Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12
Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện.
Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Bài giảng Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện
A. Lý thuyết
I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:
a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.
b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:
V(H) = V(H1) + V(H2).
Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).
Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.
- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
II. Thể tích của khối lăng trụ.
Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h
Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
III. Thể tích khối chóp.
Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: .
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC đều nên AMBCSABC (định lí 3 đường vuông góc).
Vậy góc[(SBC);(ABC)] =
Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao
Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan600 =
Vậy V =
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
Vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên tam giác BDD’ vuông tại D, ta có:
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2
Suy ra : BD = 3a
Vì ABCD là hình vuông
Suy ra diện tích đáy ABCD : SABCD
Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:
V = B.h = SABCD.AA' = 9a3.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB.
Vì ∆ SAB đều
Mà nên
Ta có tam giác SAB đều cạnh a nên
Diện tích đáy ABCD là S = a2
Suy ra thể tích khối chóp đã cho :
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy ABC, SA = a.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Lời giải:
a) Ta có: ∆ ABC vuông cân tại B có
Diện tích tam giác ABC là
Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:
Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Câu 1. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có dộ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Ta có:
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, cạnh bên SC = 3a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Ta có:
Câu 3. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích: Công thức tính thể tích khối chóp
Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M, P, Q, E, F, N bằng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Đặc biệt hóa, coi ABCD.A’B’C’D’ là khối lập phương cạnh bằng 1
Dễ thấy PQEFNM là khối bát diện đều cạnh
Vậy
Câu 5. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC thì:
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Thể tích khối chóp đã cho là:
Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có: cân tại C
Áp dụng định lí Pitago cho vuông tại A ta có:
Câu 8. Nếu khối chóp OABC thỏa mãn và thì có thể tích là:
A. abc
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Thể tích khối đa diện OABC là:
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết , thể tích khối chóp S.ABC bằng:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có tam giác ABC vuông cân tại A và
Khi đó:
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:
Câu 10. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Đáp án: A
Giải thích:
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:
Thể tích hình hộp chữ nhật:
V = abh
Thể tích của lăng trụ là:
Diện tích toàn phần của khối lập phương:
Thể tích của khối lập phương:
Thể tích khối chóp là:
Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Giải sgk Hóa học 12 (sách mới) | Giải bài tập Hóa 12
- Lý thuyết Hóa học 12
- Giải sbt Hóa học 12
- Các dạng bài tập Hoá học lớp 12
- Giáo án Hóa học lớp 12 mới nhất
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12
- Soạn văn 12 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn 12 (sách mới)
- Soạn văn 12 (ngắn nhất)
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 12
- Văn mẫu lớp 12
- Giải sgk Sinh học 12 (sách mới) | Giải bài tập Sinh học 12
- Lý thuyết Sinh học 12 | Kiến thức trọng tâm Sinh 12
- Giải sgk Địa Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Địa lí 12
- Lý thuyết Địa Lí 12
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 12
- Giải sgk Vật Lí 12 (sách mới) | Giải bài tập Vật lí 12
- Giải sbt Vật Lí 12
- Lý thuyết Vật Lí 12
- Các dạng bài tập Vật lí lớp 12
- Giáo án Vật lí lớp 12 mới nhất
- Giải sgk Lịch sử 12 (sách mới) | Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 12
- Lý thuyết Lịch sử 12
- Giải sgk Giáo dục công dân 12
- Lý thuyết Giáo dục công dân 12
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 12 (sách mới) | Giải bài tập GDQP 12
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 12 | Kiến thức trọng tâm GDQP 12
- Lý thuyết Tin học 12
- Lý thuyết Công nghệ 12