Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit.
Lý thuyết Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit
Bài giảng Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit
A. Lý thuyết
I. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ cơ bản
– Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = b (a > 0; a ≠ 1).
Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa logarit.
Với b > 0 ta có: ax = bx = logab.
Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.
– Minh họa bằng đồ thị
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = ax và y = b là nghiệm của phương trình ax = b.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.
Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.
Nếu b > 0 ta có hai đồ thị như hình dưới đây. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.
Kết luận:
– Ví dụ 1. Giải phương trình 2x + 1 + 2x + 2 = 16.
Lời giải:
Ta có: 2x + 1 + 2x + 2 = 16.
2.2x + 4.2x = 16
6.2x = 16
Vậy .
2. Cách giải một số phương trình mũ cơ bản
a) Đưa về cùng cơ số.
– Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải:
b) Đặt ẩn phụ
– Ví dụ 3. Giải phương trình 4x – 5. 2x + 6 = 0
Lời giải:
Đặt t = 2x (với t > 0)
Phương trình đã cho trở thành: t2 – 5t + 6 = 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = log23.
c) Logarit hóa.
– Ví dụ 4. Giải phương trình:
Lời giải:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được:
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = – log53.
II. Phương trình logarit
– Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.
– Ví dụ 5. Các phương trình … đều là phương trình logarit.
1. Phương trình logarit cơ bản
– Phương trình logarit cơ bản có dạng: logax = b (a > 0; a ≠ 1).
Theo định nghĩa logarit ta có:
logax = bx = ab
– Minh họa bằng đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số y = loga x và đường thẳng b trên cùng một hệ tọa độ.
Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của các hàm số y = logax và đường thẳng y = b luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b
Kết luận: Phương trình logax = b (a > 0; a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b.
2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản.
a) Đưa về cùng cơ số
Ví dụ 6. Giải phương trình log3x + log9x = 6.
Lời giải:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 81.
b) Đặt ẩn phụ
– Ví dụ 7. Giải phương trình
Lời giải:
Đặt t =log5x, phương trình đã cho trở thành:
t2 + 3t = 0 nên t = 0 hoặc t = –3.
Với t = 0 thì log5x = 0 nên x = 1.
Với t = –3 thì log5x = –3 nên x = 5–3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 5–3.
c) Mũ hóa
– Ví dụ 8. Giải phương trình: log3(90 – 3x) = x + 2
Lời giải:
Điều kiện của phương trình là 90 – 3x > 0.
Phương trình đã cho tương đương với:
90 – 3x = 3x + 2 hay 90 – 3x = 9.3x
10.3x = 90
3x = 9 nên x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải phương trình mũ.
a) ;
b) 2x+ 1 + 2x+ 2 + 2x+ 3 = 56;
c) 25x – 5x+ 1 + 6 = 0.
Lời giải:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1 và x = –3.
b) 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 56.
2. 2x + 4.2x + 8.2x = 56
14. 2x = 56
2x = 4
x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
c) 25x – 5x+ 1 + 6 = 0
52x – 5. 5x + 6 = 0
Đặt t = 5x ( t > 0) phương trình trên trở thành: t2 – 5t + 6 = 0
Vậy nghiệm của phương trình là
Bài 2. Giải phương trình logarit
a) log7(10 – x) = log7(x – 4);
b) log3(x + 2) – log3(4 – x) = 2;
c) ;
d) log3(3x – 12) = 2x + 2.
Lời giải:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 7.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3,4.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = 64.
d) log3(3x – 12) = 2x + 2
Điều kiện: 3x – 12 > 0
Phương trình đã cho tương đương:
3x – 12 = 32x + 2 hay 9.32x – 3x + 12 = 0 (*)
Đặt t = 3x ( t > 0), phương trình (*) trở thành: 9t2 – t + 12 = 0
Phương trình trên vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Trắc nghiệm Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình Logarit
Câu 1. Phương trình có nghiệm là:
A.
B. 3
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Câu 2. Tổng các nghiệm của phương trình
A. 0
B. 1
C. 3
D. 4
Đáp án: A
Giải thích:
Tổng các nghiệm sẽ bằng 0
Câu 3. Giải phương trình
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Câu 4. Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 1.
B. 2
C. 3
D. 4
Đáp án: A
Giải thích:
Phương trình
Xét hàm số trên ta có
Suy ra hàm số đồng biến trên
Nhận thấy có dạng
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
Câu 5. Số nghiệm của phương trình là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. Nhiều hơn 2.
Đáp án: B
Giải thích:
Câu 6. Giải phương trình
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Điều kiện:
Ta có:
So sánh với điều kiện nghiệm của pt là
Câu 7. Tổng lập phương các nghiệm của phương trình bằng:
A. 6
B. 26
C. 126
D. 216
Đáp án: C
Giải thích:
Điều kiện:
Phương trình đã cho
Câu 8. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Phương trình
Xét hàm số trên ta có
Suy ra hàm số đồng biến trên
Nhận thấy có dạng
Vì
Câu 9. Phương trình có bao nhiêu nghiệm không âm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Đáp án: B
Giải thích:
Phương trình tương đương với .
Đặt , . Phương trình trở thành
Với , ta được
Vậy chỉ có duy nhất nghiệm là nghiệm không âm.
Câu 10. Tập nghiệm của phương trình là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Điều kiện:
Với điều kiện này thì phương trình đã cho tương đương với
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12