Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

A. Lý thuyết

I. Khối lăng trụ và khối chóp.

- Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.

Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

- Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.

- Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

Ví dụ 1. Ứng với hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH ta có khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH; ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác S.ABCD.

- Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của một hình lăng trụ (hình chóp hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh; cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng.

- Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.

II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

- Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Ví dụ 2.

- Các hình dưới đây là những khối đa diện

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện.

III. Hai đa diện bằng nhau.

1. Phép dời hình trong không gian.

- Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

- Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

- Ví dụ 3. Trong không gian, các phép biến hình sau đây gọi là phép dời hình :

a) Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$, là phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{v}$.

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua trục ∆) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ sao cho ∆ là đường trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ gọi là trục đối xứng của (H) .

Nhận xét:

+ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

+ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).

2. Hai hình bằng nhau

- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

- Ví dụ 4. Phép đối xứng tâm O biến đa diện (H) thành đa diện (H’). Phép đối xứng trục ∆, biến đa diện (H’) thành đa diện (H”). Do đó, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên biến hình (H) thành hình (H”).

Từ đó, suy ra các hình (H); (H’) và (H”) là bằng nhau.

IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H₁) và (H₂) sao cho (H₁) và (H₂) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H₁) và (H₂) với nhau để được khối đa diện (H).

- Ví dụ 5. Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.

Ta thấy rằng:

+ Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung.

+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp tam giác là S.ABC và S.ACD .

- Nhận xét. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình nào là đa diện?

Lời giải:

Trong các hình trên chỉ có hình 1 là hình đa diện.

Vì hình 1 là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Bài 2. Hãy phân chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành 5 khối tứ diện?

Lời giải:

Với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta có thể phân chia thành 5 khối tứ diện sau:

DA’D’C’; A’ABD; C’BCD; BA’B’C’ và BDCA’

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD là bằng nhau.

b) Chứng minh rằng các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình lập phương.

a) Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau vì qua phép đối xứng tâm O, hình chóp A.A’B’C’D’ biến thành hình chóp C’.CDAB (hay chính là hình chóp C’.ABCD).

b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ AA’D’.BB’C’.

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Câu 1. Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hình 1 là hình đa diện

Hình 2 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh không là cạnh chung của 2 đa giác.

Hình 3 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh không là cạnh chung của 2 đa giác nào.

Hình 4 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 3 đa giác.

Câu 2: Hình chóp có 50 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

A. 26

B. 21

C. 25

D. 49

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi n là số cạnh đa giác đáy của hình chóp đã cho. Ta có:

Số cạnh đáy bằng số cạnh bên nên tổng số cạnh của hình chóp là 2n.

Từ giả thiết suy ra 2n = 50, khi đó n = 25.

Vậy đa giác đáy có 25 cạnh. Suy ra số mặt bên của hình chóp là 25. Mặt khác hình chóp có 1 mặt đáy. Nên tổng số mặt của hình chóp đã cho là: 26.

Câu 3. Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hình 1 là hình đa diện.

Hình 2 không là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 3 mặt.

Hình 3 là hình đa diện.

Hình 4 là hình đa diện.

Vậy có tất cả ba hình đa diện.

Câu 4. Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Vì hình C vi phạm tính chất Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác.

Câu 5. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ?

A. 6

B. 10

C. 11

D. 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trong hình đa diện trên có tất cả 11 mặt.

Câu 6. Trong các hình dưới đây, hình nào là hình đa diện?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hình 1 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 4 đa giác.

Hình 2 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 3 đa giác.

Hình 4 không phải là hình đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 4 đa giác.

Hình 3 là hình đa diện vì nó thỏa mãn khái niệm hình đa diện.

Câu 7: Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là

A. 4 mặt phẳng.

B. 6 mặt phẳng.

C. 8 mặt phẳng.

D. 10 mặt phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Các mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện.

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Câu 8. Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Khối tứ diện đều có 4 mặt.

Khối chóp tứ giác có 5 mặt.

Khối lập phương có 6 mặt.

Khối 12 mặt đều có 12 mặt.

Khối có số mặt nhỏ nhất là khối tứ diện đều.

Câu 9. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh?

A. 8

B. 9

C. 12

D. 16.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hình đa diện đã cho có 16 cạnh.

Câu 10. Cho một hình đa diện. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích: Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

Lý thuyết Mặt cầu