Lý thuyết Lôgarit (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Lôgarit

A. Lý thuyết

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}$$=3^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)$$={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

$$\begin{gathered} {\log }_{2}12+\text{\hspace{0.17em}}{\log }_2\frac{1}{3} \\ ={\log }_2\left(12.\frac{1}{3}\right) \\ ={\log }_{2}4=2 \end{gathered}$$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b{}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

$$\begin{gathered} \log {}_{5}75-{\log }_{5}3 \\ ={\log }_5\frac{75}{3} \\ ={\log }_{5}25=2 \end{gathered}$$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{l}\log {}_7{3}^6=6{\log }_{7}3\\ {\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{....}{\log }_{7}8$

Lời giải:

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính:

a) $a^{{\log }_{\sqrt[]{a}}8}$ với a > 0.

b) $4^{3{\log }_{8}3+2{\log }_{16}5}$

c) $a^{4lo{g}_{a^2}10}$

Lời giải:

Bài 2. Tính

a) $\frac{1}{2}{\log }_{7}36-{\log }_{7}14-3{\log }_7\sqrt[3]{21}$;

b) $3{\log }_{3}2+{\log }_{9}25-{\log }_{\sqrt{3}}3$;

c) ${\log }_{\sqrt{a}}{b}^3.{\log }_b{a}^4$ (a > 0; b > 0 và a; b đều khác 1).

Lời giải:

Bài 3. Biết log₇2 = m. Tính giá trị của biểu thức log₄₉ 28 theo m?

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Logarit

Câu 1. Cho các mệnh đề sau:

(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.

(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.

(III). $\ln \left(A+B\right)=\ln A+\ln B$ với mọi $A>0,B>0$.

(IV) ${\log }_{a}b.{\log }_{b}c.{\log }_{c}a=1$, với mọi $a,b,c\in ℝ$.

Số mệnh đề đúng là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.

Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.

Ta có $\ln A+\ln B=\ln \left(A.B\right)$ với mọi $A>0,B>0$. Do đó (III) sai.

Ta có ${\log }_{a}b.{\log }_{b}c.{\log }_{c}a=1$ với mọi $0<a,b,c\ne 1$. Do đó (IV) sai.

Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.

Câu 2. Cho $a,A,B,M,N$ là các số thực với $a,M,N$ dương và khác 1. Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

(I). Nếu $C=\sqrt{AB}$ với $AB>0$ thì $2\ln C=\ln A+\ln B$

(II). $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0\iff x\ge 1$

(III). $M^{{\log }_{a}N}=N^{{\log }_{a}M}$

(IV). $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)=-\infty$

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu $C=\sqrt{AB}$ với $AB>0$ thì $2\ln C=\ln \left|A\right|+\ln \left|B\right|$. Do đó (I) sai.

● Với $a>1$ thì $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0$

$\iff {\log }_{a}x\ge 0\iff x\ge 1$

● Với $0<a<1$ thì $\left(a-1\right){\log }_{a}x\ge 0$

$\iff {\log }_{a}x\le 0\iff x\ge 1$

Do đó (II) đúng.

Lấy lôgarit cơ số a hai vế của $M^{{\log }_{a}N}=N^{{\log }_{a}M}$, ta có

${\log }_a\left(M^{{\log }_{a}N}\right)={\log }_a\left(N^{{\log }_{a}M}\right)$

$\iff {\log }_{a}N.{\log }_{a}M={\log }_{a}M.{\log }_{a}N$ .

Do đó (III) đúng.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{\frac{1}{2}}x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[-{\log }_{2}x\right]$

$=-\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\log }_{2}x\right)=-\infty$

Do đó (IV) đúng.

Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng.

Câu 3. Điều kiện để ${\log }_{a}b$ có nghĩa là:

A. $a<0,b>0$

B. $0<a\ne 1,b<0$

C. $0<a\ne 1,b>0$

D. $0<a\ne 1,0<b\ne 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Điều kiện để ${\log }_{a}b$ có nghĩa là: $0<a\ne 1, b>0$

Câu 4. Điều kiện để biểu thức ${\log }_2\left(3-x\right)$ xác định là:

A. $x\le 3$

B. $x>3$

C. $x\ge 3$

D. $x<3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Để biểu thức ${\log }_2\left(3-x\right)$ xác định thì 3-x>0 => x < 3

Câu 5. Cho hàm số $f\left(x\right)={\left(x^{1+\frac{1}{2{\log }_{4}x}}+8^{\frac{1}{3{\log }_{x^2}2}}+1\right)}^{\frac{1}{2}}-1$ với $0<x\ne 1$. Tính giá trị biểu thức $P=f\left(f\left(2017\right)\right).$

A. $P=2016.$

B. $P=1009.$

C. $P=2017.$

D. $P=1008.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}{x}^{1+\frac{1}{2{\log }_{4}x}}=x^{1+\frac{1}{{\log }_{2}x}}\\ \end{array}$

$=x^{1+{\log }_{x}2}=x^{{\log }_x\left(2x\right)}=2x$

$8^{\frac{1}{3{\log }_{x^2}2}}=2^{3.\frac{1}{3.{\log }_{x^2}2}}$

$=2^{\frac{1}{{\log }_{x^2}2}}=2^{{\log }_2{x}^2}=x^2$

Khi đó $f\left(x\right)={\left(x^2+2x+1\right)}^{\frac{1}{2}}-1$

$={\left[{\left(x+1\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}-1=x.$

Suy ra $f\left(2017\right)=2017$

$\stackrel{}{\to }f\left(f\left(2017\right)\right)=f\left(2017\right)=2017.$

Câu 6. Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn mệnh đề đúng?

A. ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{b}c$

B. ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

C. ${\log }_a\frac{b}{c}=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$

D. ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$$\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)$

${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$$\left(0<a\ne 1;b,c>0\right)$

Câu 7. Nếu a > 1 và b > c > 0 thì:

A. ${\log }_{a}b>{\log }_{a}c$

B. ${\log }_{a}b<{\log }_{a}c$

C. ${\log }_{a}b<{\log }_{b}c$

D. ${\log }_{a}b>{\log }_{c}b$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì log_ab > log_ac

Câu 8. Cho $a,b$ là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn $ab\ne 1.$ Rút gọn biểu thức $P=\left({\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2\right)\left({\log }_{a}b-{\log }_{ab}b\right){\log }_{b}a-1$.

A. $P={\log }_{b}a.$

B. $P=1.$

C. $P=0.$

D. $P={\log }_{a}b.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết, ta có

$P=\left({\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2\right)$

$\times ({\log }_{a}b-\frac{1}{1+{\log }_{b}a}).{\log }_{b}a-1$

$\stackrel{t={\log }_{b}a}{\to }\left(t+\frac{1}{t}+2\right)\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)t-1$

$=\frac{{(t+1)}^2}{t}.\frac{1}{t(t+1)}t-1$

$=\frac{t+1}{t}-1=\frac{1}{t}={\log }_{a}b.$

Câu 9. Cho ba điểm $A\left(b;{\log }_{a}b\right),B\left(c;2{\log }_{a}c\right)$, $C\left(b;3{\log }_{a}b\right)$ với $0<a\ne 1,$ $b>0$. Biết B là trọng tâm của tam giác OAC với O là gốc tọa độ. Tính $S=2b+c.$

A. 9

B. 7

C. 11

D. 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên

$\left\{\begin{array}{l}\frac{0+b+b}{3}=c\\ \frac{0+{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b}{3}=2{\log }_{a}c\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}b+b=3c\\ 4{\log }_{a}b=6{\log }_{a}c\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{l}2b=3c\\ 2{\log }_{a}b=3{\log }_{a}c\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2b=3c\\ {\log }_a{b}^2={\log }_a{c}^3\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2b=3c\\ b^2=c^3\end{array}\right.$

$\stackrel{c>0}{\to }\{\begin{array}{l}b=\frac{27}{8}\\ c=\frac{9}{4}\end{array}$

$\stackrel{}{\to }S=2b+c=9.$

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính $I={\log }_{\frac{a}{4}}\left(\frac{a^3}{64}\right)$

A. $I=3$

B. $I=\frac{1}{3}$

C. $I=-\frac{1}{3}$

D. $I=-3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $I={\log }_{\frac{a}{4}}\left(\frac{a^3}{64}\right)$

$={\log }_{\frac{a}{4}}{\left(\frac{a}{4}\right)}^3$

$=3{\log }_{\frac{a}{4}}\frac{a}{4}=3$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Nguyên hàm