Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài giảng Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

A. Lý thuyết

I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V_(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V_(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1) = V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂) thì:

V_(H) = V_(H1) + V_(H2).

Số dương V_(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: $V=\frac{1}{3}B.h$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60^o. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên AM$\perp$BC$\Rightarrow$SA$\perp$BC (định lí 3 đường vuông góc).

Vậy góc[(SBC);(ABC)] =$\widehat{SMA}={60}^0$

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao $AM\text{\hspace{0.17em}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan60⁰ =$\frac{3a}{2}$

Vậy V = $\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SA$$=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AM.BC.SA$$=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

Lời giải:

Vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên tam giác BDD’ vuông tại D, ta có:

BD² = BD'² - DD'² = 9a²

Suy ra : BD = 3a

Vì ABCD là hình vuông$\Rightarrow AB=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

Suy ra diện tích đáy ABCD : S_ABCD$=A{B}^2=\frac{9a^2}{4}$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

V = B.h = S_ABCD.AA' = 9a³.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì ∆ SAB đều$\Rightarrow SH\perp AB$

Mà $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$ nên $SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta có tam giác SAB đều cạnh a nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích đáy ABCD là S = a²

Suy ra thể tích khối chóp đã cho :

$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SH$$=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, $AC=a\sqrt{2}$, SA vuông góc với đáy ABC, SA = a.

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.

Lời giải:

a) Ta có: ∆ ABC vuông cân tại B có $AC=a\sqrt{2}$$\hspace{0.17em}\Rightarrow AB=a$

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}BA.BC=\frac{a^2}{2}$

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SA=\frac{a^3}{6}$

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Câu 1. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và có dộ dài là a. Thể tích khối tứ diện S.BCD bằng:

A. $\frac{a^3}{6}$

B. $\frac{a^3}{3}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3}{8}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{1}{2}{a}^2$

$V_{S.BCD}=\frac{1}{3}SA.S_{BCD}$

$=\frac{1}{3}a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3}{6}$

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, cạnh bên SC = 3a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{3a^3}{2}$

B. $a^3$

C. $\frac{a^3}{2}$

D. $3a^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}A{B}^2=\frac{1}{2}{a}^2$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SC.S_{ABC}$

$=\frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}{a}^3$

Câu 3. Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

A. $V=Sh$

B. $V=\frac{1}{2}Sh$

C. $V=\frac{1}{3}Sh$

D. $V=\frac{1}{6}Sh$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích: Công thức tính thể tích khối chóp $V = \frac{1}{2}Sh$

Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M, P, Q, E, F, N bằng:

A. $\frac{V}{4}$

B. $\frac{V}{2}$

C. $\frac{V}{6}$

D. $\frac{V}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặc biệt hóa, coi ABCD.A’B’C’D’ là khối lập phương cạnh bằng 1

$\Rightarrow V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=1=V$

Dễ thấy PQEFNM là khối bát diện đều cạnh

$QE=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy

$V_{PQEFNM}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{6}=\frac{V}{6}$

Câu 5. Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó:

A. $\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}+\frac{SB\text{'}}{SB}+\frac{SC\text{'}}{SC}$

B. $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

C. $\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}=\frac{SB\text{'}}{SB}=\frac{SC\text{'}}{SC}$

D. $\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu A’, B’, C’ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác S.ABC thì:

$\frac{V_{S.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA\text{'}}{SA}.\frac{SB\text{'}}{SB}.\frac{SC\text{'}}{SC}$

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. $a^3$

B. $3a^3$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $2a^3$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Thể tích khối chóp đã cho là:

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}.3a.a^2=a^3$

Câu 7. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, $A\text{'}C=a\sqrt{5},BC=a,\widehat{ACB}=45°$. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:

A. $a^3\sqrt{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại C

$\Rightarrow AC=BC=a$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin C$

$=\frac{1}{2}.a.a.sin45°$

$=\frac{1}{2}{a}^2.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Áp dụng định lí Pitago cho $\Delta AA\text{'}C$ vuông tại A ta có:

$AA\text{'}=\sqrt{A\text{'}{C}^2-A{C}^2}$

$=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$

$\Rightarrow V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=AA\text{'}.S_{ABC}$

$=2a.\frac{a^2\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Câu 8. Nếu khối chóp OABC thỏa mãn $OA=a,OB=b,OC=c$ và $OA\perp OB,OB\perp OC,OC\perp OA$ thì có thể tích là:

A. abc

B. $\frac{abc}{3}$

C. $\frac{abc}{2}$

D. $\frac{abc}{6}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thể tích khối đa diện OABC là:

$V_{OABC}=\frac{1}{6}abc$

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết $SA=BC=a$, thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^3}{6}$

B. $\frac{a^3}{12}$

C. $\frac{a^3}{24}$

D. $\frac{a^3}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A và

$BC=a\Rightarrow AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Khi đó:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC$

$=\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^2}{4}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}$

$=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2}{4}=\frac{a^3}{12}$

Câu 10. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

B. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

D. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

$S_{tp}=S_{xq}+2ab=2h\left(a+b\right)+2ab$

Thể tích hình hộp chữ nhật:

V = abh

Thể tích của lăng trụ là:

$V=S_d.h$

Diện tích toàn phần của khối lập phương:

$S_{tp}=6a^2$

Thể tích của khối lập phương:

$V=a^3$

Thể tích khối chóp là:

$V=\frac{1}{3}{S}_d.h$

Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

Lý thuyết Mặt cầu

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian