Lý thuyết Phép chia số phức (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

A. Lý thuyết

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

$z+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overline{z}$= (a + bi) + (a – bi) = 2a;

$z.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overline{z}$ = (a + bi). (a – bi) = a² – (bi)² = a² + b² =${\left|z\right|}^2$

Do đó:

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: $z=\frac{c+di}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}bi}$.

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Lời giải:

Giả sử $z=\frac{4-6i}{1+i}$

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy $\frac{4-6i}{1+\text{}i}=-1-5i$.

– Tổng quát:

Giả sử $z=\frac{c+di}{a+bi}$. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a² + b²).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương $\frac{c+\text{}di}{a+bi}$, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Lời giải:

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:

Lời giải:

Bài 2. Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức z, biết:

a) z = 3 – 2i;

b) $z=-2+\sqrt{2}i$;

c) z = 4i.

Lời giải:

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) (2 + i).z – (–1 + 4i) = 5 – 2i;

b) (4 – 4i)z – (6 – 8i) = (3 – i).z;

c) $\frac{z}{4+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3i}+(4-8i)=6-10i$

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Câu 1. Tìm số phức liên hợp $\overline{z}$ của số phức $z=\frac{2}{1+i\sqrt{3}}$

A. $\overline{z}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\overline{z}=1+i\sqrt{3}$

C. $\overline{z}=1-i\sqrt{3}$

D. $\overline{z}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $z=\frac{2}{1+i\sqrt{3}}=\frac{2\left(1-i\sqrt{3}\right)}{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1-i\sqrt{3}\right)}$

$=\frac{2-2i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\overline{z}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 2. Cho số phức $z=\frac{7-11i}{2-i}$. Tìm phần thực và phần ảo của $\overline{z}$

A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng – 3

B. Phần thực bằng - 5 và phần ảo bằng 3

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3i

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$z=\frac{7-11i}{2-i}=\frac{\left(7-11i\right)\left(2+i\right)}{2^2+1^2}$

$=\frac{14+11+7i-22i}{5}=\frac{25-15i}{5}$

$=5-3i$

$\Rightarrow \overline{z}=5+3i$

Vậy phần thực và phần ảo của $\overline{z}$ là 5 và 3

Câu 3. Số phức liên hợp của số phức $z=\frac{1}{1+i}$ là:

A. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$

B. $1+i$

C. $1-i$

D. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $z=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$

$=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1-i}{2}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

$\Rightarrow \overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$

Câu 4: Cho số phức $z\ne 0$ thỏa mãn $\frac{1-i}{z}+i=\frac{\left(2-3i\right)\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}+2$. Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. $\frac{3}{2}<\left|z\right|\le 2$.

B. $\left|z\right|>2$.

C. $\left|z\right|\le \frac{1}{2}$.

D. $\frac{1}{2}\le \left|z\right|\le \frac{3}{2}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z.\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$

Do đó $\frac{1-i}{z}+i=\frac{\left(2-3i\right)\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}+2$

$\iff \frac{1-i}{z}+i=\frac{2-3i}{z}+2$

$\iff \frac{-1+2i}{z}=2-i$

$\Rightarrow z=\frac{-1+2i}{2-i}=\frac{-4+3i}{5}$

Suy ra $\left|z\right|=1$.

Câu 5. Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức $\frac{1}{\overline{z}}$ với $z=5-3i$. Tính tổng $S=a+b$

A. $S=2$

B. $S=\frac{1}{17}$

C. $S=-2$

D. $S=-\frac{1}{17}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $z=5-3i$, suy ra $\overline{z}=5+3i$

Do đó $\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{5+3i}=\frac{5-3i}{\left(5+3i\right)\left(5-3i\right)}$

$=\frac{5-3i}{25-9i^2}=\frac{5-3i}{34}=\frac{5}{34}-\frac{3}{34}i$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=\frac{5}{34}\\ b=-\frac{3}{34}\end{array}\right.$

$\Rightarrow S=a+b=\frac{1}{17}$

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn $\frac{1-i}{z+1}=1+i$. Điểm M biểu diễn của số phức $w=z^3+1$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:

A. M(2;-3)

B. M(2;3)

C. M(3;-2)

D. M(3;2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\iff z+1=\frac{1-i}{1+i}$

$\iff z+1=-i$

$\Rightarrow z=-1-i$

Suy ra $w=z^3+1$

$={\left(-1-i\right)}^3+1$

$=-{(1+i)}^3+1=3-2i$

$\Rightarrow M\left(3;-2\right)$

Câu 7. Cho số phức $z=\frac{m+3i}{1-i},m\in R$. Số phức $\text{w}=z^2$ có $\left|\text{w}\right|=9$. Khi các giá trị của m là:

A. $m=\pm 1$

B. $m=\pm 2$

C. $m=\pm 3$

D. $m=\pm 4$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\left|\text{w}\right|=9\Rightarrow \left|z^2\right|=9\iff {\left|z\right|}^2=9$

$\iff \left|z\right|=3\iff \left|\frac{m+3i}{1-i}\right|=3$

$\iff \frac{\left|m+3i\right|}{\sqrt{2}}=3$

$\iff \left|m+3i\right|=3\sqrt{2}$

$\iff \sqrt{m^2+9}=3\sqrt{2}$

$\iff m^2+9=18$

$\iff m^2=9$

$\iff m=\pm 3$

Câu 8. Cho số phức $z=a+bi\left(ab\ne 0\right)$. Tìm phần thực của số phức $w=\frac{1}{z^2}$

A. $-\frac{ab}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

B. $\frac{a^2+b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

C. $\frac{b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

D. $\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$z=a+bi$

$\Rightarrow z^2={(a+bi)}^2$

$=a^2+2abi+b^2{i}^2$

$=a^2-b^2+2abi$
$w=\frac{1}{{\left(a+bi\right)}^2}=\frac{1}{a^2-b^2+2abi}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{(a^2-b^2+2abi)(a^2-b^2-2abi)}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{{(a^2-b^2)}^2-{\left(2abi\right)}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4-2a^2{b}^2-4a^2{b}^2{i}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4-2a^2{b}^2+4a^2{b}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4+2a^2{b}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{{(a^2+b^2)}^2}$

$=\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}-\frac{2ab}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}i$

Nên phần thực của số phức w là: $\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn $\frac{3-4i}{z}=\frac{\left(2+3i\right)\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}+2+i$, giá trị của $\left|z\right|$ bằng:

A. $\sqrt{5}$

B. $\sqrt{10}$

C. 1

D. $\sqrt{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\frac{3-4i}{z}=\frac{\left(2+3i\right)\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}+2+i$

$\iff \frac{3-4i}{z}=\frac{\left(2+3i\right)\overline{z}}{z.\overline{z}}+2+i$

$\iff \frac{3-4i}{z}=\frac{2+3i}{z}+2+i$

$\iff 3-4i=2+3i+\left(2+i\right).z$

$\iff \left(2+i\right).z=1-7i$

$\iff z=\frac{1-7i}{2+i}=-1-3i$

Vậy $\left|z\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{10}$

Câu 10: Cho số phức $z\ne 0$ thỏa mãn $\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i$. Tính ${\left|z\right|}^4+{\left|z\right|}^2$.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Giả thiết $\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i$

$\iff \left|z\right|+2i.\left|z\right|+2-i=\frac{\sqrt{10}}{z}$

$\iff \left|z\right|+2+(2\left|z\right|-1)i=\frac{\sqrt{10}}{z}$

Lấy môđun hai vế của (*), ta được

$\sqrt{{\left(\left|z\right|+2\right)}^2+{\left(2\left|z\right|-1\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{\left|z\right|}$

$\Rightarrow \left|z\right|=1$

Do đó: ${\left|z\right|}^4+{\left|z\right|}^2=2$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện