Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện.

1 1,854 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

A. Lý thuyết

I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1) + V(H2).

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: V=13B.h.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên AMBCSABC (định lí 3 đường vuông góc).

Vậy góc[(SBC);(ABC)] =SMA^=600

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao AM​ =  a32

Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan600 =3a2

Vậy V = 13B.h=13SABC.SA=13.12AM.BC.SA=a338

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

Lời giải:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên tam giác BDD’ vuông tại D, ta có:

BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2

Suy ra : BD = 3a

Vì ABCD là hình vuôngAB=BD2=3a2

Suy ra diện tích đáy ABCD : SABCD=AB2=9a24

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

V = B.h = SABCD.AA' = 9a3.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì ∆ SAB đềuSH  AB

(SAB)(ABCD) nên SH  (ABCD)

Ta có tam giác SAB đều cạnh a nên SH=a32

Diện tích đáy ABCD là S = a2

Suy ra thể tích khối chóp đã cho :

V=13SABCD.SH=a336

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC=  a2, SA vuông góc với đáy ABC, SA = a.

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.

Lời giải:

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

a) Ta có: ∆ ABC vuông cân tại B có AC=a2AB=a

Diện tích tam giác ABC là SABC=12BA.BC=a22

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:VS.ABC=13SABC.SA=a36

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Câu 1. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có dộ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

A. a36

B. a33

C. a34

D. a38

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 2)

Ta có:

SΔBCD=12SABCD=12a2

VS.BCD=13SA.SBCD

=13a.12a2=a36

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, cạnh bên SC = 3a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. 3a32

B. a3

C. a32

D. 3a3

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 3)

Ta có:

SABC=12AB2=12a2

VS.ABC=13SC.SABC

=13.3a.12a2=12a3

Câu 3. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

A. V=Sh

B. V=12Sh

C. V=13Sh

D. V=16Sh

Đáp án: C

Giải thích: Công thức tính thể tích khối chóp V = 12Sh

Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M, P, Q, E, F, N bằng:

A. V4

B. V2

C. V6

D. V3

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 4)

Đặc biệt hóa, coi ABCD.A’B’C’D’ là khối lập phương cạnh bằng 1

VABCD.A'B'C'D'=1=V

Dễ thấy PQEFNM là khối bát diện đều cạnh

QE=12BD=22

Vậy

VPQEFNM=22323=16=V6

Câu 5. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó:

A. VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA+SB'SB+SC'SC

B. VS.ABCVS.A'B'C'=SA'SA.SB'SB.SC'SC

C. VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA=SB'SB=SC'SC

D. VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA.SB'SB.SC'SC

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC thì:

VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA.SB'SB.SC'SC

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. a3

B. 3a3

C. a33

D. 2a3

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 6)

Thể tích khối chóp đã cho là:

VSABCD=13SA.SABCD

=13.3a.a2=a3

Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, A'C=a5,BC=a,ACB^=45°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A. a33

B. a322

C. a326

D. a3212

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 7)

Ta có: ΔABC cân tại C

AC=BC=a

SABC=12AC.BC.sinC

=12.a.a.sin45°

=12a2.22=a224

Áp dụng định lí Pitago cho ΔAA'C vuông tại A ta có:

AA'=A'C2AC2

=5a2a2=2a

VABC.A'B'C'=AA'.SABC

=2a.a224=a322

Câu 8. Nếu khối chóp OABC thỏa mãn OA=a,OB=b,OC=c OAOB,OBOC,OCOA thì có thể tích là:

A. abc

B. abc3

C. abc2

D. abc6

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 8)

Thể tích khối đa diện OABC là:

VOABC=16abc

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết SA=BC=a, thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. a36

B. a312

C. a324

D. a33

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Khái niệm về thể tích của khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 9)

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A và

BC=aAB=AC=a2

Khi đó:

SABC=12AB.AC

=12.a2.a2=a24

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

VS.ABC=13SA.SΔABC

=13.a.a24=a312

Câu 10. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Đáp án: A

Giải thích:

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

Stp=Sxq+2ab=2ha+b+2ab

Thể tích hình hộp chữ nhật:

V = abh

Thể tích của lăng trụ là:

V=Sd.h

Diện tích toàn phần của khối lập phương:

Stp=6a2

Thể tích của khối lập phương:

V=a3

Thể tích khối chóp là:

V=13Sd.h

Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

Lý thuyết Mặt cầu

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

1 1,854 21/12/2023
Tải về