Lý thuyết Lôgarit (2024) và bài tập có đáp án

Lý thuyết Lôgarit lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Lôgarit.

1 3,275 26/09/2024
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Lôgarit

I. Lý thuyết về lôgarit

1. Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

α=  logab  aα  =  b

Ví dụ 1.

a) log3 27 = 3 vì 33 = 27.

b) log4116  =  242=  116.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

alogab    =b;  loga(aα)  =  α

Ví dụ 2.

42log43=  4log432=32=  19

log3127=log333  =  3

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

loga(b1.b)2  =logab1+logab2

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

log212+​ log213=log212.13=log24  =2

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

logab1b2=logab1logab2

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: loga1b  =  logab( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

– Ví dụ 4.

log575  log53=log5753=  log525   =2

3. Logarit của một lũy thừa

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

logabα  =  αlogab

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: logabn  =1nlogab

– Ví dụ 5.

log736=6log73log345  =  15log34

III. Đổi cơ số logarit

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

logab=logcblogca

– Đặc biệt:

logab  =  1logba    (b1)logaαb  =  1αlogab    (α0)

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 5log11258

b) log23.  log34.....log78

Lời giải:

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

logeb được viết là lnb.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tính:

a) aloga8 với a > 0.

b) 43log83+2log165

c) a4loga210

Lời giải:

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Tính

a) 12log736log7143log7213;

b) 3log32+log925log33;

c) logab3.logba4 (a > 0; b > 0 và a; b đều khác 1).

Lời giải:

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. Biết log72 = m. Tính giá trị của biểu thức log49 28 theo m?

Lời giải:

Lý thuyết Lôgarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Logarit

Câu 1. Cho các mệnh đề sau:

(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương.

(II). Chỉ số thực dương mới có logarit.

(III). lnA+B=lnA+lnB với mọi A>0, B>0.

(IV) logab.logbc.logca=1, với mọi a, b, c.

Số mệnh đề đúng là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án: A

Giải thích:

Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.

Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.

Ta có lnA+lnB=lnA.B với mọi A>0, B>0. Do đó (III) sai.

Ta có logab.logbc.logca=1 với mọi 0<a, b, c1. Do đó (IV) sai.

Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng.

Câu 2. Cho a,  A,  B,  M,  N là các số thực với a,  M,  N dương và khác 1. Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?

(I). Nếu C=AB với AB>0 thì 2lnC=lnA+lnB

(II). a1logax0x1

(III). MlogaN=NlogaM

(IV). limx+log12x=

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu C=AB với AB>0 thì 2lnC=lnA+lnB. Do đó (I) sai.

● Với a>1 thì a1logax0

logax0x1

● Với 0<a<1 thì a1logax0

logax0x1

Do đó (II) đúng.

Lấy lôgarit cơ số a hai vế của MlogaN=NlogaM, ta có

logaMlogaN=logaNlogaM

logaN.logaM=logaM.logaN .

Do đó (III) đúng.

Ta có limx+log12x=limx+log2x

=limx+(log2x)=

Do đó (IV) đúng.

Vậy ta có các mệnh đề (II), (III) và (IV) đúng.

Câu 3. Điều kiện để logab có nghĩa là:

A. a<0,b>0

B. 0<a1,b<0

C. 0<a1,b>0

D. 0<a1,0<b1

Đáp án: C

Giải thích:

Điều kiện để logab có nghĩa là: 0<a1, b>0

Câu 4. Điều kiện để biểu thức log23x xác định là:

A. x3

B. x>3

C. x3

D. x<3

Đáp án: D

Giải thích:

Để biểu thức log23-x xác định thì 3-x>0 => x < 3

Câu 5. Cho hàm số fx=x1+12log4x+813logx22+1121 với 0<x1. Tính giá trị biểu thức P=ff2017.

A. P=2016.

B. P=1009.

C. P=2017.

D. P=1008.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

x1+12log4x=x1+1log2x

=x1+logx2=xlogx2x=2x

813logx22=23.13.logx22

=21logx22=2log2x2=x2

Khi đó fx=x2+2x+1121

=[x+12]121=x.

Suy ra f2017=2017

ff2017=f2017=2017.

Câu 6. Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn mệnh đề đúng?

A. logabc=logab+logbc

B. logabc=logab+logac

C. logabc=logablogac

D. logabc=logab+logac

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: logabc=logab+logac  0<a1;b,c>0

logabc=logablogac  0<a1;b,c>0

Câu 7. Nếu a > 1 và b > c > 0 thì:

A. logab>logac

B. logab<logac

C. logab<logbc

D. logab>logcb

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì logab > logac

Câu 8. Cho a, b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn ab1. Rút gọn biểu thức P=logab+logba+2logablogabblogba1.

A. P=logba.

B. P=1.

C. P=0.

D. P=logab.

Đáp án: D

Giải thích:

Từ giả thiết, ta có

P=logab+logba+2

×(logab11+logba).logba1

t=logba  t+1t+21t1t+1t1

=(t+1)2t.1t(t+1)t1

=t+1t1=1t=logab.

Câu 9. Cho ba điểm Ab;logab, Bc;2logac, Cb;3logab với 0<a1, b>0. Biết B là trọng tâm của tam giác OAC với O là gốc tọa độ. Tính S=2b+c.

A. 9

B. 7

C. 11

D. 5

Đáp án: A

Giải thích:

Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên

0+b+b3=c0+logab+3logab3=2logac

b+b=3c4logab=6logac

{2b=3c2logab=3logac

{2b=3clogab2=logac3

2b=3cb2=c3

c>0{b=278c=94

S=2b+c=9.

Câu 10. Cho a là số thực dương khác 4. Tính I=loga4a364

A. I=3

B. I=13

C. I=13

D. I=3

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: I=loga4a364

=loga4a43

=3loga4a4=3

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Nguyên hàm

1 3,275 26/09/2024
Tải về