Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Mặt cầu lớp 12 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 12 Bài 2: Mặt cầu.

1 2946 lượt xem
Tải về


Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

A. Lý thuyết.

I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu.

1. Mặt cầu

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có O là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn hệ thức MA+MB+MC+MD=a (với a > 0 không đổi).

Lời giải:

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.

Suy ra O là trung điểm của EF.

Ta có:

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm trong không gian là mặt cầu tâm O bán kính r=a4.

2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

3. Biểu diễn mặt cầu.

- Ta thường dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu. Khi đó, hình biểu diễn của mặt cầu là một hình tròn.

- Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu được trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.

Ta có thể xem mặt cầu như là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó. Khi đó, giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu, giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P). Ta có ba trường hợp sau:

1. Trường hợp h > r.

Nếu M là một điểm bất kì trên mặt phẳng (P) thì OM ≥ OH. Từ đó suy ra OM > r.

Vậy mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P) đều nằm ngoài mặt cầu.

Do đó, mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Trường hợp h = r.

- Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầu S (O; r). Khi đí, với mọi điểm M thuộc mp(P) nhưng khác với H ta luôn có:

OM > OH = r nên OM > r.

Như vậy, H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P). Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P), mp(P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu. Vậy ta có:

- Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

3. Trường hợp h < r.

- Trong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H; bán kính r'  =  r2h2.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Đặc biệt khi h = 0 thì tâm O của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P). Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O; r) là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu được gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến của mặt cầu.

Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên ∆ và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆.

1. Nếu d > r thì ∆ không cắt mặt cầu S(O; r), vì với mọi điểm M thuộc ∆ ta đều có OM > r và như vậy mọi điểm M thuộc ∆ đều nằm ngoài mặt cầu.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Nếu d = r thì mọi điểm H thuộc mặt cầu S(O; r). Khi đó, với mọi điểm M thuộc ∆ nhưng khác H ta luôn có: OM > OH = r nên OM > r.

- Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆. Khi đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại H.

Điểm H gọi là tiếp điểm của ∆ và mặt cầu. Đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

- Vậy: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là ∆ vuông góc với bán kính OH tại điểm H.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

3. Nếu d < r thì đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) tại hai điểm M; N phân biệt. Hai điểm đó chính là giao điểm của đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (O; ∆).

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì đường thẳng ∆ đi qua tâm O và căt mặt cầu tại hai điểm A; B. Khi đó, AB là đường kính của mặt cầu.

- Nhận xét:

a) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu tại A và đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đã cho. Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S  =  4πr2.

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: V=  43πr3.

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

- Ví dụ 2. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là: V=43πR3=43π2a3=323πa3

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính diện tích của mặt cầu có đường kính AB = a?

Lời giải:

Vì mặt cầu có đường kính AB = a nên có bán kính là R=  a2

Diện tích của mặt cầu có bán kính R là:

S​ =  4πR2=4πa22=  πa2

Bài 2. Gọi V là thể tích khối lập phương, V’ là thể tích khối cầu nội tiếp khối lập

phương. Khi đó tỉ số VV'=?

Lời giải:

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Gọi cạnh của hình lập phương là a.

Vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu bằng cạnh của hình lập phương.

Suy ra bán kính khối cầu là R=a2.

Thể tích khối lập phương là V = a3.

Thể tích khối cầu:

V'=43πr3=43πa23=πa36

Vậy VV'=a3πa36=6π

Bài 3. Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O đến (α) bằng R2. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) với S(O; R) là một đường tròn có đường kính bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Bài 4. Cho mặt cầu S(O; R), A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng

qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 600. Tính diện tích của đường tròn giao tuyến.

Lời giải:

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B SAABC. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua các điểm S,A,B,C?

A. Trung điểm của AC.

B. Trung điểm của AB.

C. Trung điểm của BC.

D. Trung điểm của SC.

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 2)

Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC cắt SC tại O.

Ta có OA=OB=OCOC=OS         

OA=OB=OC=OS.

Vậy O là tâm mặt cầu qua các điểm S, A, B, C.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SAABC. Gọi I J lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB SC. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua năm điểm A, B, C, I, J?

A. Trung điểm của AC.

B. Trung điểm của BC.

C. Trung điểm của IJ.

D. Trọng tâm của ΔABC.

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 3)

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có:

ABBCOA=OC=OBAJ=JCOA=OC=OJ

Từ BCABBCSA

BC(SAB)BCAI.

AISB

AI(SBC)AIIC

OA=OC=OI

OA=OB=OC=OI=OJ.

Vậy O là tâm mặt cầu cần tìm.

Câu 3: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông và SAABCD. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua bảy điểm A, B, C, D, I, J, K?

A. Tâm của ABCD.

B. Trung điểm của SB.

C. Trung điểm của SC.

D. Trung điểm của SD.

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 4)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có BCABBCSA

BC(SAB)BCAI.

AISBAISBC

AIICOA=OC=OI.

Tương tự OA=OC=OK.

AJSCOA=OC=OJ

OA=OB=OC

=OD=OI=OJ=OK

O là tâm mặt cầu cần tìm.

Câu 4: Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại D, DA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=3a,BC=4a,AD=5a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán kính bằng

A. 5a22.

B. 5a23.

C. 5a33.

D. 5a32.

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 5)

Gọi O là trung điểm của CD.

Ta có OA=OB=OC=OD

=R=12CD.

Cạnh CD=AD2+AC2

=AD2+AB2+BC2

=5a2

R=5a2.

Câu 5: Cho hình chóp tam giác có các cạnh vuông góc với nhau từng đôi một và SA=a,SB=b,SC=c. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính là:

A. 12a2+b2+c2.

B. 13a2+b2+c2.

C. 32a2+b2+c2.

D. 23a2+b2+c2.

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 6)

Ta có {SASBSASCSA(SBC).

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBCOK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có R=OS=OP2+SP2.

OP=SK=SA2=a2;

SP=12BC=12b2+c2

R=12a2+b2+c2.

Câu 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA=SB=2a,SC=4a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính tính theo a là:

A. a62.

B. a3.

C. a63.

D. a6.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có SASBSASCSASBC.

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBCOK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có R=OS=OP2+SP2.

OP=SK=SA2=a;

SP=12BC

=12SB2+SC2

=a5

R=a6.

Câu 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác vuông tại A AB=3,AC=4, SA vuông góc với đáy, SA=214. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A. V=169π6.

B. V=2197π8.

C. V=729π6.

D. V=13π8.

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 8)

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCOK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có R=OA=OP2+AP2

OP=AK=SA2=14;

AP=12BC

=1232+42=52

R=92

V=43πR3=2432π.

Câu 8: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

A. r=a22

B. r=3a2

C. r = a

D. r=a2

Đáp án: D

Giải thích:

Đặt R1=RABCD;

R2=RSAB,

AB=(SAB)(ABC)

Tam giác ABDC là hình vuông cạnh bằng 2a nên

R1=AC2=2a22=a2.

Tam giác SAB vuông cân tại S nên

R2=AB2=a.

Do SABABC

nên r=RS.ABC

=R12+R22AB24=a2.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,AD=2a, góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. V=πa36.

B. V=10πa33.

C. V=5πa36.

D. V=510πa33.

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 9)

Do SAABCD

(SC;ABCD^)=SCA^=450.

Ta có:

AC=AB2+AD2=a5

SA=ACtan450=a5.

Lại có: Rd=RABCD=AC2=a52.

Do SAABCD

R=SA24+Rd2

=a102.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:

V=43πR3=510πa33.

Câu 10: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, AB=a,BC=a3,SA=a2 SB=a2,SC=a5. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

A. R=a2597.

B. R=a2594.

C. R=a2592.

D. R=a3714.

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 10)

Gọi H là trung điểm của AB.

Do SA=SBSHAB.

Ta có: SB2+BC2=SC2=5a2

SBBC

Mặt khác: ABBC

BC(SAB)BCSH

Suy ra SHABC,

đặt R1=RABC=AC2=a.

Đặt R2=RSAB=SA.SB.AB4SSAB

=SA.SB.AB2.SH.AB=SA.SB2SH

=a2SH

Trong đó:

SH=SB2HB2

=a72

R2=2a7

Suy ra:

RS.ABC=R12+R22AB24

=a25914.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Ôn tập chương 3

1 2946 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: