Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

A. Lý thuyết.

I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu.

1. Mặt cầu

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có O là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=a$ (với a > 0 không đổi).

Lời giải:

Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.

Suy ra O là trung điểm của EF.

Ta có:

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm trong không gian là mặt cầu tâm O bán kính $r=\frac{a}{4}$.

2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

3. Biểu diễn mặt cầu.

- Ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.

- Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.

Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó, giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp sau:

1. Trường hợp h > r.

Nếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P) thì OM ≥ OH. Từ đó suy ra OM > r.

Vậy mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P) đều nằm ngoài mặt cầu.

Do đó, mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu.

2. Trường hợp h = r.

- Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầu S (O; r). Khi đí, với mọi điểm M thuộc mp(P) nhưng khác với H ta luôn có:

OM > OH = r nên OM > r.

Như vậy, H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H.

- Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P), mp(P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có:

- Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

3. Trường hợp h < r.

- Trong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H; bán kính $r\text{'}=\sqrt{r^2-h^2}$.

- Đặc biệt khi h = 0 thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P). Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O; r) là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn.

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến của mặt cầu.

Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên ∆ và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆.

1. Nếu d > r thì ∆ không cắt mặt cầu S(O; r), vì với mọi điểm M thuộc ∆ ta đều có OM > r và như vậy mọi điểm M thuộc ∆ đều nằm ngoài mặt cầu.

2. Nếu d = r thì mọi điểm H thuộc mặt cầu S(O; r). Khi đó, với mọi điểm M thuộc ∆ nhưng khác H ta luôn có: OM > OH = r nên OM > r.

- Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆. Khi đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H.

Điểm H gọi là tiếp điểm của ∆ và mặt cầu. Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

- Vậy: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là ∆ vuông góc với bán kính OH tại điểm H.

3. Nếu d < r thì đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) tại hai điểm M; N phân biệt. Hai điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (O; ∆).

- Đặc biệt, khi d = 0 thì đường thẳng ∆ đi qua tâm O và căt mặt cầu tại hai điểm A; B. Khi đó, AB là đường kính của mặt cầu.

- Nhận xét:

a) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A.

b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: $S=4\pi r^2$.

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

- Ví dụ 2. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$$=\frac{4}{3}\pi {\left(2a\right)}^3$$=\frac{32}{3}\pi a^3$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính diện tích của mặt cầu có đường kính AB = a?

Lời giải:

Vì mặt cầu có đường kính AB = a nên có bán kính là $R\text{}=\frac{a}{2}$

Diện tích của mặt cầu có bán kính R là:

$S\text{\hspace{0.17em}}=4\pi R^2$$=4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\pi a^2\hspace{0.17em}$

Bài 2. Gọi V là thể tích khối lập phương, V’ là thể tích khối cầu nội tiếp khối lập

phương. Khi đó tỉ số $\frac{V}{V^{\text{'}}}=?$

Lời giải:

Gọi cạnh của hình lập phương là a.

Vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu bằng cạnh của hình lập phương.

Suy ra bán kính khối cầu là $R=\frac{a}{2}$.

Thể tích khối lập phương là V = a³.

Thể tích khối cầu:

$V^{\text{'}}=\frac{4}{3}\pi r^3$$=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^3=\frac{\pi a^3}{6}$

Vậy $\frac{V}{V^{\text{'}}}=\frac{a^3}{\frac{\pi a^3}{6}}=\frac{6}{\pi }$

Bài 3. Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O đến (α) bằng $\frac{R}{2}$. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với S(O; R) là một đường tròn có đường kính bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bài 4. Cho mặt cầu S(O; R), A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng

qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^0. Tính diện tích của đường tròn giao tuyến.

Lời giải:

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $SA\perp \left(ABC\right).$ Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua các điểm $S,A,B,C?$

A. Trung điểm của AC.

B. Trung điểm của AB.

C. Trung điểm của BC.

D. Trung điểm của SC.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $SA\perp \left(ABC\right).$ Gọi I và J lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua năm điểm A, B, C, I, J?

A. Trung điểm của AC.

B. Trung điểm của BC.

C. Trung điểm của IJ.

D. Trọng tâm của $\Delta ABC.$

Câu 3: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông và $SA\perp \left(ABCD\right).$ Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua bảy điểm A, B, C, D, I, J, K?

A. Tâm của ABCD.

B. Trung điểm của SB.

C. Trung điểm của SC.

D. Trung điểm của SD.

Câu 4: Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại D, DA vuông góc với mặt đáy. Biết $AB=3a,BC=4a,AD=5a.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán kính bằng

A. $\frac{5a\sqrt{2}}{2}.$

B. $\frac{5a\sqrt{2}}{3}.$

C. $\frac{5a\sqrt{3}}{3}.$

D. $\frac{5a\sqrt{3}}{2}.$

Câu 5: Cho hình chóp tam giác có các cạnh vuông góc với nhau từng đôi một và $SA=a,SB=b,SC=c.$ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính là:

A. $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

B. $\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

C. $\frac{3}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

D. $\frac{2}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

Câu 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và $SA=SB=2a,SC=4a.$ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính tính theo a là:

A. $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

B. $a\sqrt{3}.$

C. $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

D. $a\sqrt{6}$.

Câu 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác vuông tại A $AB=3,AC=4,$ SA vuông góc với đáy, $SA=2\sqrt{14}.$ Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A. $V=\frac{169\pi }{6}.$

B. $V=\frac{2197\pi }{8}.$

C. $V=\frac{729\pi }{6}.$

D. $V=\frac{13\pi }{8}.$

Câu 8: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

A. $r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $r=\frac{3a}{2}$

C. r = a

D. $r=a\sqrt{2}$

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right),$ đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a,AD=2a,$ góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng ${45}^0.$ Tính theo a thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $V=\pi a^3\sqrt{6}.$

B. $V=\frac{10\pi a^3}{3}.$

C. $V=\frac{5\pi a^3}{6}.$

D. $V=\frac{5\sqrt{10}\pi a^3}{3}.$

Câu 10: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, $AB=a,BC=a\sqrt{3},SA=a\sqrt{2}$ và $SB=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{5}.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

A. $R=\frac{a\sqrt{259}}{7}.$

B. $R=\frac{a\sqrt{259}}{4}.$

C. $R=\frac{a\sqrt{259}}{2}.$

D. $R=\frac{a\sqrt{37}}{14}.$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 3