Lý thuyết Phép chia số phức (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Phép chia số phức lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức.

1 1,797 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

A. Lý thuyết

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

$z + \bar{z}$ = (a + bi) + (a – bi) = 2a;

$z . \bar{z}$ = (a + bi). (a – bi) = a² – (bi)² = a² + b² = ${|z|}^{2}$

Do đó:

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: $z = \frac{c + d i}{a + b i}$ .

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Lời giải:

Giả sử $z = \frac{4 - 6 i}{1 + i}$

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy $\frac{4 - 6 i}{1 + i} = - 1 - 5 i$ .

– Tổng quát:

Giả sử $z = \frac{c + d i}{a + b i}$ . Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a² + b²).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương $\frac{c + d i}{a + b i}$ , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức z, biết:

a) z = 3 – 2i;

b) $z = - 2 + \sqrt{2} i$ ;

c) z = 4i.

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) (2 + i).z – (–1 + 4i) = 5 – 2i;

b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z;

c) $\frac{z}{4 + 3 i} + (4 - 8 i) = 6 - 10 i$

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Câu 1. Tìm số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức $z = \frac{2}{1 + i \sqrt{3}}$

A. $\bar{z} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\bar{z} = 1 + i \sqrt{3}$

C. $\bar{z} = 1 - i \sqrt{3}$

D. $\bar{z} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $z = \frac{2}{1 + i \sqrt{3}} = \frac{2 (1 - i \sqrt{3})}{(1 + i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})}$

$= \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\bar{z} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 2. Cho số phức $z = \frac{7 - 11 i}{2 - i}$ . Tìm phần thực và phần ảo của $\bar{z}$

A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng – 3

B. Phần thực bằng - 5 và phần ảo bằng 3

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3i

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$z = \frac{7 - 11 i}{2 - i} = \frac{(7 - 11 i) (2 + i)}{2^{2} + 1^{2}}$

$= \frac{14 + 11 + 7 i - 22 i}{5} = \frac{25 - 15 i}{5}$

$= 5 - 3 i$

$\Rightarrow \bar{z} = 5 + 3 i$

Vậy phần thực và phần ảo của $\bar{z}$ là 5 và 3

Câu 3. Số phức liên hợp của số phức $z = \frac{1}{1 + i}$ là:

A. $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

B. $1 + i$

C. $1 - i$

D. $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $z = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i) (1 - i)}$

$= \frac{1 - i}{1 - i^{2}} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1 - i}{2}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

$\Rightarrow \bar{z} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

Câu 4: Cho số phức $z \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1 - i}{z} + i = \frac{(2 - 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2$ . Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. $\frac{3}{2} < |z| \leq 2$ .

B. $|z| > 2$ .

C. $|z| \leq \frac{1}{2}$ .

D. $\frac{1}{2} \leq |z| \leq \frac{3}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z . \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{{|z|}^{2}}$

Do đó $\frac{1 - i}{z} + i = \frac{(2 - 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{1 - i}{z} + i = \frac{2 - 3 i}{z} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + 2 i}{z} = 2 - i$

$\Rightarrow z = \frac{- 1 + 2 i}{2 - i} = \frac{- 4 + 3 i}{5}$

Suy ra $|z| = 1$ .

Câu 5. Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức $\frac{1}{\bar{z}}$ với $z = 5 - 3 i$ . Tính tổng $S = a + b$

A. $S = 2$

B. $S = \frac{1}{17}$

C. $S = - 2$

D. $S = - \frac{1}{17}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $z = 5 - 3 i$ , suy ra $\bar{z} = 5 + 3 i$

Do đó $\frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{5 + 3 i} = \frac{5 - 3 i}{(5 + 3 i) (5 - 3 i)}$

$= \frac{5 - 3 i}{25 - 9 i^{2}} = \frac{5 - 3 i}{34} = \frac{5}{34} - \frac{3}{34} i$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{5}{34} \\ b = - \frac{3}{34} \end{matrix}$

$\Rightarrow S = a + b = \frac{1}{17}$

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn $\frac{1 - i}{z + 1} = 1 + i$ . Điểm M biểu diễn của số phức $w = z^{3} + 1$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:

A. M(2;-3)

B. M(2;3)

C. M(3;-2)

D. M(3;2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\Leftrightarrow z + 1 = \frac{1 - i}{1 + i}$

$\Leftrightarrow z + 1 = - i$

$\Rightarrow z = - 1 - i$

Suy ra $w = z^{3} + 1$

$= {(- 1 - i)}^{3} + 1$

$= - {(1 + i)}^{3} + 1 = 3 - 2 i$

$\Rightarrow M (3; - 2)$

Câu 7. Cho số phức $z = \frac{m + 3 i}{1 - i}, m \in R$ . Số phức $w = z^{2}$ có $|w| = 9$ . Khi các giá trị của m là:

A. $m = \pm 1$

B. $m = \pm 2$

C. $m = \pm 3$

D. $m = \pm 4$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$|w| = 9 \Rightarrow |z^{2}| = 9 \Leftrightarrow {|z|}^{2} = 9$

$\Leftrightarrow |z| = 3 \Leftrightarrow |\frac{m + 3 i}{1 - i}| = 3$

$\Leftrightarrow \frac{|m + 3 i|}{\sqrt{2}} = 3$

$\Leftrightarrow |m + 3 i| = 3 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + 9} = 3 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 9 = 18$

$\Leftrightarrow m^{2} = 9$

$\Leftrightarrow m = \pm 3$

Câu 8. Cho số phức $z = a + b i (a b \neq 0)$ . Tìm phần thực của số phức $w = \frac{1}{z^{2}}$

A. $- \frac{a b}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

B. $\frac{a^{2} + b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

C. $\frac{b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

D. $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$z = a + b i$

$\Rightarrow z^{2} = {(a + b i)}^{2}$

$= a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2}$

$= a^{2} - b^{2} + 2 a b i$
$w = \frac{1}{{(a + b i)}^{2}} = \frac{1}{a^{2} - b^{2} + 2 a b i}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{(a^{2} - b^{2} + 2 a b i) (a^{2} - b^{2} - 2 a b i)}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{{(a^{2} - b^{2})}^{2} - {(2 a b i)}^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b^{2} i^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} + 4 a^{2} b^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} - \frac{2 a b}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} i$

Nên phần thực của số phức w là: $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn $\frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2 + i$ , giá trị của $|z|$ bằng:

A. $\sqrt{5}$

B. $\sqrt{10}$

C. 1

D. $\sqrt{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2 + i$

$\Leftrightarrow \frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{z . \bar{z}} + 2 + i$

$\Leftrightarrow \frac{3 - 4 i}{z} = \frac{2 + 3 i}{z} + 2 + i$

$\Leftrightarrow 3 - 4 i = 2 + 3 i + (2 + i) . z$

$\Leftrightarrow (2 + i) . z = 1 - 7 i$

$\Leftrightarrow z = \frac{1 - 7 i}{2 + i} = - 1 - 3 i$

Vậy $|z| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$

Câu 10: Cho số phức $z \neq 0$ thỏa mãn $(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$ . Tính ${|z|}^{4} + {|z|}^{2}$ .

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Giả thiết $(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$

$\Leftrightarrow | z | + 2 i . | z | + 2 - i = \frac{\sqrt{10}}{z}$

$\Leftrightarrow | z | + 2 + (2 |z| - 1) i = \frac{\sqrt{10}}{z}$

Lấy môđun hai vế của (*), ta được

$\sqrt{{(|z| + 2)}^{2} + {(2 |z| - 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{|z|}$

$\Rightarrow | z | = 1$

Do đó: ${|z|}^{4} + {|z|}^{2} = 2$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện

1 1,797 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3