lnx  +​  C

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 6. Tính:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

II. Phương pháp tính nguyên hàm.

1. Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu f(u)du=  F(u)  +​  C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f(u(x)).u'(x)dx=  F(u(x))  +​  C

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

f(ax+ ​b)dx=  1aF(ax+​ b)+​ C

Ví dụ 7. Tính (3x+ ​2)3dx.

Lời giải:

Ta có: u3du=  u44  +​ C nên theo hệ quả ta có:

(3x+ ​2)3dx=  (3x+2)44  +​  C

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ 8. Tính sinx.cos2xdx

Lời giải:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx=u(x).v(x)  u'(x).v(x)dx

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

udv  =uv  vdu

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ 9. Tính

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các cặp hàm số sau, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại.

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta có: x44  +​  10'=  x44'+​ 10'=x3

Do đó, F(x) = x44  +​  10 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3.

b) Ta có:

2x  10'=  2x'10'=2.12x  0  =1x

Do đó, F(x) = 2x  10là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1x.

c) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + 2 là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = – 2e–2x.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến, tính:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, tính:

a) (x+ ​2).sinxdx;

b) (x+ ​1).lnxdx.

Lời giải:

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Nguyên hàm chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Câu 1. Tính dx1x thu được kết quả là:

A. C1x

B. 21x+C

C. 21x+C

D. 1x+C

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: dx1-x=-21-x+C

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số fx=x31x2 là:

A. 13x2+21x2+C

B. 13x2+11x2+C

C. 13x2+11x2+C

D. 13x2+21x2+C

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có : I=x31x2dx

Đặt t=1x2

t2=1x2

tdt=xdx

Khi đó: I=(1t2)ttdt

=(t21)dt=t33t+C

Thay t=1x2 ta được I=(1x2)331x2+C

=13x2+21x2+C

Câu 3. Tính F(x)=dxx2lnx+1

A. F(x)=22lnx+1+C

B. F(x)=2lnx+1+C

C. F(x)=142lnx+1+C

D. F(x)=122lnx+1+C

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: F(x) = d2lnx+1=2lnx+1+C

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số fx = x2 3x + 1x  

A. x443x22lnx+C

B. x333x22+lnx+C

C. x443x22+lnx+C

D. x33+3x22+lnx+C

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: x33x+1xdx

=x443x22+lnx+C

Câu 5. Nguyên hàm của hàm số y=3x1 trên 13;+ là:

A. 32x2x+C

B. 293x13+C

C. 32x2x+C

D. 193x13+C

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: 3x1.dx

=13.21+23x13+C

=293x13+C

Câu 6. Tính F(x)=x3x41dx

A. F(x)=lnx41+C

B. F(x)=14lnx41+C

C. F(x)=12lnx41+C

D. F(x)=13lnx41+C

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: x3x41dx

=14d(x41)x41

=14lnx41+C

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số y=sin3x

A. 13cos3x

B. 3cos3x

C. 3cos3x  

D. 13cos3x

Đáp án: A

Giải thích:

sin3xdx= -13
cos3x+C

Câu 8. Cho hàm số f(x)=5+2x4x2 . Khi đó:

A. f(x)dx=2x335x+C

B. f(x)dx=2x35x+C

C. f(x)dx=2x33+5x+C

D. f(x)dx=2x33+5lnx2+C

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 5+2x4x2dx

=5x2+2x2dx

=2x335x+C

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số: f(x)=x1+x2 là:

A. F(x)=131+x23

B. F(x)=131+x22

C. F(x)=x221+x22

D. F(x)=121+x22

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có : I=x1+x2dx

Đặt t=1+x2

t2=1+x2

tdt=xdx

Khi đó: I=t.tdt=t33+C

Thay t=1+x2 ta được I=(1+x2)33+C

Câu 10. Họ các nguyên hàm của hàm số y=sin2x là:

A. cos2x+C

B. 12cos2x+C

C. cos2x+C

D. 12cos2x+C

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: sin2xdx=-12cos2x +C

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Tích phân

Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Số phức

Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức

1 5,516 21/12/2023
Tải về