Lý thuyết Lũy thừa (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Lũy thừa lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 1: Lũy thừa.

1 4,568 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Bài giảng Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

A. Lý thuyết

I. Khái niệm lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1. Tính giá trị biểu thức:

$A = {(\frac{1}{2})}^{- 3} . 8 + 4^{- 2} . 2^{4}$ $+ {(\frac{1}{3})}^{- 3} . \frac{1}{27}$

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc n

a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n $(n \geq 2)$ . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ = b.

Ví dụ 2. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xⁿ = b; ta có:

Với n lẻ và b $\in R$ : Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$ .

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ ; còn giá trị âm là $- \sqrt[n]{b}$

b) Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{9} . \sqrt[3]{- 3}$ ;

b) $\sqrt[4]{{(- 5)}^{4}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{9} . \sqrt[3]{- 3}$

$= \sqrt[3]{9. (- 3)} = \sqrt[3]{- 27} = - 3$

b) $\sqrt[4]{{(- 5)}^{4}}$

$= |- 5| = 5$

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ ; trong đó $m \in ℤ;$ $n \in ℕ; n \geq 2$ . Lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

Ví dụ 4.

$\begin{array}{l} 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3. \\ 9^{\frac{3}{2}} = \sqrt{9^{3}} = 27 \end{array}$

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số tương ứng $(a^{r_{n}})$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

– Ta gọi giới hạn của dãy số $(a^{r_{n}})$ là thừa số của a với số mũ α, kí hiệu là a^α.

$a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$ với $α = \lim_{n \to + \infty} r_{n}$ .

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: $1^{α} = 1; (α \in ℝ)$

II. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l} a^{α} . a^{β} = a^{α + β} \\ \frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β} \\ {(a^{α})}^{β} = a^{α . β} \\ {(a b)}^{α} = a^{α} . b^{α} \\ {(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}} \end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{α} > a^{β}$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{α} > a^{β}$ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

$A = \frac{a^{\sqrt{5} + 2} . a^{4 - \sqrt{5}}}{{(a^{\sqrt{3} - 1})}^{\sqrt{3} + 1}}$ với a > 0.

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

$A = \frac{a^{\sqrt{5} + 2} . a^{4 - \sqrt{5}}}{{(a^{\sqrt{3} - 1})}^{\sqrt{3} + 1}} = \frac{a^{\sqrt{5} + 2 + 4 - \sqrt{5}} }{a^{(\sqrt{3} - 1) . (\sqrt{3} + 1)}} = \frac{a^{6}}{a^{2}} = a^{4}$

Ví dụ 6. So sánh các số ${(\frac{2}{3})}^{\sqrt{3} + 1}$ và ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{3} + 1 > 2$ và $0 < \frac{2}{3} < 1$

Suy ra: ${(\frac{2}{3})}^{\sqrt{3} + 1}$ < ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 2. Cho a, x là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 3. So sánh các số sau:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lời giải:

Lý thuyết Lũy thừa chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Câu 1. Cho m là số nguyên âm. Chọn kết luận đúng:

A. ${(\frac{5}{4})}^{m} > {(\frac{6}{5})}^{m} > 1$

B. ${(\frac{5}{4})}^{m} < {(\frac{6}{5})}^{m} < 1$

C. ${(\frac{5}{4})}^{m} < 1 < {(\frac{6}{5})}^{m}$

D. $1 < {(\frac{5}{4})}^{m} < {(\frac{6}{5})}^{m}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì $1 < \frac{6}{5} < \frac{5}{4}$ mà m nguyên âm nên $1^{m} > {(\frac{6}{5})}^{m} > {(\frac{5}{4})}^{m}$

$\Leftrightarrow {(\frac{6}{5})}^{m} > {(\frac{5}{4})}^{m}$

Câu 2. Cho n $\in z$ , n > 0, với điều kiện nào của a thì đẳng thức sau xảy ra:

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ ?

A. a > 0

B. a = 0

C. a $\neq$ 0

D. a < 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Với $a \neq 0, n \in ℤ, n > 0$ thì $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Câu 3. Với $a > 1, m, n \in Z$ thì:

A. $a^{m} > a^{n} \Leftrightarrow m > n$

B. $a^{m} > a^{n} \Leftrightarrow m < n$

C. $a^{m} > a^{n} \Leftrightarrow m = n$

D. $a^{m} > a^{n} \Leftrightarrow m \leq n$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Với a > 1 thì $a^{m} > a^{n} \Leftrightarrow m > n$

Câu 4. Chọn so sánh đúng:

A. $5^{m} > 5^{n} \Leftrightarrow m > n$

B. $5^{m} > 5^{n} \Leftrightarrow m < n$

C. $5^{m} \geq 5^{n} \Leftrightarrow m = n$

D. $5^{m} > 5^{n} \Leftrightarrow m \leq n$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 5 > 1 nên $5^{m} > 5^{n} \Leftrightarrow m > n$

Câu 5. Cho $n \in Z, n < 0$ đẳng thức $a^{n} = \frac{1}{a^{- n}}$ xảy ra khi:

A. a > 0

B. a = 0

C. $a \neq 0$

D. A < 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Với $a \neq 0$ thì $a^{n} = \frac{1}{a^{- n}}$

Câu 6. Với $n \in N^{*}$ thì a.a…..a (n thừa số a) được viết gọn lại là:

A. aⁿ

B. n^a

C. na

D. a + n

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Luỹ thừa với số mũ nguyên dương $a \in ℝ : a^{n} = a . a . . . a$ (n thừa số a)

Câu 7. Cho a > 0, $m, n \in Z, n \geq 2$ . Chọn kết luận đúng:

A. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

B. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[m]{a^{m}}$

C. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[m n]{a}$

D. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[m]{a^{m n}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cho a > 0; m, n $\in ℤ, n ⩾ 2$ khi đó $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Câu 8. Cho $m \in N^{*}$ , so sánh nào sau đây không đúng:

A. ${(\frac{3}{4})}^{m} > {(\frac{1}{2})}^{m}$

B. $1 < {(\frac{4}{3})}^{m}$

C. ${(\frac{2}{3})}^{m} < {(\frac{3}{4})}^{m}$

D. ${(\frac{13}{7})}^{m} > 2^{m}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án A: Vì $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}, m \in N^{*}$ nên ${(\frac{3}{4})}^{m} > {(\frac{1}{2})}^{m}$ (đúng)

Đáp án B: Vì $\frac{4}{3} > 1, m \in N^{*}$ nên $1 = 1^{m} < {(\frac{4}{3})}^{m}$ ( đúng)

Đáp án C: Vì $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}, m \in N^{*}$ nên ${(\frac{2}{3})}^{m} < {(\frac{3}{4})}^{m}$ (đúng)

Đáp án D: Vì $\frac{13}{7} < 2, m \in N^{*}$ nên ${(\frac{13}{7})}^{m} < 2^{m}$ (sai)

Câu 9. Viết các số sau theo thứ tự tăng dần $a = 1^{3.8}; b = 2^{- 1}; c = {(\frac{1}{2})}^{- 3}$

A. b,c,a

B. c,a,b

C. c,b,a

D. b,a,c

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l} a = 1^{3.8} = 1 \\ b = 2^{- 1} = \frac{1}{2} = 0, 5 \\ c = {(\frac{1}{2})}^{- 3} = 2^{3} = 8 \end{array}$

Mà 0,5 < 1 < 8 => b < a < c

Câu 10. Cho a > 0, chọn kết luận đúng:

A. $a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^{3}}$

B. $a^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{a^{2}}$

C. $a^{\frac{3}{2}} = \sqrt[6]{a}$

D. $a^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{a^{6}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Sử dụng định nghĩa luỹ thừa với số hữu tỉ: Cho $a > 0, m, n \in Z, n \geq 2$ khi đó $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

Khi đó ta có: $a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^{3}}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hàm số lũy thừa

Lý thuyết Lôgarit

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lý thuyết Phương trình mũ và phương trình logarit

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

1 4,568 21/12/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3