Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian.

1 2,195 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

A. Lý thuyết

I. Phương trình tham số của đường thẳng

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a=a1;a2;a3 làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn: x=x0+a1ty=y0+a2tz=z0+a2t

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a=a1;a2;a3 làm vectơ chỉ phương là x=x0+a1ty=y0+a2tz=z0+a2t

Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

xx0a1=yy0a2=zz0a3

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là u(1;2;1)

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là: x=  1+ty=2+2tz=2t

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận AB  (2;1;1) làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là: x=  2ty=1+tz=2t.

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

Gọi a  =(a1;  a2;a3);a'  =(a'1;  a'2;a'3) lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi a=  k.a'M  d'

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: a=  k.a'M  d'

Ví dụ 3. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

d:x=  3+2ty=23tz=  2+t;  d':x=  14ty=  2+6tz=  2t

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u(2;3;1) đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là v(4;  6;2)

Ta thấy: v  =2u;  Md'

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

x0+​ ta1=x'0+​ t'.a'1y0+​ ta2=y'0+​ t'.a'2z0+​ ta3=z'0+​ t'.a'3 (I)

Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 4. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

d:  x=  3+ty=2tz=  2+t;   d':  x=  3t'y=  2+t'z=  3

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

3+t=3t'2t=2+​ t'2+t  =3t=t't=t't=1t=1;  t'=1

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi a;  a' không cùng phương và hệ phương trình x0+​ ta1=x'0+​ t'.a'1y0+​ ta2=y'0+​ t'.a'2z0+​ ta3=z'0+​ t'.a'3 vô nghiệm.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

d:  x=  3+ty=23tz=  2+t  ;d':  x=  14t'y=  2+6t'z=  2t'

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương a(1;3;1)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là a'(4;  6;2)

Ta thấy, không tồn tại số thực k để a=k  a' nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

3+​ t=14t'  (1)23t  =2+6t'  (2)2+t  =  2t'  (3) (I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: x=x0+a1ty=y0+a2tz=z0+a2t

Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung. Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 6. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:  x=1+2ty=tz=  2+  tvà mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0.

Lời giải:
Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

2 + 4t + t + 2 – t = 0

4t + 4 = 0t = - 1.

Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:

a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) và B(1; 1; 1).

b) Đi qua A( -2; 1; 1) và song song với đường thẳng   x=1+2ty=tz=  2+  t

c) Đi qua M(0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 0; 1) và nhận vecto AB(3;  1;  0) làm vecto chỉ phương nên có phương trình:   x=2+3ty=tz=  1​ 

b) Đường thẳng đã cho có vecto chỉ phương là a(2;1;1)

Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng đã cho nên vecto chỉ phương của d là a(2;1;1)

Phương trình tham số của d là x=2+2ty=1tz=  1​  +​  t

c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: n(1;2;1)

Vì d vuông góc với (P) nên vecto chỉ phương của d là n(1;2;1)

Phương trình tham số của d là   x= ​ty=2+2tz=  1​    t

Bài 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

a) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là: a(2;  1;  1)  ;a'  (1;1;1)

Không tồn tại số thực k để a  =  k.a' nên hai đường thẳng trên sẽ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:    2+2t=2+t'  (1)1t=t'   (2)  1​  +​  t=3+t'  (3) (I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t=53;  t'  =23

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho chéo nhau.

b). Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là: a(2;  2;  4)  ;a'  (1;1;  2)

Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1;1)

Ta thấy: a  =  2.a' và điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.

Bài 3. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x14=y1=z+13 và điểm M1;3;3. Phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d

A. xz4=0.

B. 2xy+3z+10=0.

C. 2xy+3z+5=0.

D. x+3y3z+10=0.

Đáp án: B

Giải thích:

nP=ud=(2;1;3)

(P):2xy+3z+10=0

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A0;2;1 B4;8;1. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A B

A. x2=y+23=z11.

B. x44=y+86=z12.

C. x2=y23=z+11.

D. x+14=y26=z12.

Đáp án: A

Giải thích:

AB=(4;6;2)

AB:x2=y+23=z11

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:x=1+ty=22tz=3+t. Điểm M nào thuộc Δ?

A. M(2;1;3)

B. M(2;0;4)

C. M(1;-2;3)

D. M(1;2;-3)

Đáp án: B

Giải thích:

Ta thấy tọa độ điểm M(2; 0; 4) thỏa mãn nên M(2; 0; 4)

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;3;1,  B3;2;2. Gọi d là đường thẳng đi qua A, B. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d ?

A. x=1+2ty=3tz=13t

B. x=3+2ty=3tz=13t

C. x=5+2ty=1tz=53t

D. x=32ty=2+tz=2+3t

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1;0 B0;1;2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

A. b=1;0;2.

B. c=1;2;2.

C. d=1;2;2.

D. a=1;0;2.

Đáp án: A

Giải thích:

AB =(-1; 0; 2)

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi M1,M2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng M1M2?

A. u2=1;2;0.

B. u3=1;0;0.

C. u4=1;2;0.

D. u4=1;2;0.

Đáp án: C

Giải thích:

M1(1;0;0),  M2(0;2;0)

M1M2=(1;2;0)

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x=1ty=2+3tz=2+t   t. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?

A. u=1;3;1.

B. u=1;2;2.

C. u=1;3;2.

D. u=1;3;1.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: u=(-1; 3; 1)

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;3,  B3;2;1. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng AB ?

A. x=1+2ty=3tz=4+3t

B. x=2+ty=1+3tz=34t

C. x=2+ty=1+tz=34t

D. x=1+2ty=1tz=4+3t

Đáp án: B

Giải thích:

AB=(1;3;4)

d:{x=2+ty=1+3tz=34t

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d:x=1+ty=22tz=3+t. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d ?

A. M0;4;2.

B. N1;2;3.

C. P1;2;3.

D. Q2;0;4.

Đáp án: C

Giải thích: Ta thấy: P1; -2; 3d

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A1;2;3 B3;1;1

A. x=1+ty=2+2tz=13t

B. x=1+3ty=2tz=3t

C. x=1+2ty=23tz=3+4t

D. x=1+2ty=53tz=7+4t

Đáp án: D

Giải thích:

AB=(2;3;4)

d:{x=1+2ty=53tz=7+4t

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Mặt cầu

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Ôn tập chương 3

1 2,195 21/12/2023
Tải về