Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Lý thuyết

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Nhắc lại định nghĩa

- Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁; x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) lớn hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ $\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

- Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) f(x) đồng biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>\text{}0;$ $\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

f(x) nghịch biến trên K$\iff \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<\text{\hspace{0.17em}}0;$$\hspace{0.17em}\forall x_1;x_2\in K;(x_1\ne x_2)$

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Định lí:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

- Chú ý:

Nếu f’(x) = 0 với $\forall x\in \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}K$ thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

a) y = x² + 2x – 10;

b) $y=\frac{x+5}{2x-3}$

Lời giải:
a) Hàm số đã cho xác định với mọi x$\in ℝ$

Ta có đạo hàm y’ = 2x + 2

Và y’ = 0 khi x = – 1.

Lập bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-1;+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$.

b) $y=\frac{x+5}{2x-3}$

Hàm số đã cho xác định với $\forall x\ne \frac{3}{2}$

Ta có: $y\text{'}=\frac{-13}{{(2x-3)}^2}<0\forall x\ne \frac{3}{2}$

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right)$ và $\left(\frac{3}{2};+\text{\hspace{0.17em}}\infty \right)$

- Chú ý:

Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0\right);\forall x\in K$

Và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x³ – 6x² + 12x – 10.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x$\in R$

Ta có: y’ = 3x² – 12x + 12 = 3(x – 2)²

Do đó; y’ = 0 khi x = 2 và y’ > 0 với $\forall x\ne 2$

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên R.

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

1. Quy tắc

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x⁴ – 2x² – 3.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 4x³ – 4x

y’ = 0$\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (– 1; 0) và $(1;+\infty )$

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$ và (0; 1).

Ví dụ 4. Cho hàm số $y=-x^3+6x^2-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}9x+3$. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 3x² + 12x – 9

Và y’ = 0$\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1; 3); nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = – x⁴ + 2x² + 2;

b) y = x³ – 3x² + 1;

c) $y=\frac{x}{x\text{\hspace{0.17em}}+1}$

Lời giải:

a) Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = – 4x³ + 4x

$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$ và (0; 1).

Nghịch biến trên khoảng (–1; 0) và $(1;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$.

b) Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có: y’ = 3x² – 6x.

Và $y\text{'}=0\iff x=0;x=2$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$

Nghịch biến trên khoảng (0; 2).

c) $y=\frac{x}{x\text{\hspace{0.17em}}+1}$

Hàm số đã cho xác định với mọi $x\ne -1$

Ta có: $y\text{'}=\frac{1}{{(x+\text{}1)}^2};\forall x\ne -1$

Ta thấy với mọi x khác – 1 thì y’ > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $(-1;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$.

Bài 2. Chứng minh hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi $x\ne 0$.

Ta có: $y\text{'}=\frac{2x.x-1.(x^2-1)}{x^2}=\frac{x^2+\text{}1}{x^2};$$\hspace{0.17em}\forall x\ne 0$

Ta thấy, với mọi x ≠ 0 thì y’ > 0.

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $(0;+\text{\hspace{0.17em}}\infty )$ (đpcm).

Bài 3. Chứng minh hàm số $y=\sqrt{8x-x^2}$ đồng biến trên khoảng (0; 4); nghịch biến trên khoảng (4; 8).

Lời giải:

Điều kiện: $8x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 8$

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(8x-x^2)\text{'}}{2\sqrt{8x-x^2}}=\frac{8-2x}{2\sqrt{8x-x^2}}\\ y\text{'}=0\iff x=4\end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; 4) và nghịch biến trên khoảng (4; 8) (đpcm)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x+1}{1-x}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng$\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}$ .

Ta có $y\text{'}=\frac{2}{{(1-x)}^2}>0\text{, }\forall x\ne 1$

Hàm số đồng biến trên các khoảng

$(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{3x-1}{-4+2x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $ℝ$.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng$\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng$\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty \right)$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$ .

Ta có $y\text{'}=-\frac{10}{{(-4+2x)}^2}<0,\forall x\in D$.

Câu 3. Cho hàm số $y=-x^3+3x^2-3x+2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $ℝ$.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và nghịch biến trên khoảng$\left(1;+\infty \right)$.

D. Hàm số luôn đồng biến trên $ℝ$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ: $D=ℝ$.

Ta có

$y\text{'}=-3x^2+6x-3$

$=-3{(x-1)}^2\le 0\text{ , }\forall x\in ℝ$

Do đó hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $ℝ$ .

Câu 4. Hàm số $y=\sqrt{x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(\frac{1}{2};1\right).$

B. $\left(0;\frac{1}{2}\right).$

C. $\left(-\infty ;0\right).$

D. $\left(1;+\infty \right).$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$y^{\text{'}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}<0$

$\iff \{\begin{array}{l}x-x^2>0\\ 1-2x>0\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}0<x<1\\ x<\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\iff 0<x<\frac{1}{2}$.

Câu 5: Hàm số $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$ đồng biến trên khoảng

A. (-$\infty$; 1) $\cup$ (1; +$\infty$).

B. (-$\infty$; 1) và (1; +$\infty$).

C. R\{1}.

D. (-$\infty$; +$\infty$).

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $y=\frac{{\left(x-1\right)}^2-1}{x-1}$

$=x-1-\frac{1}{x-1}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=1+\frac{1}{{(x-1)}^2}>0,\forall x\ne 1$

Câu 6. Hàm số $y=\frac{x^2+x-3}{x+1}$ đồng biến trên các khoảng (các khoảng) nào sau đây?

A. (-2; 1).

B. (-$\infty$; +$\infty$).

C. (-$\infty$; -1) và (-1; +$\infty$).

D. (-$\infty$; +$\infty$)\{-1}.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $y=x-\frac{3}{x+1}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=1+\frac{3}{{(x+1)}^2}>0,\forall x\ne -1$.

Câu 7. Trên các khoảng nghịch biến của hàm số $y=\frac{x^2-3x-1}{2+x}$ có chứa bao nhiêu số nguyên âm?

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-3\right)\left(2+x\right)-\left(x^2-3x-1\right)}{{\left(2+x\right)}^2}$

$=\frac{x^2+4x-5}{{(2+x)}^2}<0$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x^2+4x-5<0\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ -5<x<1\end{array}\right.$

$\Rightarrow x\in \left\{-4;-3;-1\right\}$.

Câu 8. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; 0) và (6; + $\infty$).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 6).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-$\infty$; 0) và (2; +$\infty$).

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $y\text{'}=3x^2-6x<0\leftrightarrow 0<x<2$

Câu 9. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. y = x³ – 2x – 2.

B. y = x²⁰¹⁹ + x²⁰²¹ – 2.

C. y = -x³ + x + 3.

D. y = x²⁰¹⁸ + x²⁰²⁰ – 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có B đúng vì $y\text{'}=2019x^{2018}+2021x^{2010}⩾0, \forall x\in \mathrm{ℝ}$

Câu 10. Cho hàm $y=f\left(x\right)$số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2; 0).

B. (-$\infty$; -2).

C. (0; 2).

D. (0; +$\infty$).

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số nghịch biến trên $\left(-2;0\right)\cup \left(2;+\infty \right).$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Cực trị của hàm số

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết Đường tiệm cận

Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Lý thuyết Ôn tập chương 1