Lý thuyết Lũy thừa (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Lũy thừa lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 1: Lũy thừa.

1 4,525 21/12/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

A. Lý thuyết

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

an = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a0 = 1 và an  =1an

Trong biểu thức am ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

00 và 0–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức:

A​  =  123.  8  +42.  24+​  133.127

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Phương trình xn = b.

Đồ thị của hàm số y = x2k + 1 có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 và đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xn = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc n

a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n (  n2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b.

Ví dụ 2. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xn = b; ta có:

Với n lẻ và bR: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là bn.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là bn; còn giá trị âm là -bn

b) Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức:

a) 93.  33;

b) (5)44.

Lời giải:

a) 93.  33

 =9.(3)3=  273  =  3

b) (5)44

=    5=  5

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ r  =  mn; trong đó m  ;n;  n2. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi: ar  =  amn  =  amn.

Ví dụ 4.

2713=  273  =  3.932=  93  =  27

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (rn) có giới hạn là α và dãy số tương ứng arn có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn).

– Ta gọi giới hạn của dãy số arn là thừa số của a với số mũ α, kí hiệu là aα.

aα  =  limn  +  arn với α=  limn+rn.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1α  =1;  (α)

II. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.  aβ  =aα+βaαaβ  =aα  βaαβ=aα.β(ab)α=aα.  bαabα  =   aαbα

Nếu a > 1 thì aα  >  aβ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì aα  >  aβ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

A  =  a5+​ 2.  a4  5a313+1 với a > 0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

A  =  a5+​ 2.  a4  5a313+1=  a5+​ 2+​  45​​a(31).(3+1)=  a6a2  =a4

Ví dụ 6. So sánh các số 233+​ 1232.

Lời giải:

Ta có: 3  +1>20<  23  <  1

Suy ra: 233+​ 1< 232.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Cho a, x là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. So sánh các số sau:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Câu 1. Cho m là số nguyên âm. Chọn kết luận đúng:

A. 54m>65m>1

B. 54m<65m<1

C. 54m<1<65m

D. 1<54m<65m

Đáp án: B

Giải thích:

1<65<54 mà m nguyên âm nên 1m>65m>54m

65m>54m

Câu 2. Cho nz, n > 0, với điều kiện nào của a thì đẳng thức sau xảy ra:

an=1an?

A. a > 0

B. a = 0

C. a 0

D. a < 0

Đáp án: C

Giải thích:

Với a0, n, n > 0 thì a-n=1an

Câu 3. Với a>1,m,nZ thì:

A. am>anm>n

B. am>anm<n

C. am>anm=n

D. am>anmn

Đáp án: A

Giải thích:

Với a > 1 thì am>anm>n

Câu 4. Chọn so sánh đúng:

A. 5m>5nm>n

B. 5m>5nm<n

C. 5m5nm=n

D. 5m>5nmn

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 5 > 1 nên 5m>5n m>n

Câu 5. Cho nZ,n<0 đẳng thức an=1an xảy ra khi:

A. a > 0

B. a = 0

C. a0

D. A < 0

Đáp án: C

Giải thích:

Với a0 thì an=1a-n

Câu 6. Với nN* thì a.a…..a (n thừa số a) được viết gọn lại là:

A. an

B. na

C. na

D. a + n

Đáp án: A

Giải thích:

Luỹ thừa với số mũ nguyên dương a:an=a.a...a (n thừa số a)

Câu 7. Cho a > 0, m,nZ,n2. Chọn kết luận đúng:

A. amn=amn

B. amn=amm

C. amn=amn

D. amn=amnm

Đáp án: A

Giải thích:

Cho a > 0; m, n , n 2 khi đó amn=amn

Câu 8. Cho mN*, so sánh nào sau đây không đúng:

A. 34m>12m

B. 1<43m

C. 23m<34m

D. 137m>2m

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án A: Vì 34>12,mN* nên 34m>12m (đúng)

Đáp án B: Vì 43>1,mN* nên 1=1m<43m ( đúng)

Đáp án C: Vì 23<34,mN* nên 23m<34m (đúng)

Đáp án D: Vì 137<2,mN* nên 137m<2m (sai)

Câu 9. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần a=13.8;b=21;c=123

A. b,c,a

B. c,a,b

C. c,b,a

D. b,a,c

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

a=13.8=1b=21=12=0,5c=123=23=8

Mà 0,5 < 1 < 8 => b < a < c

Câu 10. Cho a > 0, chọn kết luận đúng:

A. a32=a3

B. a32=a22

C. a32=a6

D. a32=a62

Đáp án: A

Giải thích:

Sử dụng định nghĩa luỹ thừa với số hữu tỉ: Cho a>0,m,nZ,n2 khi đó amn=amn

Khi đó ta có: a32=a3

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hàm số lũy thừa

Lý thuyết Lôgarit

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

1 4,525 21/12/2023
Tải về