Lý thuyết Phép chia số phức (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Phép chia số phức lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức.

1 1,736 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

A. Lý thuyết

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

z+​  z¯  = (a + bi) + (a – bi) = 2a;

z.​  z¯   = (a + bi). (a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 =z2

Do đó:

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: z  =  c+dia+​  bi.

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Lời giải:

Giả sử z=  46i1+  i

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy 46i1+i  =  15i.

Tổng quát:

Giả sử z=  c+  dia+  bi. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a2 + b2).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương c+dia+bi, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Tìm nghịch đảo 1z của số phức z, biết:

a) z = 3 – 2i;

b) z=2+2i;

c) z = 4i.

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) (2 + i).z – (–1 + 4i) = 5 – 2i;

b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z;

c) z4+​  3i  +(48i)=  610i

Lời giải:

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Phép chia số phức chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Câu 1. Tìm số phức liên hợp z¯ của số phức z=21+i3

A. z¯=12+i32

B. z¯=1+i3

C. z¯=1i3

D. z¯=12i32

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: z=21+i3=21i31+i31i3

=22i34=12i32

Suy ra z¯=12+i32

Câu 2. Cho số phức z=711i2i. Tìm phần thực và phần ảo của z¯

A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng – 3

B. Phần thực bằng - 5 và phần ảo bằng 3

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3i

Đáp án: C

Giải thích:

z=711i2i=711i2+i22+12

=14+11+7i22i5=2515i5

=53i

z¯=5+3i

Vậy phần thực và phần ảo của z¯ là 5 và 3

Câu 3. Số phức liên hợp của số phức z=11+i là:

A. 12+12i

B. 1+i

C. 1-i

D. 1212i

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: z=11+i=1i1+i1i

=1i1i2=1i1+1=1i2

=1212i

z¯=12+12i

Câu 4: Cho số phức z0 thỏa mãn 1iz+i=23iz¯z2+2. Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. 32<z2.

B. z>2.

C. z12.

D. 12z32.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có 1z=z¯z.z¯=z¯z2

Do đó 1iz+i=23iz¯z2+2

1iz+i=23iz+2

1+2iz=2i

z=1+2i2i=4+3i5

Suy ra z=1.

Câu 5. Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức 1z¯ với z=53i. Tính tổng S=a+b

A. S=2

B. S=117

C. S=2

D. S=-117

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: z=53i, suy ra z¯=5+3i

Do đó 1z¯=15+3i=53i5+3i53i

=53i259i2=53i34=534334i

a=534b=334

S=a+b=117

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn 1iz+1=1+i. Điểm M biểu diễn của số phức w=z3+1 trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:

A. M(2;-3)

B. M(2;3)

C. M(3;-2)

D. M(3;2)

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có z+1=1i1+i

z+1=i

z=1i

Suy ra w=z3+1

=1i3+1

=(1+i)3+1=32i

M3;2

Câu 7. Cho số phức z=m+3i1i,mR. Số phức w=z2 w=9. Khi các giá trị của m là:

A. m=±1

B. m=±2

C. m=±3

D. m=±4

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

w=9z2=9z2=9

z=3m+3i1i=3

m+3i2=3

m+3i=32

m2+9=32

m2+9=18

m2=9

m=±3

Câu 8. Cho số phức z=a+biab0. Tìm phần thực của số phức w=1z2

A. aba2+b22

B. a2+b2a2+b22

C. b2a2+b22

D. a2b2a2+b22

Đáp án: D

Giải thích:

z=a+bi

z2=(a+bi)2

=a2+2abi+b2i2

=a2b2+2abi
w=1a+bi2=1a2b2+2abi

=a2b22abi(a2b2+2abi)(a2b22abi)

=a2b22abi(a2b2)2(2abi)2

=a2b22abia4+b42a2b24a2b2i2

=a2b22abia4+b42a2b2+4a2b2

=a2b22abia4+b4+2a2b2

=a2b22abi(a2+b2)2

=a2b2a2+b222aba2+b22i

Nên phần thực của số phức w là: a2b2a2+b22

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn 34iz=2+3iz¯z2+2+i, giá trị của z bằng:

A. 5

B. 10

C. 1

D. 2

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

34iz=2+3iz¯z2+2+i

34iz=2+3iz¯z.z¯+2+i

34iz=2+3iz+2+i

34i=2+3i+2+i.z

2+i.z=17i

z=17i2+i=13i

Vậy z=12+32=10

Câu 10: Cho số phức z0 thỏa mãn 1+2iz=10z2+i. Tính z4+z2.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án: B

Giải thích:

Giả thiết 1+2iz=10z2+i

|z|+2i.|z|+2i=10z

|z|+2+(2z1)i=10z

Lấy môđun hai vế của (*), ta được

z+22+2z12=10z

|z|=1

Do đó: z4+z2=2

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện

1 1,736 21/12/2023
Tải về