Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài giảng Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i² = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)² = –1.

Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của –16 là $\pm 4i$ vì ${\left(\pm 4i\right)}^2=-16$

Căn bậc hai của –5 là $\pm \sqrt{5}i$ vì ${\left(\pm \sqrt{5}i\right)}^2=-5$

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là $\pm i\sqrt{\left|a\right|}$.

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 với a; b ; c$\in ℝ;a\ne 0$.

Xét biệt số ∆ = b² – 4ac của phương trình. Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực $x=\frac{-b}{2a}$.

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là $\pm \sqrt{\Delta }$ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là $\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức $x_{1;2}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}$.

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n $(n\ge 1)$:

a₀.xⁿ + a₁.x^{n – 1} + ….+ a_n–1.x + a_n = 0

Trong đó; a₀ ; a₁;…..; a_n$\in ℂ;a_0\ne 0$đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: – 10; – 15; – 73; –144.

Lời giải:

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2z² + 4z + 3 = 0;

b) 5z² – 3z + 1 = 0;

c) –z² – 4z – 8 = 0.

Lời giải:

a) 2z² + 4z + 3 = 0 có a = 2; b = 4; c = 3

∆ = 4² – 4. 2.3 = – 8 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{-4\pm i\sqrt{8}}{2.2}$$\hspace{0.17em}=-1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.i$

b) 5z² – 3z + 1 = 0 có a = 5; b = –3; c = 1

∆ = (–3)² – 4. 5.1 = –11 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{3\pm i\sqrt{11}}{2.5}$$=\frac{3}{10}\pm \frac{\sqrt{11}}{10}i$

c) – z² – 4z – 8 = 0 có a = –1; b = – 4; c = –8

∆ = (– 4)² – 4.(–1).(–8) = 16 – 32 = –16 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

$z_{1;2}=\frac{4\pm 4i}{2.(-1)}$$\hspace{0.17em}=-2\pm 2i$

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z⁴ + 3z² + 2 = 0;

b) z⁴ – 3z² – 18 = 0.

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\left\{i;-i;i\sqrt{2};-i\sqrt{2}\right\}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là là $S=\left\{\pm i\sqrt{3};\pm \sqrt{6}\right\}$

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Câu 1: (Đề tham khảo – Bộ GD & ĐT 2018) Gọi $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $4{\text{z}}^2-4\text{z}+3=0$. Giá trị của biểu thức $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ bằng

A. $3\sqrt{2}$

B. $2\sqrt{3}$

C. 3

D. $\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $4{\text{z}}^2-4\text{z}+3=0$

$\iff z=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$\Rightarrow \left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\sqrt{3}$

Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức $1+\sqrt{2}i$ và $1-\sqrt{2}i$ là nghiệm?

A. ${\text{z}}^2+2\text{z}+3=0$

B. ${\text{z}}^2-2\text{z}-3=0$

C. ${\text{z}}^2-2z+3=0$

D. ${\text{z}}^2+2\text{z}-3=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(1+\sqrt{2}i\right)+\left(1-\sqrt{2}i\right)=2\\ \left(1+\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)=3\end{array}\right.$

$\Rightarrow z^2-2z+3=0.$

Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Kí hiệu ${\text{z}}_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $3{\text{z}}^2-z+1=0$ . Tính $P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$ .

A. $P=\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $P=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

C. $P=\frac{2}{3}$

D. $P=\frac{\sqrt{14}}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$3z^2-z+1=0$

$\iff z=\frac{1}{6}\pm \frac{\sqrt{11}}{6}i$

$\Rightarrow P=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Kí hiệu ${\text{z}}_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình ${\text{z}}^2-z+6=0$ . Tính $P=\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$ .

A. $P=\frac{1}{6}$

B. $P=\frac{1}{12}$

C. $P=-\frac{1}{6}$

D. $P=6$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=1\\ z_1{z}_2=6\end{array}\right.$

$\Rightarrow P=\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}$

$=\frac{z_2+z_2}{z_1{z}_2}=\frac{1}{6}.$

Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Kí hiệu ${\text{z}}_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình ${\text{z}}^2+4=0$ . Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của ${\text{z}}_1,z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính $T=OM+ON$ với O là gốc tọa độ.

A. $\sqrt{2}$

B. 2

C. 8

D. 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $z^2+4=0$

$\iff z=\pm 2i$

$\Rightarrow M(0;2),N(0;-2)$

$\Rightarrow T=OM+ON=4.$

Câu 6: (Đề minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu $z_1,z_2,z_3$ và $z_4$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${\text{z}}^4-z^2-12=0$ . Tính $T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\left|z_4\right|$.

A. $T=4$

B. $T=2\sqrt{3}$

C. $T=4+2\sqrt{3}$

D. $T=2+2\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$z^4-z^2-12=0$

$\iff [\begin{array}{l}{z}^2=4\\ z^2=-3\end{array}\iff [\begin{array}{l}z=\pm 2\\ z=\pm \sqrt{3}i\end{array}$

$\Rightarrow T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|+\left|z_4\right|$

$=4+2\sqrt{3}.$

Câu 7: (Đề minh họa lần 2 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu ${\text{z}}_0$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $4{\text{z}}^2-16\text{z}+17=0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức $w=i{z}_0$ ?

A. $M_1\left(\frac{1}{2};2\right)$

B. $M_2\left(-\frac{1}{2};2\right)$

C. $M_3\left(-\frac{1}{4};1\right)$

D. $M_4\left(\frac{1}{4};1\right)$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $4{\text{z}}^2-16\text{z}+17=0$

$\iff z=2\pm \frac{1}{2}i$

$\Rightarrow z_0=2+\frac{1}{2}i$

$\Rightarrow w=i{z}_0=-\frac{1}{2}+2i$

$\Rightarrow M(-\frac{1}{2};2).$

Câu 8: (Đề minh họa lần 3 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Kí hiệu ${\text{z}}_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2+z+1=0$ . Tính $P=z_1^2+z_2^2+z_1{z}_2$ .

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=-1\\ z_1{z}_2=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow P=z_1^2+z_2^2+z_1{z}_2$

$={(z_1+z_2)}^2-z_1{z}_2=0.$

Câu 9: (Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Gọi ${\text{z}}_1,z_2$ nghiệm của phương trình ${\text{z}}^2+4\text{z}+5=0$ .Tìm $w={\left(1+z_1\right)}^{100}+{\left(1+z_2\right)}^{100}$ .

A. $w=2^{50}i$

B. $w=-2^{51}$

C. $w=2^{51}$

D. $w=-2^{50}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $z^2+4\text{z}+5=0\iff z=-2\pm i$

Do đó $w={\left(1+z_1\right)}^{100}+{\left(1+z_2\right)}^{100}$

$={(1+i)}^{100}+{(1-i)}^{100}$

$={\left(2i\right)}^{50}+{(-2i)}^{50}$

$=-{2.2}^{50}=-2^{51}.$

Câu 10: (Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Tìm các căn bậc hai của -12 trong tập số phức $ℂ$ .

A. $\pm 4\sqrt{3}i$

B. $\pm 2\sqrt{3}i$

C. $\pm 2\sqrt{2}i$

D. $\pm 3\sqrt{2}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\sqrt{-12}=\sqrt{12i^2}=\pm 2\sqrt{3}i$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lý thuyết Ôn tập chương 1