Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

A. Lý thuyết

1. Phép cộng và phép trừ

– Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

– Tổng quát:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d).i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i

2. Phép nhân

– Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai đa thức, rồi thay i² = – 1 vào kết quả.

– Tổng quát:

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + adi + bci – bd

Vậy (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc).i

– Chú ý: Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực (giao hoán, kết hợp, cộng với 0, nhân với 1, tính chất phân phối,…).

B. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i) + (– 3 + 6i);

b) (– 6 + 2i) + (3 – 7i);

c) (3 – 2i) – (8 – 4i);

d) (– 4 + 2i) – (2 – 3i).

Lời giải:

a) (2 + 3i) + (– 3 + 6i)

= [2 + ( –3)] + (3 + 6).i

= –1 + 9i.

b) (– 6 + 2i) + (3 – 7i)

= (– 6 + 3) + (2 – 7).i

= –3 – 5i

c) (3 – 2i) – (8 – 4i)

= (3 – 8) + [ – 2 – (–4)].i

= –5 + 2i

d) (– 4 + 2i) – (2 – 3i)

= ( – 4 – 2) + [ 2 – ( – 3)].i

= – 6 + 5i

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – i). (4 – 2i);

b) (4 + 2i). (– 3 – i);

c) 4.(– 4 + 2i);

d) (– 3 + 4i) . 2i.

Lời giải:

a) (3 – i). (4 – 2i)

= [3. 4 – (– 1). (–2)] + [3. (–2) + (–1).4].i

= 10 – 10i

b) (4 + 2i). (– 3 – i)

= [4.(–3) – 2.(–1)] + [4.(–1) + 2.(–3)].i

= –10 – 10i

c) 4.( – 4 + 2i)

= 4.(–4) + 4.2i

= –16 + 8i.

d) (– 3 + 4i) . 2i

= –3. 2i + 4i. 2i

= – 6i + 8i²

= – 6i – 8

Bài 3. Tính

a) (2 – 2i)²;

b) (1 – 2i)³;

c) (–2 + 5i). (– 2 – 5i).

Lời giải:

a) (2 – 2i)²

= 2² – 2. 2.2i + (2i)².

= 4 – 8i + 4i²

= 4 – 8i – 4

= – 8i

b) ( 1 – 2i)³

= 1³ – 3. 1².2i + 3.1.(2i)² + (2i)³

= 1 – 6i + 3. 4i² + 8i².i

= 1 – 6i – 12 – 8i

= –11 – 14i

c) (–2 + 5i). (– 2 – 5i)

= (–2)² – (5i)²

= 4 – 25i²

= 4 + 25

= 29.

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Câu 1: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện $\overline{z}=\frac{1}{3}\left[{\left(\overline{1-2i}\right)}^2-z\right]$.

A. $z=-\frac{3}{4}-2i$.

B. $z=-\frac{3}{4}+2i$.

C. $z=2+\frac{3}{4}i$.

D. $z=2-\frac{3}{4}i$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$

$\Rightarrow x-yi=\frac{1}{3}[{\left(1+2i\right)}^2-\left(x+yi\right)]$

$\iff 3\left(x-yi\right)=-3+4i-x-yi$

$=-3-x+(4-y)i$

$\iff \{\begin{array}{l}3x=-3-x\\ -3y=4-y\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{4}\\ y=-2\end{array}$

Câu 2: Rút gọn biểu thức $P={\left(1-i\right)}^{2016}$.

A. $P=2^{1008}$.

B. $P=-2^{1008}$.

C. $P=2^{1008}i$.

D. $P=-2^{1008}i$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$P={\left[{\left(1-i\right)}^2\right]}^{1008}={\left(-2i\right)}^{1008}$

$=2^{2008}{\left(i^2\right)}^{504}=2^{2008}$

Câu 3: Cho số phức $z=a+bi,\left(a,b\in ℝ\right)$ thỏa mãn $z={\left(\frac{1-i}{1+i}\right)}^{2016}$. Tính tổng $S=a+b$.

A. -1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $z={(-i)}^{1008}={\left(i\right)}^{}$²504=1

Câu 4: Cho số phức $z=a+bi,\left(a,b\in ℝ\right)$ thỏa mãn $\overline{z}=\frac{{\left(1-2i\right)}^5}{2+i}$. Tính tổng $S=a+2b$.

A. 38.

B. 10.

C. 31.

D. 55.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\overline{z}=\left(-4+3i\right){\left(1-2i\right)}^2$

$=24+7i$

$\Rightarrow z=24-7i$

Câu 5: Cho số phức $z=1+z+{\left(1+z\right)}^2+{\left(1+i\right)}^3+\mathrm{...}+{\left(1+i\right)}^{20}$.Tìm phần thực a của số phức z

A. $z=1025-1025i$.

B. $z=-1025-1025i$.

C. $z=-1025+1025i$.

D. $z=1025+1025i$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$z=\left(1+i\right).\frac{{\left(1+i\right)}^{20}-1}{\left(1+i\right)-1}$

$=(1+i).\frac{{\left(2i\right)}^{10}-1}{i}$

$=(1+i).\frac{2^{10}.{\left(i^2\right)}^5-1}{i}$

$=-1025+1025i$

Câu 6: Cho số phức $z={\left(1+z\right)}^2+{\left(1+i\right)}^3+\mathrm{...}+{\left(1+i\right)}^{22}$. Tìm phần thực a của số phức z.

A. $a=-2^{11}$

B. $a=-2^{11}+2$

C. $a=-2^{11}-2$

D. $a=2^{11}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $z=\left(1+i\right).\left[\left(1+i\right).\frac{{\left(1+i\right)}^{21}-1}{\left(1+i\right)-1}\right]$

$=2[{\left(2i\right)}^{10}\left(1+i\right)-1]$

$=2[2^{10}.{\left(i^2\right)}^5\left(1+i\right)-1]$

$=2(-1-2^{10}-2^{10}.i)$

Câu 7: Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức $z=1+i+i^2+i^3+\mathrm{...}+i^{2016}$

A. $a=0,b=-1$.

B. $a=0,b=1$.

C. $a=1,b=1$.

D. $a=1,b=0$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$z=1+i.\frac{i^{2016}-1}{i-1}$

$=1+i.\frac{{\left(i^2\right)}^{1008}-1}{i-1}$

Câu 8: Tìm môđun của số phức $z=1+i^2+i^4+\mathrm{...}+i^{2n}+\mathrm{...}+i^{2016},$$n\in \mathbb{N}$

A. $\left|z\right|=2$.

B. $\left|z\right|=1$.

C. $\left|z\right|=1008$.

D. $\left|z\right|=2006$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$z=1+i^2.\frac{{\left(i^2\right)}^{1008}-1}{i^2-1}=1$

$\Rightarrow \left|z\right|=1$

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-i\right|=\left|z-1+2i\right|$. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left(2-i\right)z+1$ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

A. $x-7y-9=0$

B. $x+7y-9=0$

C. $x+7y+9=0$

D. $x-7y+9=0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $w=\left(2-i\right)z+1\iff z=\frac{w-1}{2-i}$

Suy ra $\left|z-i\right|=\left|z-1+2i\right|$

$\iff |\frac{w-1}{2-i}-i|=|\frac{w-1}{2-i}-1+2i|$

$\iff \left|\frac{w-1-2i+i^2}{2-i}\right|=\left|\frac{w-1-\left(1-2i\right)\left(2-i\right)}{2-i}\right|$

$\iff \left|w-2-2i\right|=\left|w-1+5i\right|$

Đặt $w=x+yi\left(x;y\in ℝ\right)$ ta có:

$\left|w-2-2i\right|=\left|w-1+5i\right|$

$\iff {(x-2)}^2+{(y-2)}^2={(x-1)}^2+{(y+5)}^2$

$\iff 2x+14y+18=0$

$\iff x+7y+9=0$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường thẳng $x+7y+9=0$.

Câu 10: Cho số phức $v=a+bi$. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z-v\right|=1$

A. Đường thẳng $\left(x-a\right)+\left(y-b\right)=1$

B. Đường thẳng $y=b$

C. Đường tròn ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=1$

D. Đường thẳng $x=a$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left(z-v\right)=1$ là đường tròn tâm I(v) = I(a;b) bán kính R = 1.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép chia số phức

Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều