Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

A. Lý thuyết

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay.

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường C. Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ một góc 360⁰ thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc ∆ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với ∆.

Như vậy, khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ∆ thì đường C sẽ tạo thành một hình được gọi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng ∆ được gọi là trục của mặt tròn xoay đó.

II. Mặt nón tròn xoay

1. Định nghĩa.

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 0⁰ < β < 90⁰. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.

Người thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

Đường thẳng ∆ là trục, đường thẳng d là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.

a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

b) Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Người ra gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón.

Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón. Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón.

Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

$S_{xq}=\pi rl$ (r là bán kính đường tròn đáy, l là độ dài đường sinh).

- Người ta gọi tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.

- Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi trải dài ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh của hình nón và một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh của hình nón.

Ví dụ 1. Một hình nón tròn xoay có đường cao h = 20, bán kính đáy r = 25.

a) Tính diện tích xung quanh hình nón đã cho.

b) Tính diện tích toàn phần hình nón đã cho.

Lời giải:

4. Thể tích khối nón tròn xoay.

a) Định nghĩa.

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: $V=\frac{1}{3}B.h$

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B=\pi r^2$, khi đó: $\text{}V=\frac{1}{3}\pi r^2.h$

Ví dụ 2. Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, $AB=a\sqrt{10},$BC = 2a. Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

Lời giải:

III. Mặt trụ tròn xoay.

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.

Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay này là mặt trụ. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay.

a) Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình này xung quanh đường thẳng chứa một cạnh – giả sử là AB; thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ.

- Khi quay quanh AB; hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.

Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ, phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy gọi là chiều cao của hình trụ.

b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi tắt là khối trụ.

Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là những điểm ngoài của khối trụ.

Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ được gọi là những điểm trong của khối trụ.

Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thú tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.

a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:

$S_{xq}=2\pi rl$ ( r là bán kính của hình trụ, l là độ dài đường sinh của hình trụ).

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.

Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh bằng chu vi của đường tròn đáy. Độ dài đường sinh l bằng chiều cao h của hình trụ. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD cạnh 8. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB

và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN.

Tính diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành

Lời giải:

Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ như hình vẽ.

Khi đó, bán kính hình trụ: $r=\frac{AB}{2}=4;h=AD=8$

Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành:

$S_{xq}=2\pi rh=64\pi$

4. Thể tích khối trụ tròn xoay.

a) Định nghĩa: Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: V = B.h.

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B=\pi r^2$, khi đó: $V=\pi r^{2}h$.

- Ví dụ 4. Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a = 2 có thể tích là?

Lời giải:

Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông ABCD như hình vẽ.

Hình vuông cạnh a = 2 nên AB = 2r = 2 .

Suy ra, bán kính của hình trụ là r = 1

Chiều cao hình trụ là h = AD = 2

Thể tích hình trụ: $V=\pi r^{2}h=2\pi$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy, $SC=a\sqrt{6}$. Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính thể tích của khối nón tròn xoay đó.

Lời giải:

Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có chiều cao SA, bán kính đáy là AC, SC là đường sinh và có thể tích là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi A{C}^2.SA \\ =\frac{1}{3}\pi .2a^2.2a=\frac{4\pi a^3}{3} \end{gathered}$$

Bài 2. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường

sinh bằng và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón.

Lời giải:

a) Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = $a\sqrt{2}$ và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là $\widehat{SAO}={60}^0$.

b) Thể tích của khối nón tròn xoay:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\frac{a\sqrt{6}}{2}$$=\frac{\pi a^3\sqrt{6}}{12}$ (đvtt).

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; góc $\widehat{BDC}={30}^0$. Quay hình chữ nhật

này xung quanh cạnh AD. Tính diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành?

Lời giải:

Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ.

Ta có: r = AB = a; h = BC = CD.tan30⁰.

Suy ra $h=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

$S_{xq}=2\pi rh=\frac{2\pi a^2}{\sqrt{3}}$

Bài 4. Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a. Mặt

phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng $\frac{a}{2}$. Tính diện tích thiết diện

của trụ cắt bởi (P).

Lời giải:

Hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a, khi đó OO’ = 2a.

Mặt phẳng (P) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích thước là 2a.

Kích thước còn lại là $2\sqrt{r^2-d^2}$$=2\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=a\sqrt{3}$

trong đó r = a bán kính đáy và $d=\frac{a}{2}$ là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng (P).

Diện tích thiết diện là $S\text{\hspace{0.17em}}=2a.a\sqrt{3}=2a^2\sqrt{3}$

Bài 5. Một hình thang vuông ABCD có đường cao $AD=\pi$, đáy nhỏ AB = $\mathrm{\pi }$, đáy

lớn $CD=2\pi$. Cho hình thang quay quanh CD, ta được khối tròn xoay có thể tích

bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Từ B kẻ BE vuông góc với CD tại E.

Khi quay hình thang quanh CD ta được khối tròn xoay gồm 2 phần:

V₁ là khối trụ có bán kính đáy $AD=\pi$ và chiều cao $\mathrm{AB} =\mathrm{\pi }$ nên :

$V_1=\pi .{\pi }^2.\pi ={\pi }^4$

và khối trụ V₂ là khối nón có đáy $BE=\pi$ và đường cao $EC=\pi$ nên :

$V_2=\frac{1}{3}.\pi .{\pi }^2.\pi =\frac{1}{3}{\pi }^4$

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V=V_1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{V}_2=\frac{4}{3}{\pi }^4$

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Câu 1. Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại điểm O và góc giữa hai đường thẳng là $\alpha$. Quay đường thẳng d’ quanh d thì số đo $\alpha$ bằng bao nhiêu để mặt tròn xoay nhận được là mặt nón tròn xoay?

A. $\alpha =0°$

B. $\alpha =50°$

C. $\alpha =90°$

D. $\alpha =180°$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d, d’ cắt nhau tại O và tạo thành góc $\alpha \left(0°<\alpha <90°\right)$

Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh d thì đường thẳng d’ sinh ra một mặt được gọi là mặt nón tròn xoay (gọi tắt là mặt nón).

Do đó điều kiện để có được mặt nón tròn xoay là góc $0°<\alpha <90°$

Câu 2. Cho hai điểm M, N cố định và đường thẳng $\Delta$ cố định thỏa mãn $MN\perp \Delta$, $d\left(M,\Delta \right)=d\left(N,\Delta \right)$. Có bao nhiêu đường tròn đi qua M, N và nhận $\Delta$ làm trục?

A. 1

B. 2

C. 0

D. Vô số

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa MN và vuông góc $\Delta ,O=\left(P\right)\cap \Delta$. Khi đó MO = NO nên M, N nằm trên đường tròn tâm O bán kính OM.

Do M, N, cố định nên (P), O cố định và (O,OM) cố định và duy nhất

Câu 3. Quay hình vuông ABCD quanh trục AC ta được:

A. 2 hình nón

B. 1 hình trụ

C. 2 hình trụ

D. 1 hình cầu

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Quan sát hình vẽ ta thấy khi quay hình vuông ABCD quanh trục AC ta được 2 hình nón.

Câu 4. Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra:

A. Một hình trụ

B. Một hình nón

C. Một hình nón cụt

D. Hai hình nón

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi O là giao điểm của AD và BC.

- Quay tam giác vuông ABO quanh BO ta được một hình nón.

- Quay tam giác vuông DCO quanh CO ta được một hình nón.

Vậy có tất cả hai hình nón được tạo thành.

Câu 5. Cho tam giác AOB vuông tại O. Quay tam giác quanh cạnh OA ta được hình nón có đường sinh và đường cao lần lượt là:

A. AB, OA

B. AB, OB

C. OA, OB

D. OB, OA

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Quan sát hình vẽ ta thấy đường sinh là AB và đường cao AO

Câu 6. Trục đường tròn là đường thẳng đi qua tâm và:

A. Vuông góc với một bán kính đường tròn

B. Vuông góc với một đường kính đường tròn

C. Vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn

D. Vuông góc với mặt phẳng chứa một đường kính

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trục của đường tròn là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

Câu 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân và có cạnh góc vuông bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích V của khối nón bằng:

A. $\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\pi a^3}{3}$

C. $\frac{4\pi a^3}{3}$

D. $\frac{2\pi a^3}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác ABC, theo bài ra ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại A, có $AB=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow BC=AB\sqrt{2}=2a$

$\Rightarrow$ Bán kính đáy của hình nón là: $r=\frac{1}{2}BC=a$ và chiều cao hình nón là $h=OA=\frac{1}{2}BC=a$

Vậy thể tích khối nón là: $\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi a^2.a=\frac{\pi a^3}{3}$

Câu 8. Một hình nón có bán kính đáy bằng 1, chiều cao nón bằng 2. Khi đó góc ở đỉnh của nón là thỏa mãn:

A. $\tan \phi =\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\cot \phi =\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\cos \phi =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D. $\sin \phi =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là $\Delta ABC$ cân tại A với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy của nón.

Gọi H là tâm đáy nón

$\Rightarrow$ H là trung điểm BC, $AH\perp BC$

Ta có: $HB=HC=1,AH=2$

Ta có: $2\phi =\widehat{BAC}\Rightarrow \alpha =\widehat{HAC}$

$AC=\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{5}$

$\cos \phi =\frac{AH}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Câu 9. Cho hình nón đỉnh S, tâm đáy là O, góc ở đỉnh là $135°$. Trên đường tròn

đáy lấy điểm A cố định và điểm M di động. Tìm số vị trí N để diện tích SAM đạt

giá trị lớn nhất.

A. Vô số

B. 3

C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$S_{SAM}=\frac{1}{2}SA.SM\sin \widehat{ASM}$

$=\frac{1}{2}S{A}^2\sin \widehat{ASM}\le \frac{1}{2}S{A}^2$

$\Rightarrow \max S_{SAM}=\frac{1}{2}S{A}^2$

Dấu “=” xảy ra khi $\sin \widehat{ASM}=1$

$\iff \widehat{ASM}=90°$

Có 2 điểm M như vậy (hai điểm đối xứng với nhau qua AB)

Câu 10. Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số $\frac{h}{r}$

A. $\frac{h}{r}=3$

B. $\frac{h}{r}=2$

C. $\frac{h}{r}=\frac{4}{3}$

D. $\frac{h}{r}=\frac{16}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Theo đầu bài ta có bán kính của khối cầu và khối nón đều bằng r

Từ dữ kiện đầu bài ta suy ra: $V_{non}=\frac{3}{4}.V_{cau}$

$\iff \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{3}{4}.\frac{4}{3}\pi r^3$

$\iff \frac{h}{r}=3$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Mặt cầu

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian