Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit.

1 2,301 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

Bài giảng Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

A. Lý thuyết

I. Phương trình mũ

1. Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = b (a > 0; a ≠ 1).

Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.

Với b > 0 ta có: ax = bx = logab.

Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.

– Minh họa bằng đồ thị

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = ax và y = b là nghiệm của phương trình ax = b.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.

Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.

Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Kết luận:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

– Ví dụ 1. Giải phương trình 2x + 1 + 2x + 2 = 16.

Lời giải:

Ta có: 2x + 1 + 2x + 2 = 16.

2.2x + 4.2x = 16

6.2x = 16

2x  =83x=log283

Vậy x=log283.

2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số.

Ví dụ 2. Giải phương trình 3x+​ 2  =  1362x

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 3. Giải phương trình 4x – 5. 2x + 6 = 0

Lời giải:

Đặt t = 2x (với t > 0)

Phương trình đã cho trở thành: t2 – 5t + 6 = 0

t=2t=32x=  2  x=  12x=  3x=log23

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log23.

c) Logarit hóa.

– Ví dụ 4. Giải phương trình: 3x.  5x2  =1

Lời giải:

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log53.

II. Phương trình logarit

– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

– Ví dụ 5. Các phương trình log2x=4;log32x+2log4x=0… đều là phương trình logarit.

1. Phương trình logarit cơ bản

– Phương trình logarit cơ bản có dạng: logax = b (a > 0; a ≠ 1).

Theo định nghĩa logarit ta có:

logax = bx = ab

– Minh họa bằng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số y = loga x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = logax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi bR

Kết luận: Phương trình logax = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b.

2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.

a) Đưa về cùng cơ số

Ví dụ 6. Giải phương trình log3x + log9x = 6.

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.

b) Đặt ẩn phụ

– Ví dụ 7. Giải phương trình log52x  +3log5x=0

Lời giải:

Đặt t =log5x, phương trình đã cho trở thành:

t2 + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.

Với t = 0 thì log5x = 0 nên x = 1.

Với t = –3 thì log5x = –3 nên x = 5–3.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5–3.

c) Mũ hóa

– Ví dụ 8. Giải phương trình: log3(90 – 3x) = x + 2

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là 90 – 3x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với:

90 – 3x = 3x + 2 hay 90 – 3x = 9.3x

10.3x = 90

3x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình mũ.

a) 3x2+​ 2x1  =  9;

b) 2x+ 1 + 2x+ 2 + 2x+ 3 = 56;

c) 25x – 5x+ 1 + 6 = 0.

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 và x = –3.

b) 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 56.

2. 2x + 4.2x + 8.2x = 56

14. 2x = 56

2x = 4

x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

c) 25x – 5x+ 1 + 6 = 0

52x – 5. 5x + 6 = 0

Đặt t = 5x ( t > 0) phương trình trên trở thành: t2 – 5t + 6 = 0

t=2t=35x=25x  =  3x=log52x=log53

Vậy nghiệm của phương trình là x=log52;x=log53.

Bài 2. Giải phương trình logarit

a) log7(10 – x) = log7(x – 4);

b) log3(x + 2) – log3(4 – x) = 2;

c) log22x  7log2x  +​ 6=0;

d) log3(3x – 12) = 2x + 2.

Lời giải:

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3,4.

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = 64.

d) log3(3x – 12) = 2x + 2

Điều kiện: 3x – 12 > 0

Phương trình đã cho tương đương:

3x – 12 = 32x + 2 hay 9.32x – 3x + 12 = 0 (*)

Đặt t = 3x ( t > 0), phương trình (*) trở thành: 9t2 – t + 12 = 0

Phương trình trên vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình Logarit

Câu 1. Phương trình 42x+5=22x có nghiệm là:

A. 85

B. 3

C. 85

D. 125

Đáp án: A

Giải thích:

24x+10=22x

4x+10=2x

x=85

Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình 3x43x2=81

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Đáp án: A

Giải thích:

x43x24=0

x2=4x=±2

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0

Câu 3. Giải phương trình 4x=8x1

A. x=3

B. x=2

C. x=2

D. x=3

Đáp án: D

Giải thích:

4x=8x1

22x=23x1

2x=3x1

x=3

Câu 4. Phương trình 2x12x2x=x12 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1.

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình

2x12x2x=x12

2x1+x1=2x2x+x2x.*

Xét hàm số ft=2t+t trên , ta có f't=2tln2+1>0,t.

Suy ra hàm số ft đồng biến trên .

Nhận thấy * có dạng fx1=fx2x

x1=x2x

x12=0x=1.

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình log4log2x+log2log4x=2 là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. Nhiều hơn 2.

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 6. Giải phương trình log4x+1+log4x3=3

A. x=1±217

B. x=1+217

C. x=33

D. x=5

Đáp án: B

Giải thích:

Điều kiện: x+1>0x3>0x>3

Ta có:

log4x+1+log4x3=3

log4x+1x3=3

x+1x3=43

x22x67=0

=x=1±217

So sánh với điều kiện nghiệm của pt là x=1±217

Câu 7. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình log2x.log32x1=2log2x bằng:

A. 6

B. 26

C. 126

D. 216

Đáp án: C

Giải thích:

Điều kiện: x>12

Phương trình đã cho

log2x.log32x12=0

log2x=0log32x1=2

x=12x1=9

x=1(TM)x=5(TM)

13+53=126

Câu 8. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin2x2017cos2x=cos2x trên đoạn 0;π.

A. x=π.

B. x=π4.

C. x=π2.

D. x=3π4.

Đáp án: A

Giải thích:

Phương trình

Trắc nghiệm Phương trình mũ và phương trình Logarit có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 1)

Xét hàm số ft=2017t+t trên , ta có f't=2017tln2017+1>0,t.

Suy ra hàm số ft đồng biến trên .

Nhận thấy * có dạng fsin2x=fcos2x

sin2x=cos2x

cos2xsin2x=0

cos2x=0

x=π4+kπ2, k.

x0;π

x=π4;3π4

T=π4+3π4=π.

Câu 9. Phương trình 4x2+x+2x2+x+13=0 có bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Đáp án: B

Giải thích:

Phương trình tương đương với 4x2+x+2.2x2+x3=0.

Đặt t=2x2+x, t>0. Phương trình trở thành t2+2t3=0

t=1t=3 loai

Với t=1, ta được 2x2+x=1

x2+x=0

x=0x=1

Vậy chỉ có duy nhất nghiệm x=0 là nghiệm không âm.

Câu 10. Tập nghiệm của phương trình log2x21=log22x là:

A. 1+22

B. 2;41

C. 12;1+2

D. 1+2

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện: x21>02x>0x>1

Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương với

x21=2x

x22x1=0

x=1+2(tm)x=12(ktm)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1+2

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Nguyên hàm

Lý thuyết Tích phân

Lý thuyết Ứng dụng của tích phân trong hình học

1 2,301 21/12/2023
Tải về