Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian.

1 2366 lượt xem
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

A. Lý thuyết

I. Tọa độ của điểm và của vecto

1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i;  j  ;  k lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì i;  j  ;  k là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên: i2=j2=k2=1i.j  =  j.  k  =  k.i  =0.

2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i;  j;  k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho: OM  =x.i+y.  j+z.k

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức OM  =  x.i  +y.j  +​ z.k.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z).

3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2; a3) sao cho a  =  a1.i  +a2.j  +​ a3.k.

Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto a đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a=(a1; a2 ; a3) hoặc a(a1; a2 ; a3).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto OM

Ta có: M(x; y; z)OM  (x;y;  z)

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 1. Cho u  (2;  3;4);  v  (  4;2;0)

a) Tính u  +​  v;

b) 2v;

c) u  2​  v.

Lời giải:

a) u+v= (2 + 4; -3-2; 4 + 0) = (6; -5; 4);

b) Ta có: 2v = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: u  2​  v= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto a=(a1;a2;a3),  b=(b1;b2;b3), ta có:

a=ba1=b1a2=b2a3=b3

b) Vecto 0 có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với b  0 thì hai vecto a;  b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

a=kb   (k)

a1=kb1a2=kb2a3=kb3  a1b1=a2b2=a3b3,(b1,  b2,  b30)

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho u  (2m;3;  1);  v(4;  3;n2). Tìm m và n để u  =  v

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Ta thấy 24  =  36  714

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: b  =  3a nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính AB;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

III. Tích vô hướng.

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto a=(a1;a2;a3),  b=(b1;b2;b3) được xác định bởi công thức: a.b=a1.b1+a2.b2+a3.b3

Ví dụ 5. Cho a(1;3;4);  b  (1;2;1). Tính a.b?

Lời giải:

Ta có: a.b = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto AB. Do đó, ta có:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto a  =  (a1;a2;a3)b  =  (b1;b2;b3) với a;  b  0 thì

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Từ đó, suy ra ab     a1b1+a2b2+a3b3=0

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

IV. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r=  A2  +  B2+​ C2D.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính R=  22+​ (1)2+02(1)=6

b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính R=  42+​ 12+(1)22= 4

B. Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

Bài 1. Cho ba vecto a(1;2;0);  b(0;2;3);  c(3;3;0)

a) Tính a+2b    c;

b) Tính 2a  b+​  13c

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. Cho các vecto a(1;2;3);  b  (2;0;3);  c  (1;2;1)

Tính a.b;  b.c

Lời giải:

a.b=  1.2+​  2.0  +(3).3=7b.c  =2.(1)+0.2+3.1=1

Bài 4. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:

a) x2 + y2 + z2 + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;

b) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + 2 = 0.

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 5. Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:

a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);

b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0)

Lời giải:

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3. Tìm tọa độ điểm A1 là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz)

A. A11;0;0

B. A10;2;3

C. A11;0;3

D. A11;2;0

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình mặt phẳng (Oxz): x = 0.

Tọa độ điểm A1 là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz) là:A10;2;3

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3;2;1. Tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua gốc tọa độ O là:

A. A'3;2;1

B. A'3;2;1

C. A'3;2;1

D. A11;2;0

Đáp án: A

Giải thích:

Tọa độ điểm A’ đối xứng với A(-3; 2; -1) qua gốc tọa độ O là: A'(3; -2; 1)

Câu 3. Cho hai điểm A3;1;2,B1;1;0, tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là:

A. M1;1;1

B. M2;2;2

C. M2;0;1

D. M1;2;1

Đáp án: A

Giải thích:

Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB nên:

xM=xA+xB2=3+12=1yM=yA+yB2=1+12=1zM=zA+zB2=2+02=1

M1;1;1

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;2;5,B3;6;3. Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng (Oyz) là điểm nào dưới đây?

A. P(3;0;0)

B. N(3;-1;5)

C. M(0;-2;4)

D. Q(0;0;5)

Đáp án: C

Giải thích:

Trung điểm I của AB có tọa độ I1;2;4

Vậy hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oyz) là: M0;2;4

Câu 5. Cho hai véc tơ um;2;1 v=0;n;p. Biết u=v, giá trị T=mn+p bằng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. – 1

Đáp án: D

Giải thích:

Do u = v nên m=0,n=2,p=1

Vậy mn+p=02+1=1

Câu 6. Cho hai điểm M1;2;2,N3;4;1. Tọa độ vec tơ OMON là:

A. (-2;6;3)

B. (2;-6;-3)

C. (-4;2;-1)

D. (2;2;-3)

Đáp án: B

Giải thích:

M1;2;2,N3;4;1 nên OM=1;2;2,

ON=(3;4;1)

Do đó, OMON=2;6;3

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vec tơ u=x;2;1 và vec tơ v=1;1;2x. Tính tích vô hướng của u v

A. -2 - x

B. 3x + 2

C. 3x - 2

D x + 2

Đáp án: C

Giải thích:

u.v=x.1+2.1+1.2x

=3x2

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho a2;3;3,b=0;2;1,c=3;2;5. Tìm tọa độ của vec tơ u=2a3b+4c

A. (16;-4;29)

B. (-16;-4;-29)

C. (-16;-4;29)

D. (-16;4;29)

Đáp án: C

Giải thích:

u=2a3b+4c

=22;3;330;2;1+43;2;5

=4;6;60;6;3+12;8;20

=16;4;29

Câu 10. Véc tơ đơn vị trên trục Oy là:

A. i

B. j

C. k

D. 0

Đáp án: B

Giải thích:

Véc tơ j là véc tơ đơn vị của trục Oy.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Mặt cầu

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 3

1 2366 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: